primeiro exercício não avaliativo GAAL.pdf

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Centro Universitário UNA – Instituto Politécnico 
Cálculo - Prof. Atacílio Alves 
Lista de Exercícios – GAAL Vetores 
 
1 – Dados os vetores 
 3, 1u  
 e 
 1, 2v  
 , determinar o vetor 
w
 tal que
 
1
4 2
3
u v w u w   
 
2 – Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular 
, 3 4OA AB OC BC e BA CB  
 
3 – Dados os vetores 
 3, 4u  
 e 
9
, 3
4
v
 
  
 
, verificar se existem números 
a e b tais que 
u av
 e 
v bu
 
4 – Dados os pontos A(-1,2,3) e B(4,-2,0), determinar o ponto P tal que 
3AP AB
 
5 – Determinar o vetor 
v
 sabendo que 
(3,7,1) 2 (6,10,4)v v  
 
6 – Determinar a e b de modo que os vetores 
 4,1, 3v  
 e 
 6, ,u a b
 sejam 
paralelos 
7 – Determine a extremidade do segmento que representa o vetor 
 2,5v 
, 
sabendo-se que sua origem é o ponto 
 1,3A  
 
8 – Determinar o simétrico do ponto 
 1,0,3A  
 em relação ao ponto 
 3,1, 2P  
 
9 – Dados os vetores 
 1, , 2 1u a a  
, 
 , 1,1v a a 
 e 
 , 1,1w a 
, determinar 
a de modo que 
 u v u v w   
 
10 – Dados os pontos 
 1,2,3A
, 
 6, 2,3B  
 e 
 1,2,3C
 determinar o versor 
(vetor unitário) do vetor 
3 2AB BC
 
11 – Verificar se são unitários os seguinte vetores: 
 1, 1, 1u    
 e 
1 2 1
, ,
6 6 6
v
 
  
 
 
12 – Sabendo-se que o ângulo entre os vetores 
 2,1, 1v  
 e 
 1, 1, 2u m  
 é 
3

, determinar o valor de m 
 
13 – Calcular n pra que seja de 30° o ângulo entre os vetores 
 1, , 2v n 
e 
j
 
 
 
14 – Dados os vetores 
 2,1,a 
, 
 2, 5,2b   
 e 
 2 ,8,c  
 determinar o 
valor de alfa 

para que o vetor 
a b
 seja ortogonal ao vetor 
c a
 
15 – Provar que os pontos 
 5,1,5A
, 
 4,3,2B
 e 
 3, 2,1C  
 são vértices de um 
triângulo retângulo 
16 – Determinar um vetor que seja ortogonal simultaneamente ao vetor 
 2, 1,0v  
 e 
 1, 3, 1u   
 
17 – Verificar se são coplanares: 
a) 
 1,1,1A
, 
 2, 1, 3B   
, 
 0,2, 2C 
 e 
 1,0,2D 
 
b) 
 1,0,2A
, 
 1,0,3B 
, 
 2,4,1C
 e 
 1, 2,2D  
 
18 – Dados os vetores 
 2 2,1,0a i j k e b   
, calcular: 
 
   
) 2
) 2 2
a a a b
b a b a b
 
  
 
19 – Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores
 2 2,1,0a i j k e b   
 
20 – Calcular a área do triangulo de vértices 
     1,0,2 , 4,1,1 0,1,3A B e C 
usando o produto vetorial 
21 – Verificar se o pontos 
   1 25, 5,6 4, 1,12P e P 
 pertencem a reta 
3 1 2
:
1 2 2
x y z
r
  
 
 
 
22 – Determinar o ponto da reta 
2
: 3
1 2
x t
r y t
z t
 

 
  
 que tem abscissa 4 
23 – Determinar os pontos da reta 
3 1
:
2 1 2
x y z
r
 
 
 
 que têm a) abscissa 5; 
b) ordenada 4; c) cota 1 
24 – Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta 
que passa pelo ponto 
 4,0, 3A 
 e tem a direção do vetor 
2 4 5v i j k  
 
25 – Determinar as equações reduzidas ( variável independente z) da reta que 
passa pelo pontos 
   1 21,0,3 1,2,7P e P
 
26 – Determine a equação paramétrica da reta do exercício anterior 
27 – Mostrar que os pontos
     1,4, 3 , 2,1,3 4, 1,7A B e C  
 são colineares. 
Deve usar o produto vetorial para resolver. 
28 – Qual deve ser o valor de m para que os pontos 
     3, ,1 , 1,1, 1 2,10, 4A m B e C  
pertençam a uma mesma reta? Deve usar o 
produto vetorial para resolver 
Gabarito 
 






















13
2
5
82
)24
)21
)
14
3
,
14
2
,
14
1
)(19
)6,4,2)(18
)
))17
)15
63)14
4"')12
)0,
1625
20
,
1625
35
)(10
)7,2,7)(8
2
9
2
3
)6
6,10,14)4
4
3
3
4
)3
2
15
,
2
15
)1
2
1
xz
xy
pertencenãoP
pertenceP
coplanaressãob
coplanaressãonãoa
Bemretângulo
e
mm
bea
bea
w
