14ª e 15ª Aula Definição de Espaço Vetorial Real

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Álgebra Linear
Assunto: Definição de Espaço Vetorial Real
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
5 de abril de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 1 / 33
ESPAÇOS VETORIAIS
Para começarmos, observemos que nos referimos a um par ordenado
(x, y), a uma matriz
[
x
y
]
e a um segmento de reta
−−→
AB pelo mesmo
nome, vetor.
Isso é valido, pois é o comportamento do objeto que o classifica, ou
seja, é o que têm em comum que questionamos matematicamente.
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Assim, criamos classes que tem propriedades e quando surgem objetos
novos que satisfazem as regras da classe, não precisamos descobri suas
propriedades novamente. A noção de espaço vetorial é um desses
esquemas de classificação.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 2 / 33
Definição 1:
Um ESPAÇO VETORIAL REAL é um conjunto não vazio V que
tem duas operações, soma ⊕ e multiplicação por escalar �,
definidas com as seguintes propriedades:
(a) Se u e v são elementos de V , então u⊕ v é elemento de V .
Dizemos assim que V é fechado para a operação ⊕ e:
(1) u⊕ v = v ⊕ u, para todo u, v ∈ V ;
(2) u⊕ (v ⊕ w) = (u⊕ v)⊕ w, para todo u, v, w ∈ V ;
(3) Existe um elemento 0 em V tal que
u⊕ 0 = 0⊕ u = u, para todo u,∈ V ;
(4) Para cada u ∈ V , existe um elemento −u ∈ V tal que
u⊕−u = −u⊕ u = 0.
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(b) Se u é um elemento de V e c é um número real, então c� u é
elemento de V . Dizemos assim que V é fechado para a operação �
e:
(5) c� (u⊕ v) = c� u⊕ c� v, para todo u, v ∈ V e c ∈ R;
(6) (c+ d)� u = (c� u)⊕ (d� u), para todo u ∈ V e c, d ∈ R;
(7) c� (d� u) = (cd)� u, para todo u ∈ V e c, d ∈ R;
(8) 1� u = u, para todo u ∈ V e 1 ∈ R.
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Como consequência temos que:
1 Os elementos de V são chamados de vetores;
2 Os elementos do conjunto dos números reais R são chamados
escalares;
3 A operação ⊕ : V × V → V é a soma de vetores e a operação
� : R× V → V é a multiplicação por escalar de um vetor;
4 O vetor 0 na propriedade (3) é chamado vetor nulo e -u na
propriedade (4), de vetor oposto.
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Como consequência temos que:
1 Os elementos de V são chamados de vetores;
2 Os elementos do conjunto dos números reais R são chamados
escalares;
3 A operação ⊕ : V × V → V é a soma de vetores e a operação
� : R× V → V é a multiplicação por escalar de um vetor;
4 O vetor 0 na propriedade (3) é chamado vetor nulo e -u na
propriedade (4), de vetor oposto.
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Como consequência temos que:
1 Os elementos de V são chamados de vetores;
2 Os elementos do conjunto dos números reais R são chamados
escalares;
3 A operação ⊕ : V × V → V é a soma de vetores e a operação
� : R× V → V é a multiplicação por escalar de um vetor;
4 O vetor 0 na propriedade (3) é chamado vetor nulo e -u na
propriedade (4), de vetor oposto.
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Como consequência temos que:
1 Os elementos de V são chamados de vetores;
2 Os elementos do conjunto dos números reais R são chamados
escalares;
3 A operação ⊕ : V × V → V é a soma de vetores e a operação
� : R× V → V é a multiplicação por escalar de um vetor;
4 O vetor 0 na propriedade (3) é chamado vetor nulo e -u na
propriedade (4), de vetor oposto.
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Observação
1- Se os escalares forem números complexos, obtemos um ESPAÇO
VETORIAL COMPLEXO;
2- Se os escalares forem elementos de um corpo F , que é um
conjunto com estrutura algébrica formada por propriedades
compartilhadas pelos reais R, obtemos um ESPAÇO
VETORIAL SOBRE F .
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Observação
1- Se os escalares forem números complexos, obtemos um ESPAÇO
VETORIAL COMPLEXO;
2- Se os escalares forem elementos de um corpo F , que é um
conjunto com estrutura algébrica formada por propriedades
compartilhadas pelos reais R, obtemos um ESPAÇO
VETORIAL SOBRE F .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 6 / 33
EXEMPLOS
Exemplo 1:
Considere Rn, o conjunto de todas as matrizes n× 1 com elementos
reais, e sejam ⊕ a soma usual de matrizes e � a multiplicação de uma
matriz por um escalar. O Rn é um espaço vetorial com essas duas
operações, pois:
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Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Rn, então u =

u1
u2
...
un
 e v =

v1
v2
...
vn
. Daí,
u⊕ v =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 ∈ Rn;
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Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Rn, então u =

u1
u2
...
un
 e v =

v1
v2
...
vn
. Daí,
u⊕ v =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn

∈ Rn;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 8 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Rn, então u =

u1
u2
...
un
 e v =

v1
v2
...
vn
. Daí,
u⊕ v =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 ∈ Rn;
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(b) Se c ∈ R e u ∈ Rn, então
c� u =

cu1
cu2
...
cun
 ∈ Rn.
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Passando as propriedades temos:
(1) u⊕ v =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

v1 + u1
v2 + u2
...
vn + un
 = v ⊕ u;
(2) u⊕ (v ⊕ w) =

u1 + (v1 + w1)
u2 + (v2 + w2)
...
un + (vn + wn)
 =

(u1 + v1) + w1
(u2 + v2) + w2
...
(un + vn) + w3
 =
(u⊕ v)⊕ w;
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Passando as propriedades temos:
(1) u⊕ v =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

v1 + u1
v2 + u2
...
vn + un
 = v ⊕ u;
(2) u⊕ (v ⊕ w) =

u1 + (v1 + w1)
u2 + (v2 + w2)
...
un + (vn + wn)
 =

(u1 + v1) + w1
(u2 + v2) + w2
...
(un + vn) + w3
 =
(u⊕ v)⊕ w;
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Passando as propriedades temos:
(1) u⊕ v =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

v1 + u1
v2 + u2
...
vn + un
 = v ⊕ u;
(2) u⊕ (v ⊕ w) =

u1 + (v1 + w1)
u2 + (v2 + w2)
...
un + (vn + wn)
 =

(u1 + v1) + w1
(u2 + v2) + w2
...
(un + vn) + w3
 =
(u⊕ v)⊕ w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 10 / 33
(3) Como u⊕ v = u⇒

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

u1
u2
...
un
⇒
v1 = 0
v2 = 0
...
vn = 0
, segue que
v = 0 é o vetor nulo de Rn;
(4) Como u⊕ v = 0⇒

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

0
0
...
0
⇒
v1 = −u1
v2 = −u2
...
vn = −un
, segue
que v = −u é o vetor oposto de u em Rn;
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(3) Como u⊕ v = u⇒

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

u1
u2
...
un
⇒
v1 = 0
v2 = 0
...
vn = 0
, segue que
v = 0 é o vetor nulo de Rn;
(4) Como u⊕ v = 0⇒

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

0
0
...
0
⇒
v1 = −u1
v2 = −u2
...
vn = −un
, segue
que v = −u é o vetor oposto de u em Rn;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 11 / 33(5) c� (u⊕ v) = c

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

cu1 + cv1
cu2 + cv2
...
cun + cvn
 = c� u⊕ c� v;
(6) (c+ d)� u = (c+ d)

u1
u2
...
un
 =

cu1 + du1
cu2 + du2
...
cun + dun
 = c� u⊕ d� u;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 12 / 33
(5) c� (u⊕ v) = c

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 =

cu1 + cv1
cu2 + cv2
...
cun + cvn
 = c� u⊕ c� v;
(6) (c+ d)� u = (c+ d)

u1
u2
...
un
 =

cu1 + du1
cu2 + du2
...
cun + dun
 = c� u⊕ d� u;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 12 / 33
(7) c� (d� u) = c

du1
du2
...
dun
 = (cd)

u1
u2
...
un
 = (cd)� u;
(8) 1� u = 1

u1
u2
...
un
 =

u1
u2
...
un
 = u;
tudo para todo u, v e w ∈ Rn e todos c, d ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 13 / 33
(7) c� (d� u) = c

du1
du2
...
dun
 = (cd)

u1
u2
...
un
 = (cd)� u;
(8) 1� u = 1

u1
u2
...
un
 =

u1
u2
...
un
 = u;
tudo para todo u, v e w ∈ Rn e todos c, d ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 13 / 33
Exemplo 2:
Considere Mmn, o conjunto de todas as matrizes m× n com elementos
reais, e sejam ⊕ a soma usual de matrizes e � a multiplicação de uma
matriz por um escalar. O Mmn é um espaço vetorial com essas duas
operações.
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Exemplo 3:
Considere R, o conjunto de todos os número reais, e sejam ⊕ a soma
usual e � a multiplicação usual. Os R é um espaço vetorial com
essas duas operações e nesse caso os números são vetores e escalares.
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Exemplo 4:
Considere Rn, o conjunto de todas as matrizes 1× n com elementos
reais, e sejam ⊕ a soma usual de matrizes e � a multiplicação de uma
matriz por um escalar. O Rn é um espaço vetorial com essas duas
operações e é um caso particular do exemplo 2.
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Exemplo 5:
Considere V , o conjunto de todas as matrizes 2× 2 com traço igual a
zero, ou seja,
V =
{
A =
[
a b
c d
]/
Tr(A) = a+ d = 0
}
e sejam ⊕ a soma usual de matrizes e � a multiplicação de uma matriz
por um escalar. O conjunto V é um espaço vetorial com essas duas
operações.
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Sabendo que um polinômio é da forma
p(t) = ant
n + an−1tn−1 + . . .+ a1t+ a0,
onde dizemos que p(t) é um polinômio na variável t e se an 6= 0, que
tem grau n, por exemplo, p(t) = 2 tem grau zero e o polinômio nulo
não tem grau,
Exemplo 6:
Consideramos Pn, o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou
igual a n juntamente com o polinômio nulo 0, ou seja,
Pn = {p(t) = antn + an−1tn−1 + . . .+ a1t+ a0/an, an−1, . . . , a1, a0 ∈
R, n ∈ Z+, pelo menos um ai 6= 0} ∪ {p(t) = 0}.
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Se ⊕ é definida por
p(t)⊕ q(t) = (an+ bn)tn+(an−1+ bn−1)tn−1+ . . .+(a1+ b1)t+(a0+ b0)
e � por
c� p(t) = (can)tn + (can−1)tn−1 + . . .+ (ca1)t+ c(a0),
Pn é um espaço vetorial com essas duas operações, pois:
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Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Pn, então u = p(t) = antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 e
v = q(t) = bnt
n + bn−1tn−1 + · · ·+ b1t+ b0. Daí,
u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+· · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) ∈ Pn;
(b) Se c ∈ R e u ∈ Pn, então
c� u = cantn + can−1tn−1 + · · ·+ ca1t+ ca0 ∈ Pn.
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Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Pn, então u = p(t) = antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 e
v = q(t) = bnt
n + bn−1tn−1 + · · ·+ b1t+ b0. Daí,
u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+· · ·+(a1+b1)t+(a0+b0)
∈ Pn;
(b) Se c ∈ R e u ∈ Pn, então
c� u = cantn + can−1tn−1 + · · ·+ ca1t+ ca0 ∈ Pn.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 20 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Pn, então u = p(t) = antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 e
v = q(t) = bnt
n + bn−1tn−1 + · · ·+ b1t+ b0. Daí,
u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+· · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) ∈ Pn;
(b) Se c ∈ R e u ∈ Pn, então
c� u = cantn + can−1tn−1 + · · ·+ ca1t+ ca0 ∈ Pn.
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Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Pn, então u = p(t) = antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 e
v = q(t) = bnt
n + bn−1tn−1 + · · ·+ b1t+ b0. Daí,
u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+· · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) ∈ Pn;
(b) Se c ∈ R e u ∈ Pn, então
c� u = cantn + can−1tn−1 + · · ·+ ca1t+ ca0
∈ Pn.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 20 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ Pn, então u = p(t) = antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 e
v = q(t) = bnt
n + bn−1tn−1 + · · ·+ b1t+ b0. Daí,
u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+· · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) ∈ Pn;
(b) Se c ∈ R e u ∈ Pn, então
c� u = cantn + can−1tn−1 + · · ·+ ca1t+ ca0 ∈ Pn.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 20 / 33
Passando as propriedades temos:
(1) u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+ · · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) =
(bn+an)t
n+(bn−1+an−1)tn−1+ · · ·+(b1+a1)t+(b0+a0) = v⊕u;
(2) u⊕ (v⊕w) = (an+(bn+ cn))tn+(an−1+(bn−1+ cn−1))tn−1+ · · ·+
(a1+(b1+c1))t+(a0+(b0+c0)) = ((an+bn)+cn)t
n+((an−1+bn−1)+
cn−1)tn−1 + · · ·+ ((a1 + b1) + c1)t+ ((a0 + b0) + c0) = (u⊕ v)⊕w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 21 / 33
Passando as propriedades temos:
(1) u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+ · · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) =
(bn+an)t
n+(bn−1+an−1)tn−1+ · · ·+(b1+a1)t+(b0+a0) = v⊕u;
(2) u⊕ (v⊕w) = (an+(bn+ cn))tn+(an−1+(bn−1+ cn−1))tn−1+ · · ·+
(a1+(b1+c1))t+(a0+(b0+c0)) = ((an+bn)+cn)t
n+((an−1+bn−1)+
cn−1)tn−1 + · · ·+ ((a1 + b1) + c1)t+ ((a0 + b0) + c0) = (u⊕ v)⊕w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 21 / 33
Passando as propriedades temos:
(1) u⊕v = (an+bn)tn+(an−1+bn−1)tn−1+ · · ·+(a1+b1)t+(a0+b0) =
(bn+an)t
n+(bn−1+an−1)tn−1+ · · ·+(b1+a1)t+(b0+a0) = v⊕u;
(2) u⊕ (v⊕w) = (an+(bn+ cn))tn+(an−1+(bn−1+ cn−1))tn−1+ · · ·+
(a1+(b1+c1))t+(a0+(b0+c0)) = ((an+bn)+cn)t
n+((an−1+bn−1)+
cn−1)tn−1 + · · ·+ ((a1 + b1) + c1)t+ ((a0 + b0) + c0) = (u⊕ v)⊕w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 21 / 33
(3) Como u⊕ v = u⇒ (an + bn)tn + (an−1 + bn−1)tn−1 + · · ·+ (a1 +
b1)t+ (a0 + b0) = ant
n + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0
Daí,
bn = 0
bn−1 = 0
...
b0 = 0
,
segue que v = p(t) = 0 é o vetor nulo de Pn;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 22 / 33
(4) Como u⊕ v = 0⇒
(an + bn)t
n + (an−1 + bn−1)tn−1 + · · ·+ (a1 + b1)t+ (a0 + b0) = 0
Daí,
bn = −an
bn−1 = −an−1
...
b0 = −a0
,
segue que v = −p(t) é o vetor oposto de u = p(t) em Pn;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 23 / 33
(5) c� (u⊕ v) =
c((an + bn)t
n + (an−1 + bn−1)tn−1 + · · ·+ (a1 + b1)t+ (a0 + b0)) =
(can+cbn)t
n+(can−1+cbn−1)tn−1+ · · ·+(ca1+cb1)t+(ca0+cb0) =
c� u⊕ c� v;
(6) (c+d)�u = (c+d)(antn+an−1tn−1+· · ·+a1t+a0) = (can+dan)tn+
(can−1+dan−1)tn−1+ · · ·+(ca1+da1)t+(ca0+da0) = c�u⊕d�u;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 24 / 33
(5) c� (u⊕ v) =
c((an + bn)t
n + (an−1 + bn−1)tn−1 + · · ·+ (a1 + b1)t+ (a0 + b0)) =
(can+cbn)t
n+(can−1+cbn−1)tn−1+ · · ·+(ca1+cb1)t+(ca0+cb0) =
c� u⊕ c� v;
(6) (c+d)�u = (c+d)(antn+an−1tn−1+· · ·+a1t+a0) = (can+dan)tn+
(can−1+dan−1)tn−1+ · · ·+(ca1+da1)t+(ca0+da0) = c�u⊕d�u;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 24 / 33
(7) c� (d� u) = c(dantn + dan−1tn−1+ · · ·+ da1t+ da0) =
(cd)(ant
n + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0) = (cd)� u;
(8) 1� u = 1(antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0) =
ant
n + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 = u;
tudo para todo u, v e w ∈ Pn e todos c, d ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 25 / 33
(7) c� (d� u) = c(dantn + dan−1tn−1 + · · ·+ da1t+ da0) =
(cd)(ant
n + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0) = (cd)� u;
(8) 1� u = 1(antn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0) =
ant
n + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0 = u;
tudo para todo u, v e w ∈ Pn e todos c, d ∈ R.
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Observação
(I) O conjunto P de todos os polinômios juntamente com o polinômio
nulo, ou seja, a união de todos os Pn, n ∈ N, é um espaço
vetorial. Nele somamos da mesma forma que somamos em Pr,
onde r é o máximo de m e n;
(II) Em uma expressão com ⊕ e �, a operação � é feita primeiro.
Também obedecemos a prioridade dos parenteses, bem como as
regras aritméticas familiares.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 26 / 33
Observação
(I) O conjunto P de todos os polinômios juntamente com o polinômio
nulo, ou seja, a união de todos os Pn, n ∈ N, é um espaço
vetorial. Nele somamos da mesma forma que somamos em Pr,
onde r é o máximo de m e n;
(II) Em uma expressão com ⊕ e �, a operação � é feita primeiro.
Também obedecemos a prioridade dos parenteses, bem como as
regras aritméticas familiares.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 26 / 33
Exemplo 7:
Considere V o conjunto de todos os múltiplos reais das funções
exponenciais do tipo ekx, k ∈ R, ou seja,
V =
{
cekx
/
k, c ∈ R
}
e sejam ⊕ definida por
c1e
kx ⊕ c2emx = c1c2e(k+m)x
e � por
r � cekx = rcekx.
O conjunto V não é um espaço vetorial com essas duas operações,
pois:
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Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ V , então u = c1ekx e v = c2emx. Daí,
u⊕ v = c1ekx ⊕ c2emx = c1c2e(k+m)x ∈ V ;
(b) Se r ∈ R e u ∈ V , então
r � u = r � cekx = rcekx ∈ V.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 28 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ V , então u = c1ekx e v = c2emx. Daí,
u⊕ v = c1ekx ⊕ c2emx = c1c2e(k+m)x
∈ V ;
(b) Se r ∈ R e u ∈ V , então
r � u = r � cekx = rcekx ∈ V.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 28 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ V , então u = c1ekx e v = c2emx. Daí,
u⊕ v = c1ekx ⊕ c2emx = c1c2e(k+m)x ∈ V ;
(b) Se r ∈ R e u ∈ V , então
r � u = r � cekx = rcekx ∈ V.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 28 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ V , então u = c1ekx e v = c2emx. Daí,
u⊕ v = c1ekx ⊕ c2emx = c1c2e(k+m)x ∈ V ;
(b) Se r ∈ R e u ∈ V , então
r � u = r � cekx = rcekx
∈ V.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 28 / 33
Verificando os fechamentos temos:
(a) Se u, v ∈ V , então u = c1ekx e v = c2emx. Daí,
u⊕ v = c1ekx ⊕ c2emx = c1c2e(k+m)x ∈ V ;
(b) Se r ∈ R e u ∈ V , então
r � u = r � cekx = rcekx ∈ V.
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Passando as propriedades temos:
(1) u⊕ v = c1c2e(k+m)x = c2c1e(m+k)x = v ⊕ u;
(2) u⊕(v⊕w) = c1(c2c3)e(k+(m+n))x = (c1c2)c3e((k+m)+n)x = (u⊕v)⊕w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 29 / 33
Passando as propriedades temos:
(1) u⊕ v = c1c2e(k+m)x = c2c1e(m+k)x = v ⊕ u;
(2) u⊕(v⊕w) = c1(c2c3)e(k+(m+n))x = (c1c2)c3e((k+m)+n)x = (u⊕v)⊕w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 29 / 33
Passando as propriedades temos:
(1) u⊕ v = c1c2e(k+m)x = c2c1e(m+k)x = v ⊕ u;
(2) u⊕(v⊕w) = c1(c2c3)e(k+(m+n))x = (c1c2)c3e((k+m)+n)x = (u⊕v)⊕w;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 29 / 33
(3) Como u⊕ v = u⇒ c1c2e(k+m)x = c1ekx ⇒ c2 = 1 e m = 0 segue
que v = e0 é o vetor nulo de V ;
(4) Como
u⊕ v = 0⇒ c1c2e(k+m)x = e0 ⇒ c2 = 1c1 , se c1 6= 0 e m = −k
segue que v = 1c1 e
−k é o vetor oposto de u se c1 6= 0, mas 0ek ∈ V ,
donde esta propriedade não é satisfeita para todos os
elementos de V .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 30 / 33
(3) Como u⊕ v = u⇒ c1c2e(k+m)x = c1ekx ⇒ c2 = 1 e m = 0 segue
que v = e0 é o vetor nulo de V ;
(4) Como
u⊕ v = 0⇒ c1c2e(k+m)x = e0 ⇒ c2 = 1c1 , se c1 6= 0 e m = −k
segue que v = 1c1 e
−k é o vetor oposto de u se c1 6= 0, mas 0ek ∈ V ,
donde esta propriedade não é satisfeita para todos os
elementos de V .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 30 / 33
Exemplo 8:
Considere V , o conjunto de todos os números reais R e sejam ⊕ a
subtração comum,
u⊕ v = u− v
e � a multiplicação comum,
c� u = cu.
O conjunto V não é um espaço vetorial com essas duas operações.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 31 / 33
Assim, podemos observar que, para verificarmos se um conjunto V é um
espaço vetorial:
Observação
1 o conjunto deve ser não vazio, ou seja, verifica-se a existência
do vetor nulo;
2 as operações devem está bem definidas, ou seja, verifica-se o
fechamento das operações.
Dessa forma, devemos começar essa investigação verificando os itens
(a), (b) e (3) da definição 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 32 / 33
Assim, podemos observar que, para verificarmos se um conjunto V é um
espaço vetorial:
Observação
1 o conjunto deve ser não vazio, ou seja, verifica-se a existência
do vetor nulo;
2 as operações devem está bem definidas, ou seja, verifica-se o
fechamento das operações.
Dessa forma, devemos começar essa investigação verificando os itens
(a), (b) e (3) da definição 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 32 / 33
Assim, podemos observar que, para verificarmos se um conjunto V é um
espaço vetorial:
Observação
1 o conjunto deve ser não vazio, ou seja, verifica-se a existência
do vetor nulo;
2 as operações devem está bem definidas, ou seja, verifica-se o
fechamento das operações.
Dessa forma, devemos começar essa investigação verificando os itens
(a), (b) e (3) da definição 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 32 / 33
Assim, podemos observar que, para verificarmos se um conjunto V é um
espaço vetorial:
Observação
1 o conjunto deve ser não vazio, ou seja, verifica-se a existência
do vetor nulo;
2 as operações devem está bem definidas, ou seja, verifica-se o
fechamento das operações.
Dessa forma, devemos começar essa investigação verificando os itens
(a), (b) e (3) da definição 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 32 / 33
E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 33 / 33
E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u =c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 5 de abril de 2016 33 / 33
E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 =
c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) =
c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u =
c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u =
(c− c)� u = 0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u =
0� u = 0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u =
0.
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E quando já sabemos que um conjunto é um espaço vetorial, podemos
dizer que ele tem as seguintes propriedades:
Teorema 1:
Se V é um espaço vetorial, então
(a) 0� u = 0, ∀u ∈ V ;
(b) (−1)� u = −u, ∀u ∈ V ;
(c) c� 0 = 0, ∀c ∈ R;
(d) Se c� u = 0, então c = 0 ou u = 0.
Demonstração:
(c) c� 0 = c� (u⊕−u) = c� u⊕ c�−u = c� u⊕ c� (−1� u) =
c� u⊕ (c(−1))� u = (c− c)� u = 0� u = 0.
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