1ª Aula Discussão sobre o conceito de Sistemas Lineares

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Álgebra Linear
Assunto: Discussão sobre o conceito de Sistema de
Equações Lineares
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
15 de fevereiro de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 1 / 15
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
A equação
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b (1)
que expressa a quantidade complexa ou real b em função das
incógnitas x1, x2, . . ., xn e das constantes reais ou complexas a1, a2,
. . ., an, ditas coeficientes de xn, é chamada de EQUAÇÃO LINEAR.
Uma SOLUÇÃO para a equação (1) é uma sequência de n números s1,
s2, . . ., sn, que satisfazem a equação.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 1 / 15
Por exemplo,
6x1 − 3x2 + 4x3 = −13
é uma equação linear. E uma solução é
2, 3 e −4, pois
6(2)− 3(3) + 4(−4) = −13.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 2 / 15
Por exemplo,
6x1 − 3x2 + 4x3 = −13
é uma equação linear. E uma solução é 2, 3 e −4, pois
6(2)− 3(3) + 4(−4) = −13.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 2 / 15
Por exemplo,
6x1 − 3x2 + 4x3 = −13
é uma equação linear. E uma solução é 2, 3 e −4, pois
6(2)− 3(3) + 4(−4) = −13.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 2 / 15
Definição 1:
Um SISTEMA LINEAR m× n, ou um SISTEMA DE m EQUAÇÕES
LINEARES A n INCÓGNITAS x1, x2, . . ., xn, é um conjunto de m
equações lineares cada uma com n incógnitas, representado por
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
(2)
onde, cada equação é dita i-ésima equação, os aij são constantes
conhecidas, bi valores dados e xj as incógnitas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 3 / 15
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7
2x1 + x2 = 7
é um sistema linear e para encontrar uma solução podemos usar o
MÉTODO DA ELIMINAÇÃO, ou seja, eliminamos alguma variável:
x1 − 3x2 = −7 (−2)
2x1 + x2 = 7
⇒ −2x1 + 6x2 = 14
2x1 + x2 = 7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 4 / 15
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7
2x1 + x2 = 7
é um sistema linear e para encontrar uma solução podemos usar o
MÉTODO DA ELIMINAÇÃO, ou seja, eliminamos alguma variável:
x1 − 3x2 = −7 (−2)
2x1 + x2 = 7
⇒ −2x1 + 6x2 = 14
2x1 + x2 = 7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 4 / 15
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7
2x1 + x2 = 7
é um sistema linear e para encontrar uma solução podemos usar o
MÉTODO DA ELIMINAÇÃO, ou seja, eliminamos alguma variável:
x1 − 3x2 = −7 (−2)
2x1 + x2 = 7
⇒ −2x1 + 6x2 = 14
2x1 + x2 = 7
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 4 / 15
Definição 2:
1 Uma SOLUÇÃO para um sistema linear é uma sequência de n
números que têm a propriedade de que as m equações em (2)
sejam satisfeitas;
2 Se o sistema linear não tem solução, é dito INCONSISTENTE;
3 Se o sistema linear tem solução, é dito CONSISTENTE;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 5 / 15
Definição 2:
1 Uma SOLUÇÃO para um sistema linear é uma sequência de n
números que têm a propriedade de que as m equações em (2)
sejam satisfeitas;
2 Se o sistema linear não tem solução, é dito INCONSISTENTE;
3 Se o sistema linear tem solução, é dito CONSISTENTE;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 5 / 15
Definição 2:
1 Uma SOLUÇÃO para um sistema linear é uma sequência de n
números que têm a propriedade de que as m equações em (2)
sejam satisfeitas;
2 Se o sistema linear não tem solução, é dito INCONSISTENTE;
3 Se o sistema linear tem solução, é dito CONSISTENTE;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 5 / 15
1 Se b1 = b2 = . . . = bm = 0, então o sistema é chamado SISTEMA
HOMOGÊNEO.
2 A solução x1 = x2 = . . . = xn = 0 é sempre solução desse sistema,
por isso é chamada SOLUÇÃO TRIVIAL. As demais soluções são
chamadas SOLUÇÕES NÃO TRIVIAIS.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 6 / 15
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7 (−2)
2x1 − 6x2 = 7
⇒ −2x1 + 6x2 = 14
2x1 − 6x2 = 7,
donde tem-se um absurdo e assim um sistema inconsistente.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 7 / 15
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7 (−2)
2x1 − 6x2 = 7
⇒ −2x1 + 6x2 = 14
2x1 − 6x2 = 7,
donde tem-se um absurdo e assim um sistema inconsistente.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 7 / 15
E
x+ 2y − 3z = −4 (−2)
2x+ y − 3z = 4
⇒ −2x− 4y + 6z = 8
2x+ y − 3z = 4,
donde tem-se infinitas soluções e assim um sistema consistente.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 8 / 15
E
x+ 2y − 3z = −4 (−2)
2x+ y − 3z = 4
⇒ −2x− 4y + 6z = 8
2x+ y − 3z = 4,
donde tem-se infinitas soluções e assim um sistema consistente.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 8 / 15
Observação
Com isso vemos que um sistema linear pode ter uma ÚNICA solução,
INFINITAS soluções ou NENHUMA solução.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 9 / 15
Definição 3:
Dizemos que dois sistemas lineares são EQUIVALENTES se ambos têm
exatamente as mesmas soluções.
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7
2x1 + x2 = 7
e
8x1 − 3x2 = 7
3x1 − 2x2 = 0
10x1 − 2x2 = 14
tem solução x1 = 2 e x2 = 3.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 10 / 15
Definição 3:
Dizemos que dois sistemas lineares são EQUIVALENTES se ambos têm
exatamente as mesmas soluções.
Por exemplo,
x1 − 3x2 = −7
2x1 + x2 = 7
e
8x1 − 3x2 = 7
3x1 − 2x2 = 0
10x1 − 2x2 = 14
tem solução x1 = 2 e x2 = 3.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 10 / 15
Observação
Geometricamente, o gráfico de cada equação do sistema
a1x+ a2y = c1
b1x+ b2y = c2
é uma reta. Assim uma solução desse sistema forma uma par ordenado
(x, y) pertencente a ambas as retas l1 e l2, gráficos da primeira e da
segunda equação, respectivamente. Daí,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 11 / 15
1 Se o sistema tem apenas uma solução, então l1 e l2 são
concorrentes;
2 Se o sistema não solução, então l1 e l2 são paralelas distintas;
3 Se o sistema tem infinitas soluções, então l1 e l2 são coincidentes.
Analogamente, se o sistema tem 3 equações e 3 incógnitas o mesmo
acontece, porém os gráficos são planos.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 12 / 15
Finalizando, podemos ver que o método de eliminação envolve três
manipulações que desenvolvem um novo sistema equivalente ao inicial.
São ela:
1 Permutar a i-ésima com a j-ésima equações;
2 Multiplicar uma equação por uma constante não nula;
3 Substituir a i-ésima equação por c vezes a j-ésima mais a i-ésima,
desde que i 6= j.
Provemos a terceira...
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 13 / 15
Por exemplo,
Um fabricante produz três tipos diferentes de produtos químicos: A, B
e C. Cada produto deve passas por duas máquinas de processamento X
e Y , onde:
1 Uma tonelada de A requer 2 horas em X e 2 horas em Y ;
2 Uma tonelada de B requer 3 horas em X e 2 horas em Y ;
3 Uma tonelada de C requer 4 horas em X e 3 horas em Y .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 14 / 15
Uma vez que X está disponível por 80 horas e Y por 60 horas, as
toneladas de cada produto x1, x2 e x3, respectivamente, para que não
haja ociosidade seriam dadas pelo sistema
2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
2x1 + 2x2 + 3x3 = 60
Um sistema equivalente seria
2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
x1 + x2 +
3
2
x3 = 30
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 15 de fevereiro de 2016 15 / 15
Uma vez que X está disponível por 80 horas e Y por 60 horas, as
toneladas de cada produto x1, x2 e x3, respectivamente,para que não
haja ociosidade seriam dadas pelo sistema
2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
2x1 + 2x2 + 3x3 = 60
Um sistema equivalente seria
2x1 + 3x2 + 4x3 = 80
x1 + x2 +
3
2
x3 = 30
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