apostila de equacoes parametricas 1

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Chapter 2
Curvas Paramétricas
Introdução e Motivação:
No estudo de curvas cartesianas estamos acostumando a tomar uma variável como
independente e a outra como dependente, ou seja 푦 = 푓(푥) ou 푥 = ℎ(푦). Porem, alguns
movimentos ou caminhos são inconveniente, difícil ou impossível de ser descrito por uma
função de uma variável ou formula da forma 푦 = 푓(푥).
∙ Por exemplo é impossível de descreve na forma 푦 = 푓(푥), o ciclóide - trajetória de
um ponto pertencente a um círculo de raio 푅 posto a girar, sem deslizar, ao longo
de uma reta situada num plano horizontal.
Deduzimos a equação do ciclóide na proxima seção.
∙ Outro exemplo, suponhamos dois aviões com mesmo velocidade percorre caminhos
retas de equações 푦 = 2푥 + 3 e 푦 = 3푥 − 2 respectivamente.Será eles vão colidir?
Mesmo as retas interceptando no ponto (5, 13), as equações não indicar que os
aviões vão colidir.
71
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
Para resolve destes problemas, introduzimos curvas paramétricas. Em vez de definir
푦 em termos de 푥 ou 푥 em termos de 푦 definimos ambos 푥 e 푦 em termos de uma terceira
variável chamado parâmetro.
2.1 Definição e Exemplos
2.1 Definição. Sejam um intervalo 퐼 ⊂ ℝ e funções contínuas 푥(푡) e 푦(푡) definidas em
퐼.
1) Dizemos que a função
휆 : 퐼 → ℝ2
푡 → (푥(푡), 푦(푡))
é uma curva parametrizada.
2) O conjunto 퐶 = {(푥(푡), 푦(푡)); 푡 ∈ 퐼} (imagem da função 휆) é uma curva.
3) As equações ⎧⎨⎩ 푥(푡)푦(푡) ; 푡 ∈ 퐼
são equações paramétricas da curva 퐶. Dizemos também que essas equações parametrizam
a curva 퐶.
O parâmetro 푡 pode ser interpretado como tempo e (푥(푡), 푦(푡)) nos dá a posição de
um ponto no instante 푡, que se desloca no plano 푋푂푌 . A curva 퐶 é a trajetória descrita
pelo ponto. Assim como é possível fazer um percurso de várias maneiras (mais rápida ou
mais devagar, num sentido ou no outro, etc) uma dada curva pode ter várias equações
paramétricas.
Se o domínio do parâmetro é o intervalo fechado [푎, 푏], então (푥(푎), 푦(푎)) é o ponto inicial
da curva e (푥(푏), 푦(푏)) é o ponto final da curva.
2.2 Observação. O gráfico de qualquer função pode ser pensado como uma curva parametrizada.
De fato, dado uma função 푦 = 푓(푥), o gráfico de 푓 consiste dos pontos (푥, 푓(푥)), onde 푥
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
percorre os valores permitidas do domínio. Se definimos⎧⎨⎩ 푥 = 푥(푡) = 푡푦 = 푦(푡) = 푓(푡),
então plotando os pontos 푃 (푡) = (푥(푡), 푦(푡)) = (푡, 푓(푡)) da o gráfico de 푓 .
Exemplo 2.1. Considere a função 푦 = 푥2 no domínio −2 ≤ 푥 ≤ 2. O gráfico da função
como uma curva parametrizada é:⎧⎨⎩ 푥 = 푡푦 = 푡2 ;−2 ≤ 푡 ≤ 2.
Seja 푃 (푡) = (푡, 푡2), então 푃 (−2) = (−2, 4), 푃 (1) = (1, 1) assim por diante.
푥
푦
2−2
gráfico estático
푥
푦
movimento ao longo a curva
푃 (−2)
푃 (−1.5)
푃 (−1)
푃 (2)
푃 (1.5)
푃 (1)
푃 (0)
Exemplo 2.2. Determine equações paramétricas para a reta que liga 푃0 = (푥0, 푦0) ao
푃1 = (푥1, 푦1).
Solução
Método I: A reta é o conjuntos de pontos 푃 = 푃 (푡) = (푥(푡), 푦(푡)) tais que
−−→
푃0푃 = 푡
−−→
푃0푃1,
e portanto, ⎧⎨⎩ 푥(푡) = 푥0 + (푥1 − 푥0)푡푦(푡) = 푦0 + (푦1 − 푦0)푡 ; 0 ≤ 푡 ≤ 1
representa a reta ligando 푃0 ao 푃1.
Método II: A equação cartesiana da reta que liga (푥0, 푦0) ao (푥1, 푦1) é dada por
푦 = 푦0 +
(
푦1 − 푦0
푥1 − 푥0
)
(푥− 푥0), 푥0 ≤ 푥 ≤ 푥1.
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
Logo, da observação 2.1.2, podemos parametrizar a reta por⎧⎨⎩
푥(푡) = 푡
푦(푡) = 푦0 +
(
푦1 − 푦0
푥1 − 푥0
)
(푡− 푥0)
; 푥0 ≤ 푡 ≤ 푥1
Exemplo 2.3. Determine equações paramétricas para o círculo 퐶1 de raio 1 e centro
na origem.
Solução
Temos, 푃 = (푥, 푦) ∈ 퐶1 ⇔ 푥2 + 푦2 = 1
Para cada ponto 푃 = (푥, 푦) ∈ 퐶1, tomemos o
ângulo 푡 entre 푂푋 e 푂푃 tal que 푡 ∈ [0, 2휋].
Então ⎧⎨⎩ 푥(푡) = cos 푡푦(푡) = sen 푡 ; 푡 ∈ [0, 2휋]
são equações paramétricas dessa curva.
푥
푦 푃
푡
푂 푋
Exemplo 2.4. Os dois pares de equações a seguir também parametrizam o círculo 퐶1
de raio 1 e centro na origem:
푖)
⎧⎨⎩ 푥(푡) = cos (2푡)푦(푡) = sen (2푡) ; 푡 ∈ [0, 휋] 푖푖)
⎧⎨⎩ 푥(푡) = cos (−푡)푦(푡) = sen (−푡) ; 푡 ∈ [0, 2휋]
Em i) o ponto se desloca mais rápido, percorre o círculo na metade do tempo, no
sentido anti-horário. Em ii) o ponto se desloca mais devagar e em sentido horário.
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
Exemplo 2.5. Dado o círculo 퐶 de raio 푟 > 0 e centro no ponto (ℎ, 푘) determine
equações paramétricas para 퐶.
Solução
Temos, 푃 = (푥, 푦) ∈ 퐶 ⇔ (푥−ℎ)2+(푦−푘)2 = 푟2
⇔
(
푥− ℎ
푟
)2
+
(
푦 − 푘
푟
)2
= 1⇔
푄 =
(
푥− ℎ
푟
,
푦 − 푘
푟
)
pertence ao círculo 퐶1,
dado anteriormente. Tomemos então⎧⎨⎩
푥− ℎ
푟
= cos 푡
푦 − 푘
푟
= sen 푡
; 푡 ∈ [0, 2휋]
Para cada ponto 푃 = (푥, 푦) ∈ 퐶 temos⎧⎨⎩ 푥(푡) = 푟 cos 푡+ ℎ푦(푡) = 푟 sen 푡+ 푘 ; 푡 ∈ [0, 2휋]
que são equações paramétricas de 퐶.
ℎ
푘
푦 푃
푡
푂 푥
Exemplo 2.6. Seja a elipse 퐸 com centro no ponto (ℎ, 푘), eixos paralelos aos eixos
coordenadas e semi-eixos 푎 e 푏. Determinar equações paramétricas para 퐸.
Solução
Temos 푃 = (푥, 푦) ∈ 퐸 ⇔ (푥− ℎ)
2
푎2
+
(푦 − 푘)2
푏2
= 1⇔
(
푥− ℎ
푎
)2
+
(
푦 − 푘
푏
)2
= 1⇔
⇔ 푄 =
(
푥− ℎ
푎
,
푦 − 푘
푏
)
pertence ao círculo 퐶1. Tomemos então
⎧⎨⎩
푥− ℎ
푎
= cos 푡
푦 − 푘
푏
= sen 푡
; 푡 ∈ [0, 2휋]
Para cada ponto 푃 = (푥, 푦) ∈ 퐸 temos⎧⎨⎩ 푥(푡) = 푎 cos 푡 + ℎ푦(푡) = 푏 sen 푡 + 푘 ; 푡 ∈ [0, 2휋]
que são equações paramétricas de 퐸.
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
Exemplo 2.7. Determinar as equações paramétricas do ciclóide - trajetória descrita
por um ponto 푃 sobre uma circunferência de raio 푅 que rola sem deslizar sobre o eixo 푥.
Solução
퐴
퐶 ′
퐵
푄퐶
푦
푃 ′
푡
푃 푥
푡 é o ângulo varrido pelo raio 퐶푃 quando o círculo rola para uma nova posição. O giro
da circunferência implica que
o comprimento do segmento 푃퐴= o comprimento do arco 푃 ′퐴, ou seja, ∣푂퐴∣ = 푅푡.
Seja 푃 ′ = (푥, 푦) e considere o triângulo 퐶 ′푃 ′푄 :
푡− 180∘
−푅 sen 푡
푄
푃 ′
퐶 ′
−푅 cos 푡푅
Logo as equações paramétricas são:⎧⎨⎩ 푥 = ∣푃퐴∣+ ∣퐴퐵∣ = ∣푃퐴∣+ ∣퐶 ′푄∣ = 푅푡− 푅 sen 푡 = 푅(푡− sen 푡)푦 = ∣푄퐵∣+ ∣푃 ′푄∣ = 푅− 푅 cos 푡 = 푅(1− cos 푡)
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
Exemplo 2.8. Determinar as equações paramétricas do astróide - trajetória descrita
por um ponto 푃 sobre uma circunferência de raio 푅/4 rolando sem deslizar ao longo de
outro círculo de raio 푅.
Solução
퐴
퐴′
푆
푅
푄
푦
푃
푡
휃
훼
푂 푥
푡 é o ângulo varrido pelo raio 푂퐴 quando o círculo rola para uma nova posição. O giro
da circunferência implica que
o comprimento do arco 퐴퐴′= o comprimento do arco 푃퐴′,
ou seja, 푅푡 =
푅휃
4
⇒ 휃 = 4푡, onde 휃 é o ângulo 푃 푆ˆ퐴′.
Seja 푃 = (푥, 푦) e considere o triângulo 푃푆푅, com ângulo 푃 푆ˆ푅 = 훼. Então
훼 = 휃 − 푡− 180∘ = 3푡− 180∘.
As coordenadas do ponto 푃 satisfazem as relações:
(1)
⎧⎨⎩
푥 = ∣푂푄∣ − ∣푅푆∣ = 3푅
4
cos 푡− 푅
4
cos 훼
푦 = ∣푆푄∣+ ∣푃푅∣ = 3푅
4
sen 푡+
푅
4
sen 훼
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.1: Definição e exemplos
Como 훼 = 3푡− 180∘, temos que
(2)
⎧⎨⎩ cos (3푡− 180∘) = − cos (3푡) = 3 cos 푡− 4 cos 3푡sen (3푡− 180∘) = − sen (3푡) = 4 sen 3푡− 3 sen 푡
Substituindo (2) em (1) temos ⎧⎨⎩ 푥 = 푅 cos 3푡푦 = 푅 sen 3푡
que são as equações paramétricas do astróide.
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos
2.2 Construção de gráficos de curvas paramétricas
Neste seção, estudamos maneiras de esboçargráficos de curvas paramétricas⎧⎨⎩ 푥 = 푓(푡)푦 = 푔(푡)
∙ MÉTODO I: Fazendo uma tabela
As vezes podemos esboçar o gráfico fazendo uma tabela escolhendo alguns valores
de 푡. Neste método não é sempre aconselhável pois é difícil sabe até quantos valores
de 푡 podemos escolher para pode esboçar o gráfico perfeitamente.
Exemplo 2.9. Esboçar a curva descrita pelas equações paramétricas⎧⎨⎩ 푥 = 푡
2 − 4
푦 =
푡
2
− 2 ≤ 푡 ≤ 3
Solução
t x y
-2 0 -1
-1 -3 -0,5
0 -4 0
1 -3 0,5
2 0 1
3 5 1,5
1
2
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2−3−4 푥
푦
푡 = −2
푡 = 0
푡 = 3
■
∙ MÉTODO II: Transformando a equação paramétrica para cartesiana
Podemos esboçar o gráfico de uma paramétrica transformando-la para cartesiana
eliminando o parâmetro 푡 entre as equações.
Exemplo 2.10. Ache a equação cartesiana da astróide⎧⎨⎩ 푥 = 푅 cos 3푡푦 = 푅 sen 3푡 0 ≤ 푡 ≤ 2휋
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos
Solução ⎧⎨⎩
푥 = 푅 cos 3푡⇒ cos 푡 =
( 푥
푅
)1/3
푦 = 푅 sen 3푡⇒ sen 푡 =
( 푦
푅
)1/3
Como
cos 2푡+ sen 2푡 = 1
⇒
( 푥
푅
)2/3
+
( 푦
푅
)2/3
= 1
⇒ 푥2/3 + 푦2/3 = 푅2/3
que a equação cartesiana. ■
Exemplo 2.11. Eliminar o parâmetro 푡 na seguinte equação paramétrica e esboçar
seu gráfico ⎧⎨⎩
푥 =
1√
푡 + 1
푦 =
푡
푡 + 1
푡 > −1
Solução
푦 =
푡
푡 + 1
⇒ 푡 = 푦
1− 푦
Substituindo em 푥 =
1√
푡+ 1
, temos
푥 =
√
1− 푦 ou 푦 = 1− 푥2.
Ou seja o gráfico é parte do gráfico da
parabola 푦 = 1− 푥2, com 푥 > 0 e 푦 < 1.
1
2
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5−1 푥
푦
■
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos
Exemplo 2.12. Eliminar o parâmetro 푡 na seguinte equação paramétrica e esboçar
seu gráfico ⎧⎨⎩ 푥 = 3 cos (2푡)푦 = 1 + 2 cos 2(2푡) 0 ≤ 푡 ≤ 휋
Solução
푥 = 3 cos (2푡)⇒ cos (2푡) = 푥
3
Substituindo em 푦 = 1+2 cos 2(2푡), temos
푦 = 1 +
(푥
3
)2
= 1 +
푥2
9
.
Ou seja o gráfico é parte do gráfico da
parabola
푦 = 1 +
푥2
9
percorrida duas vezes, com
−3 ≤ 푥 ≤ 3 e 1 ≤ 푦 ≤ 2.
1
2
−1
1 2 3−1−2−3 푥
푦
푡 = 휋
2 푡 = 0, 휋
푡 = 휋
4
, 3휋
4
■
∙ MÉTODO III: Usando Noções de Calculo A
a) Pontos de interseção com os eixos, caso existem,ou fácil de calcular
b) Pontos de auto-interseção - pontos por onde a curva passa duas vezes (ou
seja em dois instantes diferentes), caso existem,
c) Os tangentes horizontais
(
푑푦
푑푡
= 0 e
푑푥
푑푡
∕= 0
)
caso existem,
d) Os tangentes verticais
(
푑푥
푑푡
= 0 e
푑푦
푑푡
∕= 0
)
caso existem,
e) Estudo de crescimento e decrescimento de 푥 e 푦
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos
Exemplo 2.13. Esboçar o gráfico de⎧⎨⎩ 푥 = 푡
2 + 1
푦 =
−푡3
3
+ 푡+ 1
Solução
– Interseção com os eixos:
푦 = 0⇒ −푡
3
3
+ 푡+ 1 = 0 que é difícil de resolver.
푥 ∕= 0 ∀푡, então a curva não intersecta o eixo 푦.
– Auto-Interseção:
Sejam 푡1 < 푡2 tais que 푥(푡1) = 푥(푡2) e 푦(푡1) = 푦(푡2).
푥(푡1) = 푥(푡2)⇒ (푡1)2 + 1 = (푡2)2 + 1⇒ 푡1 = ±푡2 ⇒ 푡1 = −푡2.
⎧⎨⎩
푦(푡1) = 푦(푡2)
e
푡1 = −푡2
⇒ (푡1)
3
3
− 푡1 = 0⇒ 푡1 = 0 ou 푡1 = ±
√
3
푡1 = 0⇒ 푡1 = 푡2 (não serve!). Então 푡1 = −
√
3 e 푡2 =
√
3. Temos,
푡 = ±
√
3⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 4푦 = 1
– Tangentes
푑푥
푑푡
= 2푡 = 0 ⇒ 푡 = 0, ou seja a função tem uma reta tangente vertical no
ponto (1, 1).
푑푦
푑푡
= −푡2+1 = 0⇒ 푡 = ±1, ou seja a função tem 2 retas tangentes horizontais
nos pontos (2, 5
3
) e (2, 1
3
).
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.2: Construção de gráficos
– Crescimento e decrescimento
−1 0 1
+ + ++++++ ++++++−−−−− −−−−−−
푡
sinal de
푑푥
푑푡
crescimento de 푥 descrescente crescentedescrescente crescente
−1 0 1
−−−−−− ++++++−−−−− +++++ 푡sinal de 푑푦
푑푡
crescimento de 푦 crescente crescentedescrescente descrescente
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 푥
푦
푡 = ±√3푡 = 0
푡 = 1
푡 = −1
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.3: Exercícios
2.3 Exercícios
[1] Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando 푡 nas equações,
achar as equações na forma cartesiana:
(1.1)
⎧⎨⎩ 푥 = 푡2푦 = 푡3 (1.2)
⎧⎨⎩ 푥 = 푡5 − 4푡3푦 = 푡2
(1.3)
⎧⎨⎩ 푥 = 푒2푡푦 = 푡3 + 2푡 (1.4)
⎧⎨⎩ 푥 =
√
푡
푦 = 푡
, 푡 ≥ 0.
(1.5)
⎧⎨⎩ 푥 = 3푡+ 2푦 = 1
2푡− 1
(1.6)
⎧⎨⎩ 푥 = 2 cotg 휃푦 = 2 sen 2휃
(1.7)
⎧⎨⎩ 푥 = 푡(푡2 − 2)푦 = 2(푡2 − 1) (1.8)
⎧⎨⎩
푥 =
3푡
1 + 푡3
푦 =
3푡2
1 + 푡3
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.4: Reta Tangentes
2.4 Reta Tangentes de curvas Paramétricas
Neste seção queremos determinar a equação da reta tangente ao equações paramétri-
cas dado por:
푥 = 푓(푡) 푦 = 푔(푡) (∗)
Recordamos que a equação da reta tangente ao 푦 = 퐹 (푥) no ponto (푎,퐹 (푎)) é dado por
푦 = 퐹 (푎) +푚(푥− 푎), onde 푚 = 푑푦
푑푥
∣∣∣
푥=푎
= 퐹 ′(푎) (∗∗)
Então se podemos calcular
푑푦
푑푥
para as equações paramétricas, podemos usar (∗∗)
para achar a equação da reta tangente.
∙ Cálculo de 푑푦
푑푥
:
Suponha que podemos eliminar o parâmetro 푡 em (∗) e reescreve-lo na forma 푦 =
퐹 (푥). Se substituirmos 푥 = 푓(푡) e 푦 = 푔(푡) na equação 푦 = 퐹 (푥), obtermos
푔(푡) = 퐹 (푓(푡))
Derivando usando a Regra da Cadeia, temos
푔′(푡) = 퐹 ′(푓 ′(푡))
Mudando a notação, temos que
푑푦
푑푡
= 퐹 ′(푥)
푑푥
푑푡
Resolvendo por 퐹 (푥) =
푑푦
푑푥
temos
푑푦
푑푥
=
푑푦
푑푡
푑푥
푑푡
, desde que
푑푥
푑푡
∕= 0
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.4: Reta Tangentes
Da mesma forma
푑푥
푑푦
=
푑푥
푑푡
푑푦
푑푡
, desde que
푑푦
푑푡
∕= 0
Exemplo 2.14. Ache as retas tangentes ao curva paramétrica dada por⎧⎨⎩ 푥 = 푡3 − 2푡푦 = 2푡2 − 2 no ponto (0, 2).
Solução
푚 =
푑푦
푑푥
=
푑푦
푑푡
푑푥
푑푡
=
4푡
3푡2 − 2
Quando 푥 = 0, 푦 = 2⇒ 푡 = ±√2
Para 푡 = −
√
2 ,푚 =
푑푦
푑푥
∣∣∣
푡=−
√
2
= −
√
2
Então a reta tangente no ponto (푡 = −√2) é
푦 = 2−
√
2푥
Para 푡 =
√
2 ,푚 =
푑푦
푑푥
∣∣∣
푡=
√
2
=
√
2
Então a reta tangente no ponto (푡 =
√
2) é
푦 = 2 +
√
2푥
■
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.4: Reta Tangentes
∙ Cálculo de 푑
2푦
푑푥2
:
Para calcular a segunda derivada usamos a regra da cadeia duas vezes:
푑2푦
푑푥2
=
푑
푑푥
(
푑푦
푑푥
)
=
푑
푑푡
(
푑푦
푑푥
)
푑푥
푑푡
Exemplo 2.15. Calcule a segunda derivada da seguintes equações paramétricas⎧⎨⎩ 푥 = 푡3 − 2푡푦 = 2푡2 − 2 no ponto (0, 2)
e diga se ela tem concavidade voltada para baixo ou para cima neste ponto.
Solução
푑2푦
푑푥2
=
푑
푑푡
(
푑푦
푑푥
)
푑푥
푑푡
=
푑
푑푡
(
4푡
3푡2 − 2
)
3푡2 − 2
=
(
4(3푡2 − 2)− (4푡)(6푡)
(3푡2 − 2)2
)
3푡2 − 2
=
−12푡2 − 8
(3푡2 − 2)3
Quando 푥 = 0, 푦 = 2⇒ 푡 = ±√2, Logo
푑2푦
푑푥2
∣∣∣
푡=±
√
2
= −1
2
< 0
Portanto a concavidade é voltada para baixo on ponto (0,2).
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.5: Exercícios
2.5 Exercícios
[1] Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(1.1)
⎧⎨⎩ 푥 = sen 푡푦 = sen 2푡 , 푡 ∈
[
− 휋
2
,
휋
2
]
,
푑푦
푑푥
, no ponto 푡 =
휋
6
(1.2)
⎧⎨⎩ 푥 = 6푡(1 + 푡2)−1푦 = 6푡2(1 + 푡2)−1 , 0 ≤ 푡 ≤ 1, 푑푦푑푥 , no ponto de abscissa 125
(1.3)
⎧⎨⎩ 푥 = 푡 + sen (휋2 푡)푦 = 푡 + ln 푡 , 푡 > 0, 푑푦푑푥 , no ponto 푡 = 8
[2] Calcule
푑2푦
푑푥2
nos seguintes casos:
(2.1)
⎧⎨⎩ 푥 = sen 푡푦 = sen 2푡 , 푡 ∈
[
− 휋
2
,
휋
2
]
(2.2)
⎧⎨⎩ 푥 = 푒−푡푦 = 푒3푡
[3] Verifique se:
(3.1)
⎧⎨⎩푥 = sec (푡)푦 = ln( cos 푡) , 푡 ∈
]
− 휋
2
,
휋
2
[
, satisfaz a equação
푑2푦
푑푥2
+ 푒푦 ⋅ 푑푦
푑푥
= 0
(3.2)
⎧⎨⎩ 푥 = arcsen(푡)푦 = √1− 푡2 , 푡 ∈ [−1, 1], satisfaz a equação sen 푥 ⋅ 푑
2푦
푑푥2
+ 푦 ⋅ 푑푦
푑푥
= 0
[4] Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva 퐶, no ponto de abscissa
푥0 = −1
4
, sendo 퐶, definida parametricamente pelas equações⎧⎨⎩ 푥 = 2 cos 3푡푦 = 2 sen 3푡 , 푡 ∈ [0, 휋].
[5] Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva 퐶, no ponto
com 푡 = 1, sendo 퐶, definida parametricamente pelas equações⎧⎨⎩ 푥 = 푡푦 = 푡 + 2 arctg(푡) .
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 88
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.6: Áreas
2.6 Área de curvas paramétricas
Determinamos a área sobre uma curva dado por equações paramétricas:⎧⎨⎩ 푥 = 푓(푡)푦 = 푔(푡) 푡 ∈ [훼, 훽] (∗)
tais que
푡1 ∕= 푡2 ⇒ (푥(푡1), 푦(푡1)) ∕= (푥(푡2), 푦(푡2))
(não queremos repetir trechos da curva).
Recordamos que a área sob uma curva 푦 = 퐹 (푥) de 푎 ≤ 푥 ≤ 푏 é
퐴 =
∫ 푏
푎
퐹 (푥) 푑푥, (∗∗) onde 퐹 (푥) ≥ 0.
Usando a equação paramétrica (∗) como uma mudança na integral definida (∗∗),
∙ Vamos supor que quando 푥 = 푎, 푡 = 훼 (ou seja 푓(훼) = 푎) e quando 푥 = 푏, 푡 = 훽
(ou seja 푓(훽) = 푏.)
∙ 푑푥 = 푓 ′(푡) 푑푡
∙ 푦 = 퐹 (푥) = 퐹 (푓(푡)) = 푔(푡)
Substituindo em (∗∗), temos que área é
퐴 =
∫ 훽
훼
푔(푡)푓 ′(푡) 푑푡.
Exemplo 2.16. Determine a área por baixo da ciclóide
⎧⎨⎩ 푥 = 6(푡− sen 푡)푦 = 6(1− cos 푡) 0 ≤ 푡 ≤ 2휋.
Solução
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 89
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.6: Áreas
Observe que não há trechos repetidos. Logo
퐴 =
∫ 2휋
0
푦(푡) ⋅ 푑푥
푑푡
푑푡 =
∫ 2휋
0
6(1− cos 푡) ⋅ 6(1− cos 푡) 푑푡
= 36
∫ 2휋
0
(1− 2 cos 푡 + cos 2푡) 푑푡
= 36
∫ 2휋
0
(
1− 2 cos 푡 + 1 + cos 2푡
2
)
푑푡
= 18
∫ 2휋
0
(3− 4 cos 푡 + cos 2푡) 푑푡
= 18
[
3푡− 4 sen 푡+ 1
2
sen 2푡
]2휋
0
= 108휋.
Exemplo 2.17. Calcular a área da região do plano limitada pelo laço da curva 퐶 de
equações paramétricas
⎧⎨⎩ 푥 = −
푡3
3
+ 푡
푦 = 푡2 − 1
(∗)
Solução
∙ Estudo de crescimento e decrescimento de 푥 e 푦 :⎧⎨⎩
푑푥
푑푡
= −푡2 + 1
푑푦
푑푡
= 2푡⎧⎨⎩
푑푦
푑푡
= 0⇒ 푡 = 0⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 0푦 = −1
푑푥
푑푡
= 0⇒ 푡 = −1⇒
⎧⎨⎩ 푥 =
−2
3
푦 = 0
ou 푡 = 1⇒
⎧⎨⎩ 푥 =
2
3
푦 = 0
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 90
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.6: Áreas
−1 0 1
+ + ++++++ ++++++−−−−− −−−−−−
푡
sinal de
푑푥
푑푡
crescimento de 푥 crescente crescentedescrescente descrescente
−1 0 1
−−−−−− ++++++−−−−− +++++
푡
sinal de
푑푦
푑푡
crescimento de 푦 descrescente crescentedescrescente crescente
Usando apenas estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva
(fig.1) e no (fig. 2) apresenta esta curva de forma mais exata.
푥
푦
푡 =
√
3
푡 = 0
É preciso calcular o ponto de auto-interseção da curva, que é um ponto por onde o móvel
passa duas vezes )ou sejam em dois instantes diferentes).
Logo, sejam 푡1 < 푡2 tais que 푥(푡1) = 푥(푡2) e 푦(푡1) = 푦(푡2).
푦(푡1) = 푦(푡2)⇒ (푡1)2 − 1 = (푡2)2 − 1⇒ 푡1 = ±푡2 ⇒ 푡1 = −푡2.
⎧⎨⎩
푥(푡1) = 푥(푡2)
e
푡1 = −푡2
⇒ −(푡2)
3
3
− 푡2 = −(푡2)
3
3
+ 푡2 ⇒ −(푡2)
3
3
− 푡2 = 0⇒ 푡2 = 0 ou 푡2 = ±
√
3
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 91
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.6: Áreas
푡2 = 0⇒ 푡1 = 푡2 (não serve!). Então 푡1 = −
√
3 e 푡2 =
√
3. Temos,
푡 = ±
√
3⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 0푦 = 2
Pela maneira como a curva é descrita pelas equações, vemos que não há repetição de
trechos. Logo,
퐴 = 2 ⋅
∫ √3
0
푥(푡)
푑푦
푑푡
푑푡
= 2 ⋅
∫ √3
0
(
−푡
3
3
+ 푡
)
⋅ 2푡 푑푡
= 4 ⋅
∫ √3
0
(
−푡
4
3
+ 푡2
)
푑푡
= 4
[
− 푡
5
15
+
푡3
3
]√3
0
= 4
[
−9√3
15
+
3
√
3
3
]
=
8
√
3
5
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 92
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.7: Exercícios
2.7 Exercícios
[1] Determine a área limitada:
(1.1) pelo eixo 푂푥, 푥 = 1, 푥 = 푒 e a curva de
equações paramétricas
⎧⎨⎩ 푥 = 푒2푡푦 = 2 + 푡2
푥
푦
푒1
(1.2) pelas curvas de equações 푥 = 2 e⎧⎨⎩ 푥 = 푡2 + 1푦 = 푡3 + 2푡
푥
푦
21
3
−3
(1.3) pelo laço de curva
⎧⎨⎩ 푥 = 푡3 − 푡푦 = 푡2 − 1
푥
푦
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 93
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.7: Exercícios
(1.4) pelo laço de curva
⎧⎨⎩ 푥 = 푡
2
푦 = 푡− 푡
3
3
푥
푦
[2] Seja 푅 a região do plano acima da reta 푦 = 2 e abaixo do arco da ciclóide de equações⎧⎨⎩ 푥(푡) = 2(푡− sen 푡)푦(푡) = 2(1− cos 푡) , 푡 ∈ [0, 2휋].
Esboce 푅 e calcule a sua área.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 94
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
2.8 Comprimentos de curvas paramétricas
Dedução da fórmula para comprimentos de arcos
Seja uma curva dada por equações
paramétricas contínuas⎧⎨⎩ 푥 = 푥(푡)푦 = 푦(푡) 푡 ∈ [푎, 푏]
tais que
푡1 ∕= 푡2 ⇒ (푥(푡1), 푦(푡1)) ∕= (푥(푡2), 푦(푡2))
(não queremos repetir trechos da curva)
Vamos determinar (ou melhor, definir) o comprimento 퐿 da curva:
Tomemos números 푡0, 푡1, ⋅ ⋅ ⋅ , 푡푛 tais que 푎 = 푡0 < 푡1 < ⋅ ⋅ ⋅ 푡푖−1 < 푡푖 < ⋅ ⋅ ⋅ 푡푛 = 푏 e pontos
sobre a curva 푃푖 = (푥(푡푖), 푦(푡푖)) , para 푖 = 1, ⋅ ⋅ ⋅ ,푛.
O comprimento da linha poligonal 푃0푃1,푃1푃2, ⋅ ⋅ ⋅ ,푃푖−1푃푖, ⋅ ⋅ ⋅ ,푃푛−1푃푛 é uma estimativa
para 퐿, e tomando-se pontos 푃푖 cada vez mais próximo uns dos outros espera-se que este
comprimento se aproxime cada vez mais de 퐿. Isto é, indicado a distância entre 푃푖−1 e 푃푖
por 푑(푃푖−1,푃푖) temos
퐿 ≅ 푑(푃0,푃1) + 푑(푃1,푃2) + ⋅ ⋅ ⋅+ 푑(푃푛−1,푃푛)
Da geometria analítica temos,
푑(푃푖−1,푃푖) =
√
(푦(푡푖)− 푦(푡푖−1))2 + (푥(푡푖)− 푥(푡푖−1))2
Supondo que cada uma das funções 푦(푡) e 푥(푡) tenha derivada contínua, pelo teorema do
valor médio para derivadas, em cada intervalo [푡푖−1, 푡푖] existem 훼푖, 훽푖 ∈ [푡푖−1, 푡푖] tais que
푥(푡푖)− 푥(푡푖−1) = 푥′(훼푖) ⋅ (푡푖 − 푡푖−1) e 푦(푡푖)− 푦(푡푖−1) = 푦′(훽푖) ⋅ (푡푖 − 푡푖−1)
Indicando Δ푡푖 = 푡푖 − 푡푖−1 temos
푑(푃푖−1,푃푖) =
√
(푦′(훽푖))
2 + (푥′(훽푖))
2Δ푡푖
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 95
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
Então,
퐿 ≅
푛∑
푖=0
√
(푦′(훽푖))
2 + (푥′(훽푖))
2Δ푡푖 e 퐿 = lim
maxΔ푡푖→0
(
푛∑
푖=0
√
(푦′(훽푖))
2 + (푥′(훽푖))
2Δ푡푖
)
Como 푦′(푡) e 푥′(푡) são contínuas,
퐿 =
∫ 푏
푎
√
(푦′(푡))2 + (푥′(푡))2 푑푡.
2.3 Observação. Se 푣(푡) é o vetor velocidade da curva parametrizada então 퐿 =
∫ 푏
푎
∣푣(푡)∣ 푑푡.
Isto é "a integral do módulo da velocidade é igual à distância percorrida".
Exemplo 2.18. Use integral para calcular o comprimento do circulo de raio 4 e centro
(1,2).
Solução
Sejam as equações paramétricas do circulo⎧⎨⎩ 푥 = 4 cos 푡+ 1푦 = 4 sen 푡 + 2 푡 ∈ [0, 2휋]
Com estas equações não há repetição de trechos da curva
퐿 =
∫ 2휋
0
√
(−4 ⋅ sen 푡)2 + (4 cos 푡)2 푑푡 = 4
∫ 2휋
0
√
sen 2푡+ cos 2푡 푑푡 = 4
∫ 2휋
0
푑푡 = 8휋.
2.4 Observação. O comprimento da elipse (que não seja círculo) não pode ser calculado
de forma análoga pois para 푎2 ∕= 푏2 a integral
∫ √
푎2 sen 2(푡) + 푏2 cos 2(푡) 푑푡 não pode
ser representada usando funções elementares.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 96
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
Exemplo 2.19. Calcule o comprimento de arco da curva de equações paramétricas⎧⎨⎩ 푥 = 푡− 푡2푦 = 0 0 ≤ 푡 ≤ 1
Solução
Observe que há trechos repetidos pois
(푥(푡1), 푦(푡1)) = (푥(푡2), 푦(푡2)) ∀푡1 ∈ [0, 1/2[ e ∀푡2 ∈]1/2, 1].
Logo o comprimento
퐿 =
∫ 1/2
0
√
(1− 2푡)2 + (0)2 푑푡 =
∫ 1/2
0
∣1− 2푡∣ 푑푡 =
∫ 1/2
0
(1− 2푡) 푑푡 = 1
4
.
Exemplo 2.20. Esboce e calcule o comprimento de arco de equações paramétricas⎧⎨⎩ 푥 = 2( cos 푡− 1)푦 = 2(푡+ sen 푡) 푡 ∈ [0, 2휋]
Solução
∙ Estudo de crescimento e decrescimento de 푥 e 푦 :⎧⎨⎩
푑푥
푑푡
= −2sen 푡
푑푦
푑푡
= 2(1 + cos 푡)⎧⎨⎩
푑푥
푑푡
= 0⇒ 푡 = 0⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 0푦 = 0
푑푦
푑푡
= 0⇒ 푡 = 휋 ⇒
⎧⎨⎩ 푥 = −4푦 = 2휋 ou 푡 = 2휋 ⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 0푦 = 4휋
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Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
0 휋 2휋
−−−−−−−− ++++++
푡
sinal de
푑푥
푑푡
crescimento de 푥 descrescente crescente
0 휋 2휋
+++++ ++++++
푡
sinal de
푑푦
푑푡
crescimento de 푦 crescente crescente
Usando apenas estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva
(fig.1) e no (fig. 2) apresenta esta curva de forma mais exata.
푥
푦
Pela maneira como a curva é descrita pelas equações, vemos que não há repetição de tre-
chos. Logo,
퐿 =
∫ 2휋
0
√
(−2 sen 푡)2 + (2(1 + cos 푡))2 푑푡 =
= 2
∫ 2휋
0
√
sen 2푡+ 1 + 2 cos 푡+ cos 2푡 푑푡 = 2
∫ 2휋
0
√
2 + 2 cos 푡 푑푡
= 2
√
2
∫ 2휋
0
√
1 + cos 푡 푑푡
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 98
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
Usando a fórmula cos 2
(
푡
2
)
=
1 + cos 푡
2
. Temos
퐿 = 2
√
2
∫ 2휋
0
√
2푐표푠2(푡/2) 푑푡 = 4
∫ 2휋
0
∣ cos (푡/2)∣ 푑푡
Então de acordo com o sinal de cos (푡/2),
퐿 = 4
(∫ 휋
0
cos (푡/2) 푑푡−
∫ 2휋
휋
cos (푡/2) 푑푡
)
= 8 [ sen (푡/2)]휋0 − 8 [ sen (푡/2)]2휋휋 = 16.
Exemplo 2.21. Esboce a curva e calcule o comprimento de arco do laço da curva de
equações paramétricas ⎧⎨⎩ 푥 = 푡
2 + 1
푦 =
푡3
3
− 푡+ 1
푡 ∈ ℝ
Solução
∙ Estudo de crescimento e decrescimento de 푥 e 푦 :⎧⎨⎩
푑푥
푑푡
= 2푡
푑푦
푑푡
= 푡2 − 1⎧⎨⎩
푑푥
푑푡
= 0⇒ 푡 = 0⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 1푦 = 1
푑푦
푑푡
= 0⇒ 푡 = −1⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 2푦 = 5
3
ou 푡 = 1⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 2푦 = 1
3
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 99
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
−1 0 1
−−−−−−−− ++++++−−−−− +++++
푡
sinal de
푑푥
푑푡
crescimento de 푥 descrescente crescentedescrescente crescente
−1 0 1
−−−−−− −−−−−−+++++ +++++
푡
sinal de
푑푦
푑푡
crescimento de 푦 descrescente descrescentecrescente crescente
∙ Calculando a auto-interseção:
Sejam 푡1 < 푡2 tais que 푥(푡1) = 푥(푡2) e 푦(푡1) = 푦(푡2).
푥(푡1) = 푥(푡2)⇒ (푡1)2 + 1 = (푡2)2 + 1⇒ 푡1 = ±푡2 ⇒ 푡1 = −푡2.
⎧⎨⎩
푦(푡1) = 푦(푡2)
e
푡1 = −푡2
⇒ −(푡2)
3
3
+푡2+1 =
(푡2)
3
3
−푡2+1⇒ −(푡2)
3
3
+푡2 = 0⇒ 푡2 = 0 ou 푡2 = ±
√
3
푡2 = 0⇒ 푡1 = 푡2 (não serve!). Então 푡1 = −
√
3 e 푡2 =
√
3. Temos,
푡 = ±
√
3⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 4푦 = 1
Esboçando a curva com estas informações temos a seguinte representação gráfica
para a curva (fig.1) e no (fig. 2) apresenta esta curva de forma mais exata.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 100
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
푥
푦
Calculando o comprimento do laço
퐿 =
∫ √3
−
√
3
√
(2푡)2 + (푡2 − 1)2 푑푡 =
∫ √3
−
√
3
√
푡4 + 2푡2 + 1 푑푡
=
∫ √3
−
√
3
√
(푡2 + 1)2 푑푡 =
∫ √3
−
√
3
∣푡2 + 1∣푑푡
Como 푡2 + 1 é positivo para todo 푡,
퐿 =
∫ √3
−
√
3
(푡2 + 1) 푑푡 =
[
푡3
3
+ 푡
]
= 4
√
3.
Exemplo 2.22. As equações paramétricas a seguir dão a posição de uma partícula em
cada instante 푡, durante o intervalo de tempo 0 ≤ 푡 ≤ 휋.⎧⎨⎩ 푥 = cos (2푡)푦 = sen 2(푡) (∗)
a) Calcule a distancia total percorrida pela partícula.
b) Verifique se há trechos da trajetória que são repetidos durante o movimento.
c) Esboce a trajetória e calcule seu comprimento.
Solução
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 101
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
a) Basta aplicar a fórmula do comprimento de arco no intervalo 0 ≤ 푡 ≤ 휋 (se houver
repetição de algum trecho, deve ser contabilizada).⎧⎨⎩
푑푥
푑푡
= −2 sen (2푡) = −4 sen (푡) cos (푡)
푑푦
푑푡
= 2 sen (푡) cos (푡)
(∗∗)
퐷 =
∫ 휋
0
√
16 sen 2(푡) cos 2(푡) + 4 sen 2(푡) cos 2(푡) 푑푡 =
√
5
∫ 휋
0
∣ sen (2푡)∣ 푑푡 =
De acordo com o sinal de sen (2푡), temos
퐷 =
√
5
∫ 휋
0
∣ sen (2푡)∣ 푑푡 =
√
5
(∫ 휋/2
0
sen (2푡) 푑푡−
∫ 휋
휋/2
sen (2푡) 푑푡
)
= 2
√
5.
b) Vamos determinar valores de 푡 tais que 푡1 < 푡2 e (푥(푡1), 푦(푡1)) = (푥(푡2), 푦(푡2)) :
Das equações (∗) temos,⎧⎨⎩
sen 2(푡1) = sen
2(푡2)
com
푡1 < 푡2 e 푡1, 푡2 ∈ [0, 휋]
⇔
⎧⎨⎩
sen (푡1) = sen (푡2)
com
푡1 < 푡2 e 푡1, 푡2 ∈ [0, 휋]
⇔ 푡2 = 휋−푡1 com 푡1 ∈
[
0,
휋
2
]
cos (2푡2) = cos (2휋 − 2푡1) = cos (−2푡1) = cos (2푡1)
Então nos instantes 푡2 e 푡1 tais que 푡1 ∈ [0, 휋/2] e 푡2 = 휋 − 푡1, a partícula ocupa a
mesma posição. Concluímos que após 푡 = 휋/2 a partícula repete (retorna) a mesma
trajetória descrita até este instante.
c) De acordo com b) só precisamos trabalhar com 푡 ∈ [0, 휋/2]. Com as equações (∗)
temos
푡 = 0⇒
⎧⎨⎩ 푥 = 1푦 = 0 ; 푡 = 휋/2
⎧⎨⎩ 푥 = −1푦 = 1
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 102
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos
Esta trajetória é de fato um segmento da reta 푦 = (1− 2푥)/2 (tente verificar!)
De acordo com o que foi discutido antes, o comprimento da trajetória é igual à
metade da distância percorrida pela partícula, ou seja, 퐿 =
퐷
2
=
√
5.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 103
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.9: Exercícios
2.9 Exercícios
[1] Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo:
(1.1)
⎧⎨⎩ 푥 = 2 cos 푡푦 = 2 sen 푡 , 0 ≤ 푡 ≤ 2휋 (1.2)
⎧⎨⎩ 푥 =
1
푡
푦 = ln 푡
, 1 ≤ 푡 ≤ 2
(1.3)
⎧⎨⎩ 푥 = 푎 cos 3푡푦 = 푎 sen 3푡 , 0 ≤ 푡 ≤ 2휋, 푎 > 0 (1.4)
⎧⎨⎩ 푥 = 푡− 푡2푦 = 0 , 0 ≤ 푡 ≤ 1
(1.5)
⎧⎨⎩ 푥 = 푎(푡− sen 푡)푦 = 푎(1− cos 푡) , 0 ≤ 푡 ≤ 2휋 (1.6)
⎧⎨⎩ 푥 = 푒푡 sen 푡푦 = 푒푡 cos 푡 , 0 ≤ 푡 ≤ 휋2
[2] As equações
⎧⎨⎩ 푥 = 4푡+ 3푦 = 2푡2 dão a posição (푥, 푦) de uma partícula no instante 푡.
Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 0 ≤ 푡 ≤ 5.
[3] Determine o comprimento de arco do laço de curva
⎧⎨⎩ 푥 = 푡
2
푦 = 푡− 푡
3
3
푥
푦
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 104
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.10: Respostas
2.10 Respostas dos Exercícios Propostos
∙ Construção de gráficos de curvas paramétricas (página 84)
[1]
푥
푦 (1.1) 푦2 = 푥3
푥
푦
(1.2) 푥2 = 푦5 − 8푦4 + 16푦3
푥
푦
(1.3) 푦 =
1
8
(ln 푥)3 + ln 푥
푥
푦
(1.4) 푦 = 푥2
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 105
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.10: Respostas
푥
푦
(1.5) 푦 =
3
2푥− 7
푥
푦
(1.6) 푦 =
8
푥2 + 4
푥
푦 (1.7) 8푥2 − 푦3 + 2푦2 + 4푦 − 8 = 0
푥
푦
(1.8) 푥3 + 푦3 − 3푥푦 = 0
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 106
Cap.2: Curvas Paramétricas Sec.10: Respostas
∙ Reta tangentes de curvas paramétricas (página 88)
[1]
⎧⎨⎩
(1.1)
푑푦
푑푥
=
2푐표푠(2푡)
푐표푠(푡)
,
푑푦
푑푥
∣∣∣
푡=휋
6
=
2
√
3
3
(1.2)
푑푦
푑푥
=
2푡
1− 푡2 ; para 푥 =
12
5
, temos 푡 =
1
2
, logo
푑푦
푑푥
∣∣∣
푡= 1
2
=
4
3
(1.3)
푑푦
푑푥
=
1 + 푡
푡
⋅ 1
1 + (휋/2)푐표푠(휋
2
푡)
,
푑푦
푑푥
∣∣∣
푡=8
=
9
8 + 4휋
[2]
{
(2.1)
푑2푦
푑푥2
=
2 cos (2푡). sen (푡)− 4. sen (2푡). cos (푡)
cos 3(푡)
(2.2)
푑2푦
푑푥2
= 12푒5푡
[4] 푦 =
√
3푥+
√
3
[5]
⎧⎨⎩ Reta Tangente: 푦 − (1 +
휋
2
) = 2(푥− 1)
Reta Normal: 푦 − (1 + 휋
2
) = −11
2
(푥− 1)
∙ Área de curvas paramétricas (página 93)
[1]
{
(1.1)
9푒− 10
4
u.a (1.2)
52
15
u.a (1.3)
8
15
u.a (1.4)
8
√
3
5
u.a
[2] (2휋 + 8) u.a
∙ Comprimento de arcos (página 104)
[1]
⎧⎨⎩
(1.1) 4휋 u.c (1.2)
√
2−
√
5
2
+ ln
∣∣∣2 +√5
1 +
√
2
∣∣∣ u.c (1.3) 6푎 u.c
(1.4)
1
4
u.c (1.5) 8푎 u.c (1.6)
√
2(푒휋/2 − 1) u.c
[2] 10
√
26 + 2 ln(5 +
√
26) u.c [3] 4
√
3 u.c
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarteye Silvia Velloso 107