Funções de duas ou mais variáveis.pdf

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
 
Cálculo B (Informática) – Turmas 128 e 138 
 
 Tópico 8 - Página 1 de 6 
Tópico 8 – Funções de Duas ou Mais Variáveis 
Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 311 a 323.323 a342 
 
 
1. Definições 
 
 
Função de Duas Variáveis 
 
Uma função real f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x, y) 
associa um único número real f (x, y). 
 
 
Função de Três Variáveis 
 
Uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada terna ordenada de números reais 
(x, y, z) associa um único número real f (x, y, z). 
 
 
Função de n Variáveis 
 
Uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais 
(x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn). 
 
 
Exemplos 
 
1. Sendo 13),( 2 −= yxyxf determina: 
 
 f (1, 4) = 
 
 
 
 
 
 f (0, 9) = 
 
 
 
 
 
 
 f (a, ab) = 
 
 
 
 
 
 2. determina f( 2,0,1) sendo f(x) = 3x – y + z2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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y 
x 
2. Domínio de Funções de Duas Variáveis 
 
O domínio de uma função de duas variáveis é, em geral, representado por uma relação binária. A 
representação do domínio pode ser dada lógica ou graficamente. 
 
Exemplo 
 
Determina e representa graficamente o domínio de cada função: 
 
a. ( )yxyxg −= 2ln),( b. 13),( 2 −= yxyxf 
 
Solução: 
 
a. ( )yxyxf −= 2ln),( está definida somente para 02 >− yx , ou seja, 2xy < . Assim sendo 
}|),{()( 22 xyIRyxfDom <∈= . 
Na representação gráfica do domínio usamos o fato de que a curva 2xy = separa a região onde 
2xy < da região onde 2xy > . Para determinar a região onde 2xy < , podemos selecionar um “ponto 
teste” fora da fronteira 2xy = e verificar se 2xy < ou 2xy > no ponto-teste. Por exemplo, se 
( ) ( )1 ,0 , =yx , então 201< não é uma relação verdadeira. Logo, este ponto não está na região onde 
2xy < . A região correspondente ao domínio é aquela que não contém o ponto teste. 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica do 
domínio da f ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Como 13),( 2 −= yxyxf , devemos ter 0≥y . Assim, }0|),{()( 2 ≥∈= yIRyxfDom 
 
 
 
Representação gráfica do 
domínio da f ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
2xy < 
2xy > 
2xy = 
0≥y 
 
 
 
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Exercício 
 
Determine e represente graficamente o domínio das funções abaixo definidas: 
 
1. )2ln(),( xyyxf −= 
 
2. 4),( 22 −+= yxyxf 
 
3. 
3
4),( 2
2
+
−=
y
xyxf 
 
3. Gráfico de Funções de Duas Variáveis 
 
A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no IR3. Em geral, essa 
representação pode se tornar bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional. No 
entanto, há alguns casos que são importantes de serem lembrados: 
 
Equação Superfície Gerada Exemplo 
 
 
 
 
cbyaxz ++= 
 
 
 
 
Plano. 
 
 
 
 
 
 
cbyaxz ++= 22 
 
 
 
 
 
Parabolóide elíptico. 
 
 
 
 
 
cbyaxz +−= 22 
 
 
 
 
Parabolóide hiperbólico. 
 
 
 
 
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222 yxrz −−= 
 
 
 
 
Metade de uma superfície 
esférica de raio r. 
 
 
 
 
22 yxz += 
 
 
 
 
 
Metade de uma superfície 
cônica. 
 
 
 
 
4. Curvas de Nível 
 
Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da 
representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos 
supor que a superfície ),( yxfz = seja interceptada por um plano kz = , e a curva de intersecção seja 
projetada no plano xOy . Essa curva tem equação kyxf =),( e é chamada de curva de nível (ou curva 
de contorno) da função f em k . 
 
 
 
 
 
 
 Ck ={ }kyxfyx =ℜ∈ ),(/),( 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xOy de equações 
da forma kyxf =),( . 
 O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. 
 Todos os pontos ),( yx que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z . 
 
No caso de ),( yxf representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular 
importância, recebendo inclusive denominações específicas. 
 
y 
z 
0 
x 
 
 
 
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• Se ),( yxf é a temperatura no ponto ),( yx de uma chapa plana, as curvas kyxf =),( 
são chamadas de isotérmicas ou isotermas. 
 
• Se ),( yxf é a pressão de um gás de volume x e temperatura y , as curvas são chamadas 
de isobáricas ou isóbaras. 
 
• Se ),( yxf é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xOy então as curvas 
kyxf =),( são chamadas equipotenciais. 
 
Exemplo 
 
 Seja a função dada por z = x2 + y2 
 
 As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e z = 4 são: 
 
z = 0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) 
 
z = 1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1) 
 
z = 2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) 
 
z = 4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2) 
 
 
 
 
Observação: As curvas de nível nunca se interceptam 
 
 
Gráfico da Função (Parabolóide Elíptico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. 
 
 
Exercícios 
 
1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontra: 
 
 a) f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f 
 
2) Seja a função dada por f(x,y) = 22),( yxyxf += . Determina: 
 a) f(0,0) b) f(-1,-1) c) f(1,2) d) Dom f e) Im f 
 
 
 
 
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3) Seja a função dada por f(x,y) =
xy
xyxf −=
3),( . Determina: 
 a) f(1,0) b) f(3,-7) c) f(1,-1) d) Dom f e) a representação gráfica do Dom f 
 
4) Seja f(x,y) =
yx
yxf −= 2
1),( . Determina: 
 a) f(1,0) b) f(3,-7) c) f(1,-1) d) Dom f e) a representação gráfica do Dom f 
 
5) Determina e representa graficamente os domínios das seguintes funções: 
 a) 1),( −+= yxyxf b) 
12
1),( +−= yxyxf c) f(x,y)= ln (x
2- y + 1) d) 
1
ln),( −= x
xyxf 
 
6) Esboça as curvas de nível das funções: 
 
 a) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2 b) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 
 
 c) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2 
 
7) Seja a função dada por 224 yxz −−= 
 
 a) Faz as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2 
 
 b) Representa graficamente a função. 
 
 
Respostas 
 
1) a) 5 b) 0 c) 25 d) 2IR e) ),0[ +∞ 
 
2) a) 0 b) 2 c) 5 d) 2IR e) ),0[ +∞ 
 
3) a) –3 b) 
10
9
 c) 
2
3− d) }/),{( 2 xyIRyx ≠∈ 
 
4) a) 1 b) 
4
1
 c) 
2
2
 d) }/),{( 22 xyIRyx <∈ 
 
5) a) }1/),{( 2 +−≥∈ xyIRyx b) }12/),{( 2 +≠∈ xyIRyx 
 
 c) }1/),{( 22 +<∈ xyIRyx d) }10/),{( 2 ≠>∈ xexIRyx 
 
Exercícios Complementares 
 
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2. 
 
Página Exercícios 
3201, 3, 5, 7 
321 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 31, 33, 35, 45, 49 (importante) 
322 51, 52, 53, 54 
As respostas encontram-se no final do livro, nas páginas A29 e A30.