5ª Aula As Transformações Matriciais

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Álgebra Linear
Assunto: As Transformações Matriciais
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
7 de março de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 1 / 18
TRANSFORMAÇÕES MATRICIAIS
Como introduzimos o conjunto de todas as matrizes reais n× 1
Rn,
cujos elementos chamamos de vetores,
u =

u1
u2
...
un
 ,
é conveniente representamos geometricamente os elementos do R2 e R3.
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Assim,
o vetor
x =
[
x
y
]
em R2 é representado pelo segmento orientado OP no plano cartesiano
xOy, onde O(0, 0) é a origem e P (x, y) é um ponto do plano.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 2 / 18
Assim,
o vetor
x =
[
x
y
]
em R2 é representado pelo segmento orientado OP no plano cartesiano
xOy, onde O(0, 0) é a origem e P (x, y) é um ponto do plano.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 2 / 18
Da mesma forma,
o vetor
x =

x
y
z

em R3 é representado pelo segmento orientado OP no sistema
cartesiano ortogonal Oxyz, onde P (x, y, z) é um ponto do espaço.
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Por exemplo,
se u1 =
[
1
2
]
, u2 =
[
−2
1
]
e u3 =
[
0
1
]
representamos
geometricamente assim:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 5 / 18
Por exemplo,
se u1 =
[
1
2
]
, u2 =
[
−2
1
]
e u3 =
[
0
1
]
representamos
geometricamente assim:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 5 / 18
E se v1 =

1
2
3
, v2 =

−1
2
−2
 e v3 =

0
0
1
 representamos
geometricamente assim:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 6 / 18
E se v1 =

1
2
3
, v2 =

−1
2
−2
 e v3 =

0
0
1
 representamos
geometricamente assim:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 6 / 18
Conhecendo os conjuntos Rn é natural que pensemos em funções
definidas neles. Algumas delas oferecem aplicações importantes, por
exemplo, em computação gráfica. Assim, nos limitemos aos conjuntos
R2 e R3, também devido ao vislumbre geométrico. Para isso é
importante sabermos que:
Observação
Se A é uma matriz m× n e u é um vetor em Rn, então a matriz
produto Au é um vetor em Rm.
E a notação que usamos é:
f : Rn −→ Rm
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 7 / 18
Conhecendo os conjuntos Rn é natural que pensemos em funções
definidas neles. Algumas delas oferecem aplicações importantes, por
exemplo, em computação gráfica. Assim, nos limitemos aos conjuntos
R2 e R3, também devido ao vislumbre geométrico. Para isso é
importante sabermos que:
Observação
Se A é uma matriz m× n e u é um vetor em Rn, então a matriz
produto Au é um vetor em Rm.
E a notação que usamos é:
f : Rn −→ Rm
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 7 / 18
Conhecendo os conjuntos Rn é natural que pensemos em funções
definidas neles. Algumas delas oferecem aplicações importantes, por
exemplo, em computação gráfica. Assim, nos limitemos aos conjuntos
R2 e R3, também devido ao vislumbre geométrico. Para isso é
importante sabermos que:
Observação
Se A é uma matriz m× n e u é um vetor em Rn, então a matriz
produto Au é um vetor em Rm.
E a notação que usamos é:
f : Rn −→ Rm
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 7 / 18
De modo geral,
Definição 1:
Um TRANSFORMAÇÃO MATRICIAL é uma função f : Rn −→ Rm
definida por
f(u) = Au,
onde A é uma matriz m× n e u um vetor do Rn.
O vetor f(u) é chamado imagem de u e o conjunto de todas as
imagens dos vetores de Rn, f(Rn) é chamado imagem de f .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 8 / 18
De modo geral,
Definição 1:
Um TRANSFORMAÇÃO MATRICIAL é uma função f : Rn −→ Rm
definida por
f(u) = Au,
onde A é uma matriz m× n e u um vetor do Rn.
O vetor f(u) é chamado imagem de u e o conjunto de todas as
imagens dos vetores de Rn, f(Rn) é chamado imagem de f .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 8 / 18
Por exemplo,
Se f : R2 −→ R2 é a transformação matricial definida por
f(u) =
[
2 4
3 1
]
u,
a imagem de u =
[
1
2
]
é
f(u) =
[
2 4
3 1
][
1
2
]
=
[
10
5
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 9 / 18
Por exemplo,
Se f : R2 −→ R2 é a transformação matricial definida por
f(u) =
[
2 4
3 1
]
u,
a imagem de u =
[
1
2
]
é
f(u) =
[
2 4
3 1
][
1
2
]
=
[
10
5
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 9 / 18
Por exemplo,
Se f : R2 −→ R2 é a transformação matricial definida por
f(u) =
[
2 4
3 1
]
u,
a imagem de u =
[
1
2
]
é
f(u) =
[
2 4
3 1
][
1
2
]
=
[
10
5
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 9 / 18
Por exemplo,
Se f : R2 −→ R2 é a transformação matricial definida por
f(u) =
[
2 4
3 1
]
u,
a imagem de u =
[
1
2
]
é
f(u) =
[
2 4
3 1
][
1
2
]
=
[
10
5
]
.
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Outro é se f : R3 −→ R2 é a transformação matricial definida por
A =
[
1 2 0
1 −1 1
]
a imagem de u =

1
0
1
 é
f(u) =
[
1 2 0
1 −1 1
]
1
0
1
 =
[
1
2
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 10 / 18
Outro é se f : R3 −→ R2 é a transformação matricial definida por
A =
[
1 2 0
1 −1 1
]
a imagem de u =

1
0
1
 é
f(u) =
[
1 2 0
1 −1 1
]
1
0
1
 =
[
1
2
]
.
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Outro é se f : R3 −→ R2 é a transformação matricial definida por
A =
[
1 2 0
1 −1 1
]
a imagem de u =

1
0
1
 é
f(u) =
[
1 2 0
1 −1 1
]
1
0
1
 =
[
1
2
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 10 / 18
Outro é se f : R3 −→ R2 é a transformação matricial definida por
A =
[
1 2 0
1 −1 1
]
a imagem de u =

1
0
1
 é
f(u) =
[
1 2 0
1 −1 1
]
1
0
1
 =
[
1
2
]
.
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Observação
1 Se A é uma matriz de ordem m× n e f é uma transformação
matricial definida por ela, então leva vetores do Rn em vetores do
Rm, definida por f(u) = Au.
2 Um vetor w em Rm está na imagem de f ,
w ∈ f(Rn),
se, e somente se, pudermos encontrar um vetor v em Rn tal que
f(u) = w.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 11 / 18
Observação
1 Se A é uma matriz de ordem m× n e f é uma transformação
matricial definida por ela, então leva vetores do Rn em vetores do
Rm, definida por f(u) = Au.
2 Um vetor w em Rm está na imagem de f ,
w ∈ f(Rn),
se, e somente se, pudermos encontrar um vetor v em Rn tal que
f(u) = w.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 11 / 18
Por exemplo,
seja f : R2 −→ R2 dada por
f(u) =
[
1 2
−2 3
]
u,
determinemos se o vetor w =
[
4
−1
]
está na imagem de f .
Para isso tomamos u =
[
x
y
]
tal que
f(u) = w
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 12 / 18
Por exemplo,
seja f : R2 −→ R2 dada por
f(u) =
[
1 2
−2 3
]
u,
determinemos se o vetor w =
[
4
−1
]
está na imagem de f .
Para isso tomamos
u =
[
x
y
]
tal que
f(u) = w
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de marçode 2016 12 / 18
Por exemplo,
seja f : R2 −→ R2 dada por
f(u) =
[
1 2
−2 3
]
u,
determinemos se o vetor w =
[
4
−1
]
está na imagem de f .
Para isso tomamos u =
[
x
y
]
tal que
f(u) = w
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Por exemplo,
seja f : R2 −→ R2 dada por
f(u) =
[
1 2
−2 3
]
u,
determinemos se o vetor w =
[
4
−1
]
está na imagem de f .
Para isso tomamos u =
[
x
y
]
tal que
f(u) = w
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Por exemplo,
seja f : R2 −→ R2 dada por
f(u) =
[
1 2
−2 3
]
u,
determinemos se o vetor w =
[
4
−1
]
está na imagem de f .
Para isso tomamos u =
[
x
y
]
tal que
f(u) = w
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⇒
[
1 2
−2 3
][
x
y
]
=
[
4
−1
]
⇒
[
x+ 2y
−2x+ 3y
]
=
[
4
−1
]
⇒
x+ 2y = 4
−2x+ 3y = −1
⇒ x = 2 e y = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 13 / 18
⇒
[
1 2
−2 3
][
x
y
]
=
[
4
−1
]
⇒
[
x+ 2y
−2x+ 3y
]
=
[
4
−1
]
⇒
x+ 2y = 4
−2x+ 3y = −1
⇒ x = 2 e y = 1
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⇒
[
1 2
−2 3
][
x
y
]
=
[
4
−1
]
⇒
[
x+ 2y
−2x+ 3y
]
=
[
4
−1
]
⇒
x+ 2y = 4
−2x+ 3y = −1
⇒ x = 2 e y = 1
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⇒
[
1 2
−2 3
][
x
y
]
=
[
4
−1
]
⇒
[
x+ 2y
−2x+ 3y
]
=
[
4
−1
]
⇒
x+ 2y = 4
−2x+ 3y = −1
⇒ x = 2 e y = 1
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Finalizando, podemos destacar que, para transformações matriciais
onde m e n são 2 ou 3, o efeito da função pode ser visto graficamente.
Por exemplo,
se f : R2 −→ R2 é definida por
f(u) =
[
1 0
0 −1
]
u,
então o efeito é uma reflexão em relação ao eixo x em R2, nome
também dado a transformação f .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 14 / 18
Pois, se u =
[
x
y
]
,
então
f(u) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
=
[
x
−y
]
Daí, graficamente
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 15 / 18
Pois, se u =
[
x
y
]
, então
f(u) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
=
[
x
−y
]
Daí, graficamente
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 15 / 18
Pois, se u =
[
x
y
]
, então
f(u) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
=
[
x
−y
]
Daí, graficamente
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Pois, se u =
[
x
y
]
, então
f(u) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
=
[
x
−y
]
Daí, graficamente
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 15 / 18
Pois, se u =
[
x
y
]
, então
f(u) =
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
=
[
x
−y
]
Daí, graficamente
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 15 / 18
Se f : R3 −→ R2 é definida por
f(u) =
[
1 0 0
0 1 0
]
u,
então o efeito é uma projeção no plano xy, nome também dado a
transformação f . Graficamente
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 16 / 18
Se f : R3 −→ R2 é definida por
f(u) =
[
1 0 0
0 1 0
]
u,
então o efeito é uma projeção no plano xy, nome também dado a
transformação f . Graficamente
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Se f : R3 −→ R3 é definida por
f(u) =
 r 0 00 r 0
0 0 r
u,
onde r ∈ R, então o efeito é uma dilatação, se r > 1, e uma
contração, se 0 < r < 1, nome também dado a transformação f ,
respectivamente. Graficamente, para r = 2 e r = 12
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Se f : R3 −→ R3 é definida por
f(u) =
 r 0 00 r 0
0 0 r
u,
onde r ∈ R, então o efeito é uma dilatação, se r > 1, e uma
contração, se 0 < r < 1, nome também dado a transformação f ,
respectivamente. Graficamente, para r = 2 e r = 12
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 17 / 18
Se f : R2 −→ R2 é definida por
f(u) =
[
cosφ − sinφ
sinφ cosφ
]
u,
onde φ é o ângulo de rotação de u no sentido anti-horário, então o
efeito é uma rotação de um ângulo φ no sentido anti-horário,
nome também dado a transformação f . Graficamente
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Se f : R2 −→ R2 é definida por
f(u) =
[
cosφ − sinφ
sinφ cosφ
]
u,
onde φ é o ângulo de rotação de u no sentido anti-horário, então o
efeito é uma rotação de um ângulo φ no sentido anti-horário,
nome também dado a transformação f . Graficamente
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 7 de março de 2016 18 / 18