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Unidade II - Lista 2

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Disciplina: Cálculo da Probabilidades e Estatística I
Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Lista 2 - Maio de 2009
1. Na copa do mundo de futebol em 2006, os jogos das semifinais foram Alemanha versus Itália e França
versus Portugal. Supondo que não sabemos os resultados destes jogos, responda:
(a) Qual o espaço amostral da classificação final dos quatro times?
(b) Seja A o evento em que a Itália é a campeã da copa do mundo. Descreva o evento A;
(c) Seja B o evento em que Portugal seja um dos finalistas. Descreva o evento B ;
(d) Descreva os eventos A ∪ B e A ∩ B .
2. Considere os veiculos que passam pela BR-230 na altura da UFPB, no ponto em que podem continuar
na BR-230, seguir em direção à UFPB ou seguir em direção ao centro pela Pedro II. Considerando a
direção tomada por três veículos quaisquer que passam sucessivamente, descreva os seguintes eventos:
(a) Ω;
(b) A = os três veículos seguem na mesma direção;
(c) B = cada veículo toma uma direção diferente;
(d) C = exatamente dois seguem em direção à UFPB;
(e) D = exatamente dois seguem na mesma direção;
(f) Quais desses eventos formam uma partição de Ω?
3. Uma empresa de construção civil está construindo três prédios(1,2,3) em João Pessoa. Seja A i o evento
em que a empresa entrega o prédio i no prazo previsto. Descreva os eventos a seguir em termos dos
eventos dados A1,A2,A3 e desenhe o diagrama de Venn sombreando a região correspondente ao evento
descrito.
(a) B1 = ao menos um prédio é entregue no prazo previsto;
(b) B2 = todos os prédios são entregues no prazo previsto;
(c) B3 = apenas o prédio 1 é entregue no prazo previsto;
(d) B4 = Exatamente um prédio é entregue no prazo previsto;
(e) B5 = nenhum prédio é entregue no prazo previsto;
4. Dois dados são lançados. Duas bolas são selecionadas ao acaso e anotado os seus valores. Descreva os
seguintes eventos e calcule sua probabilidade:
(a) o espaço amostral do experimento;
(b) A: o primeiro número é maior que o segundo;
(c) B: o primeiro número é igual ao dobro do segundo;
(d) C: a soma dos dois números é maior ou igual a 8.
(e) Calcule P(A ∩C ), P(B ∩C c ) e P(A |C c ).
5. Uma caixa contém fichas de duas cores sendo 4 vermelhas e 3 pretas. Uma segunda caixa contém 2
vermelhas e 4 pretas. Uma ficha é selecionada aleatoriamente da primeira caixa e colocada na segunda.
Em seguida uma ficha é retirada da segunda caixa.
(a) Descreva o espaço amostral do experimento. Obs.: Este experimento é composto pois são ob-
servadas duas variáveis: a cor da ficha retirada da 1a. caixa e a cor da ficha retirada da segunda
caixa.
(b) Seja A o evento a segunda ficha é vermelha. Descreva o evento A e calcule a sua probabilidade.
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6. Um sistema de alarme que indica quando a temperatura de uma máquina está elevada a ponto de
provocar um incêndio utiliza três sensores(1,2,3) que agem independentemente um do outro. A pro-
babilidade de cada sensor não funcionar é de 0,1 quando a temperatura ultrapassa 80oC . O alarme é
ativado se pelo menos um dos sensores entrar em funcionamento.
(a) Descreva o espaço amostral do experimento. Obs: o experimento é a observação do funciona-
mento ou não dos sensores;
(b) Seja A o evento o alarme dispara quando a temperatura ultrapassar 80oC . Descreva o evento Ac e
calcule P(A) utilizando a relação entre P(A) e P(Ac ).
7. Uma máquina pode parar por defeito mecânico ou elétrico. Se há defeito elétrico a probabilidade da
máquina parar é de 0,3 e se há defeito mecânico a máquina para na proporção de 1 para 4. Em 80% das
vezes que a máquina é ligada não há defeito mecânico, em 10% das vezes que a máquina é ligada há
defeito elétrico. Considere que não pode ocorrer mais de um defeito quando a máquina é ligada.
(a) Descreva o espaço amostral do experimento.
(b) Se a máquina parar, qual a probabilidade de ser por defeito mecânico?
(c) Qual a probabilidade da máquina parar?
8. Para verificar o perfil de seus empregados o gerente de uma indústria coletou as seguintes informações:
Menor que 25 anos(l) Entre 25 e 40 anos(b) Maior que 40 anos(u)
Homens(h) 20 45 18
Mulheres(m) 8 25 42
Um empregado é selecionado ao acaso:
(a) Descreva o espaço amostral desse experimento;
(b) Qual a probabilidade que ele seja homem ou tenha entre 25 e 40 anos de idade;
(c) Qual a probabilidade que tenha mais de 40 anos e seja homem;
(d) Qual a probabilidade que tenha menos de 25 anos sabendo que é mulher;
Considere agora que dois empregados são selecionados ao acaso e sem reposição:
(e) Descreva o espaço amostral desse experimento;
(f) Ambos tenham menos de 25 anos;
(g) Exatamente 1 tenha mais de 40 anos;
(h) A idade dos funcionários independe do sexo?
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9. No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais.
Um estudante é escolhido aleatoriamente. Sabendo-se que 60% dos estudantes são homens calcule a
probabilidade de que:
(a) O estudante esteja acima do peso;
(b) Seja mulher sabendo que o estudante está acima do peso.
10. Na disciplina de Cálculo das Probabilidades e Estatística I, apenas dois alunos, Paulo e João, ficaram
para fazer o exame final. A probabilidade de Paulo resolver a prova em mais de 1 hora é 0,6 e a proba-
bilidade de que João resolva a prova em menos de 1 hora é de 0,7. Qual a probabilidade da prova ser
resolvida em menos de 1 hora?
11. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a
probabilidade de que daqui a 30 anos:
(a) Apenas o homem esteja vivo;
(b) Apenas a mulher esteja viva;
(c) Pelo menos um deles esteja vivo;
(d) Ambos estarem vivos.
12. Três empresa, 1,2 e 3, de informática disputam a obtenção de um contrato para a produção de um
software. O diretor do departamento de vendas da empresa 1 estima que sua companhia tem probabi-
lidade igual à da empresa 2 de obter o contrato que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade da
empresa 3 obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade da empresa 1 ou 3 obter o contrato.
13. Suponha que temos dois lotes nas seguintes condições: O primeiro lote(l1) contendo 200 peças das
quais 10 tem defeito(d) de fabricação, e o segundo lote(l2) contendo 300 peças das quais 12 tem de-
feito(d) de fabricação. Se uma peça for retirada de cada lote, qual é a probabilidade de que:
(a) Pelo menos uma das peças escolhidas seja perfeita;
(b) Ambas tenham defeito de fabricação?
(c) Nenhuma delas tenha defeito de fabricação?
(d) Apenas a peça do primero lote tenha defeito de fabricação?
(e) Somente uma delas tenha defeito de fabricação?
14. Numa cidade 20% dos carros são da marca K, 30% dos carros são táxis e 40% dos táxis são da marca K.
Se um carro é escolhido, ao acaso, determinar a probabilidade de que:
(a) Ser táxi e ser da marca K;
(b) Ser táxi e não ser da marca K;
(c) Não ser táxi, sabendo-se que é da marca K;
(d) Não ser táxi e não ser da marca K;
(e) Não ser táxi e ser da marca K.
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15. Em uma empresa a probabilidade de que uma nova política de mercado tenha sucesso(A) foi estimada
em 0,6. A probabilidade de que a despesa para o desenvolvimento da estratégia seja mantida dentro dos
limites do orçamento previsto(B) é de 0,5. Admitindo que ambos os eventos A e B sejam independentes,
determine a probabilidade de que:
(a) Pelo menos um dos objetivos seja atingido;
(b) Somente A seja atingido;
(c) Somente B seja atingido.16. Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam vôlei e 30% praticam natação. Dentre os que prati-
cam vôlei, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não praticam nenhum dos
dois esportes?
17. Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0, 4 e P(A ∪ B ) = 0, 7. Seja P(B ) = p . Para que valor de p , A e B
serão mutuamente exclusivos? Para que valor de p A e B serão independentes?
18. Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao
acaso e substituídas por três bolas azuis. Em seguida duas novas bolas são retiradas da caixa.
(a) Descreva o espaço amostral deste experimento;
(b) Calcule a probabilidade de as duas últimas bolas retiradas sejam da mesma cor;
(c) Se as duas últimas bolas retiradas forem uma branca e uma preta, calcular a probabilidade de que,
na primeira extração, tenham saído duas bolas brancas.
19. Dois jogadores jogam alternadamente uma moeda, ganhando o jogo aquele que primeiro obtiver uma
cara.
(a) Descreva o espaço amostral deste experimento;
(b) Qual a probabilidade do primeiro jogador ganhar o jogo?
(c) Qual a probabilidade do segundo jogador ganhar o jogo?
20. Em um lote de 12 lâmpadas, duas são defeituosas. Considere o experimento: três lâmpadas são escol-
hidas aleatoriamente.
(a) Descreva o espaço amostral deste experimento;
(b) Qual a probabilidade de que nenhuma seja defeituosa;
(c) Qual a probabilidade de que exatamente uma seja defeituosa;
(d) Qual a probabilidade de que pelo menos uma seja defeituosa;
(e) Qual a probabilidade de que exatamente duas sejam defeituosas.
21. Em uma festa beneficente serão sorteados um DVD(a) e uma máquina fotográfica digital(b). São ven-
didos 400 bilhetes para o primeiro prêmio e 200 para o segundo. Uma mulher compra 4 bilhetes para
concorrer a cada prêmio. Encontre a probabilidade de que:
(a) Descreva o espaço amostral deste experimento;
(b) Ela ganhe exatamente um prêmio;
(c) Ela ganhe alguma coisa.
22. Em uma fábrica, um certo equipamento está sujeito a três tipos de defeitos, seja A i a ocorrência do
defeito i. Com base nos dados históricos dos últimos 2 anos, obteve-se as seguintes informações:
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Defeitos Ocorrência%
A1 12%
A2 7%
A3 5%
A1 ∪A2 13%
A1 ∪A3 14%
A2 ∪A3 10%
A1 ∩A2 ∩A3 1%
Qual é a probabilidade do equipamento:
(a) não apresentar o defeito A1?
(b) apresentar os defeitos A1 e A2?
(c) apresentar os defeitos A1 e A2, mas não o defeito A3?
(d) apresentar no máximo dois desses defeitos?
(e) apresentar o defeito A2, dado que apresentou o defeito A1?
(f) apresentar os três defeitos, dado que apresentou o defeito A1?
(g) apresentar apenas um defeito, dado que apresentou ao menos um defeito?
(h) não apresentar o defeito A3, dado que apresentou os defeitos A1 e A2?
23. Uma caixa contém quatro lâmpadas de 40 W , cinco de 60 W e seis de 75 W . Se duas lâmpadas forem
selecionadas aleatoriamente, qual a probabilidade que:
(a) ambas sejam de 75W, dado que pelo menos uma delas é de 75W?
(b) ambas tenham a mesma potência, dado que que pelo menos uma delas não seja de 75W?
24. Um sistema consiste em duas bombas idênticas. Se uma bomba falha, o sistema continua em operação.
Entretanto, devido ao esforço adicional, a bomba restante passa a estar mais suscetível a falhas do que
originalmente. Sabe-se que a probabilidade de pelo menos uma bomba falhar durante a vida útil do
sistema é 0,07 e a probabilidade de ambas as bombas falharem durante este período é 0,01. Qual a
probabilidade
(a) de uma bomba falhar?
(b) do sistema parar, dado que uma bomba falhou?
25. A junta de uma aeronave requer 25 rebites. A junta terá que ser refeita se qualquer um dos rebites estiver
defeituoso. Suponha que os defeitos dos rebites sejam independentes um do outro e tenham a mesma
probabilidade. Sabendo-se que 20% de todas as juntas produzidas em um determinado período terão
que ser refeitas.
(a) Qual será a probabilidade de um rebite ter defeito?
(b) Quão pequena deve ser a probabilidade de um rebite ter defeito para garantir que apenas 10% das
juntas tenham que ser refeitas?
26. Uma caldeira tem cinco válvulas de alívio idênticas. A probabilidade de uma válvula específica ser
aberta sob demanda(funcionar), é de 0,95. Assumindo operação independente das válvulas, calcule a
probabilidade de
(a) pelo menos uma válvula funcionar;
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(b) pelo menos uma válvula falhar.
27. Considere o sistema de componentes ligados como na figura a seguir. Os componentes 1 e 2 estão
ligados em paralelo, de forma que o subsistema funciona se e, somente se, 1 ou 2 funcionar. Como 3
e 4 estão ligados em série, o subsistema funcionará se, e somente se, 3 e 4 funcionarem. Se os compo-
nentes funcionarem independentemente um do outro e probabilidade do componente funcionar seja
0, 9. Qual a probabilidade do sistema funcionar?
28. Os componentes que chegam em um distribuidor são verificados em busca de defeitos por dois in-
spetores diferentes (cada componente é verificado por ambos os inspetores). O primeiro inspetor de-
tecta 90% de todos os componentes defeituosos, assim como o segundo inspetor. Pelo menos um in-
spetor não detecta 20% de todos os componentes defeituosos. Qual é a probabilidade de
(a) um componente com defeito ser detectado apenas pelo primeiro inspetor?
(b) um componente com defeito ser detectado exatamente um dos inspetores?
(c) três componentes defeituosos não serem detectados pelos dois inspetores (assumindo que as in-
speções de diferentes componentes sejam independentes uma da outra)?
29. O professor Kolmogorov pode usar uma de duas rotas em seu caminho de volta do trabalho para casa.
Na primeira rota, há quatro cruzamentos com ferrovias. A probabilidade dele ter de parar em qualquer
um dos cruzamentos é 0,1 e os trens operam de forma independente nos quatro cruzamentos. A outra
rota é mais longa, mas tem apenas dois cruzamentos, independentes um do outro, com a mesma pro-
babilidade de parada da primeira rota. Um dia, o professor Kolmogorov tem um compromisso em casa
com hora marcada. Em qualquer rota ele estima que chegará atrasado se for parado por trens em pelo
menos metade dos cruzamentos encontrados.
(a) Que rota deve seguir para minimizar a probabilidade de chegar atrasado?
(b) Se jogar uma moeda para decidir que rota tomar e chegar atrasado, qual será a probabilidade de
ele ter usado a rota com quatro cruzamentos?
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