Lista 3 Continuidade

Prévia do material em texto

Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 3 – Continuidade e Limites Especiais
1. Enunciado:
Com base no gra´fico da func¸a˜o
f dado ao lado, determine se f
e´ cont´ınua nos pontos x = −2 e
x = 3. Justifique suas respostas.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
bc
bcb
b
2. Enunciado:
Com base no gra´fico da func¸a˜o
f dado ao lado, determine se f
e´ cont´ınua nos pontos x = −2 e
x = 2. Justifique suas respostas.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
bc
3. Considere a func¸a˜o f(x) =
x2 − 2x− 3
x2 − 9 .
Caso existam, determine as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f . Justifique suas respostas e
obtenha a equac¸a˜o de cada ass´ıntota existente.
4. Considere a func¸a˜o f com domı´nio (−∞, pi
2
] dada por
f(x) =


2 + arctan x, x ≤ 0,
4x
sen (x)
, x ∈ (0, pi
2
].
Determine se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 0, justificando sua resposta.
5. Seja
f(x) =
{
x
2
cos(x)−1 , x 6= 0
k, x = 0
a) Se lim
x→0 f(x) existir, determine o seu valor.
b) E´ poss´ıvel definir k de tal forma que a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua em x = 0? Justifique.
6. A func¸a˜o f definida abaixo e´ cont´ınua em x = 0? Justifique a resposta.
f(x) =


√
5x4 + 2 , x > 0
cos
(
x+
pi
4
)
, x < 0
7. Seja f a func¸a˜o definida por
f(x) =


x3 + 2x2 + 3x+ 6
x+ 2
x < −2
k x = −2
14
2−
√
2+x
x > −2
Existe um valor para a constante k que torne a func¸a˜o f cont´ınua em −2? Justifique.
8. Seja f(x) = ex arctanx . Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais e verticais.
Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada uma delas.
9. Determine se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando as respostas.
a) ( ) Se existe o limite lim
x→a
f(x) enta˜o a func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = a.
b) ( ) A func¸a˜o f(x) =
sen x
|x| na˜o tem limite em x = 0.
c) ( ) A func¸a˜o f(x) =
1
1− 2 sen x e´ descont´ınua em x =
pi
6
.
d) ( ) lim
x→−∞
√
x2 + 1
7x− 19 =
1
7
.
10. Seja f a func¸a˜o definida por
f(x) =


√
1 +
3
x2
x > 0
√
(x4 − 3x) − x2 x ≤ 0
O gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais? Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada
ass´ıntota horizontal encontrada. Justifique suas respostas.
11. Seja f(x) = arctan
|x|
x− 1. O gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais? Em caso afirmativo,
determine a equac¸a˜o de cada ass´ıntota horizontal encontrada. Fac¸a o mesmo para as verticais.
12. Decida se cada uma das equac¸o˜es abaixo possui soluc¸a˜o real, justificando a sua resposta.
a) sen (x) + cos(x) = 2
b) sen (x) + cos(x) = 4/3
c) (desafio) log2(x
2 + 3) =
√
x
Respostas
1. Na˜o e´ cont´ınua em x = −2, pois o limite lim
x→−2−
f(x) = 2 6= lim
x→−2+
f(x) = 0. E´ cont´ınua em
x = 3 pois lim
x→3 f(x) = 1 = f(3).
2. Na˜o e´ cont´ınua em x = −2, pois −2 6∈ Dom(f). E´ cont´ınua em x = 2 pois lim
x→2 f(x) = f(2).
3. Existe uma ass´ıntota vertical em x = −3, porque o denominador tende a zero mas o numerador
na˜o. Nos demais pontos na˜o ha´ ass´ıntota pois a func¸a˜o tem limite finito em cada ponto (e uma
discontinuidade remov´ıvel em x = 3).
4. Na˜o pois, lim
x→0−
f(x) = 2 6= 4 = lim
x→0+
f(x).
5. Como lim
x→0
f(x) = 2 basta escolher k = 2 para ter continuidade. Dica: no ca´lculo do limite use
2 sen 2(x
2
) = 1− cos(x).
6. Na˜o, pois lim
x→0−
f(x) =
√
2
2
6=
√
2 = lim
x→0+
f(x).
7. lim
x→−2
f(x) = 7 logo f sera´ cont´ınua em x = −2 se k = 7.
8. Como ex e arctan(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em toda a reta temos f cont´ınua em toda a reta como
produto de func¸o˜es cont´ınuas. Pela continuidade na˜o existem ass´ıntotas verticais, e fazendo o
limite no infinito temos: lim
x→−∞
f(x) = 0 e lim
x→+∞
f(x) = +∞ portanto y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota
horizontal.
9. a)F, o ponto a poderia na˜o pertencer ao domı´nio;
b)V, o limite a` direita e´ +1 e a` esquerda e´ −1, logo na˜o ha´ limite bilateral;
c)V, sen (pi/6) = 1/2 que anula o denominador, logo na˜o esta´ no domı´nio de f ;
d)F, o limite vale −1/7.
10. Sim, lim
x→−∞
f(x) = 0 e lim
x→+∞
f(x) = 1 portanto y = 0 e y = 1 sa˜o as u´nicas ass´ıntotas horizontais.
11. Sim, lim
x→−∞
arctan
( |x|
x− 1
)
= −pi
4
e lim
x→+∞
arctan
( |x|
x− 1
)
=
pi
4
portanto y = −pi
4
e y = pi
4
sa˜o
as u´nicas ass´ıntotas horizontais.Na˜o existem ass´ıntotats verticais pois no u´nico ponto onde f
poderia na˜o ser cont´ınua os limites laterais na˜o sa˜o infinitos: lim
x→−1
arctan
( |x|
x− 1
)
= −pi
2
e
lim
x→+1
arctan
( |x|
x− 1
)
=
pi
2
.
12. a) Na˜o ha´ soluc¸a˜o real pois as duas func¸o˜es sa˜o menores ou iguais a 1 e para oter 2 ambam
teriam que valer 1 ao mesmo tempo;
b) Ha´ soluc¸a˜o, usando o teorema do valor intermedia´rio, entre x = 0 e x = pi
4
;
c) Ha´ soluc¸a˜o, usando o teorema do valor intermedia´rio, entre x = 1 e x = 210.