16ª Aula Subespaços e Geradores(1)

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Assunto: Subespaços e Geradores
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
14 de abril de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 1 / 28
SUBESPAÇOS
Como já sabemos classificar se um conjunto não vazio é um espaço
vetorial, passamos a conhecer a sua estrutura. E é natural começarmos
pelos seus subconjuntos. Assim,
Definição 1:
Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V .
Dizemos que W é um SUBESPAÇO de V , se W é um espaço vetorial
com as operações de V .
Dessa forma, teríamos que verificar todas as propriedades da definição de
espaço vetorial para sabermos seW é subespaço, mas o seguinte resultado
minimiza esse trabalho:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 1 / 28
SUBESPAÇOS
Como já sabemos classificar se um conjunto não vazio é um espaço
vetorial, passamos a conhecer a sua estrutura. E é natural começarmos
pelos seus subconjuntos. Assim,
Definição 1:
Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V .
Dizemos que W é um SUBESPAÇO de V , se W é um espaço vetorial
com as operações de V .
Dessa forma, teríamos que verificar todas as propriedades da definição de
espaço vetorial para sabermos seW é subespaço, mas o seguinte resultado
minimiza esse trabalho:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 1 / 28
SUBESPAÇOS
Como já sabemos classificar se um conjunto não vazio é um espaço
vetorial, passamos a conhecer a sua estrutura. E é natural começarmos
pelos seus subconjuntos. Assim,
Definição 1:
Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V .
Dizemos que W é um SUBESPAÇO de V , se W é um espaço vetorial
com as operações de V .
Dessa forma, teríamos que verificar todas as propriedades da definição de
espaço vetorial para sabermos seW é subespaço, mas o seguinte resultado
minimiza esse trabalho:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 1 / 28
Teorema 1:
Seja V um espaço vetorial com as operações ⊕ e � e seja W um
subconjunto não vazio de V . O conjunto W é um subespaço se, e
somente se,
(a) para u, v ∈W , u⊕ v ∈W ;
(b) para c ∈ R e u ∈W , c� u ∈W .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 2 / 28
Demonstração.
⇒) Se W é um subespaço de V , então é um espaço vetorial com as
operações de V . Assim, os fechamentos e as oito propriedades são
satisfeitas,
ou seja, (a) e (b) acontecem.
⇐) Reciprocamente, como W é um subconjunto de V em que (a) e (b)
acontecem, temos que as propriedades (1), (2), (5), (6), (7) e (8)
acontecem em W . Resta verificar a (3) e (4). Assim, como
−u = (−1)� u em V
e u ∈W , por (b) segue que −u ∈W . E como,
0 = u⊕−u
e −u ∈W por (a) segue que 0 ∈W .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 3 / 28
Demonstração.
⇒) Se W é um subespaço de V , então é um espaço vetorial com as
operações de V . Assim, os fechamentos e as oito propriedades são
satisfeitas, ou seja, (a) e (b) acontecem.
⇐) Reciprocamente, como W é um subconjunto de V em que (a) e (b)
acontecem, temos que as propriedades (1), (2), (5), (6), (7) e (8)
acontecem em W . Resta verificar a (3) e (4). Assim, como
−u = (−1)� u em V
e u ∈W , por (b) segue que −u ∈W . E como,
0 = u⊕−u
e −u ∈W por (a) segue que 0 ∈W .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 3 / 28
Demonstração.
⇒) Se W é um subespaço de V , então é um espaço vetorial com as
operações de V . Assim, os fechamentos e as oito propriedades são
satisfeitas, ou seja, (a) e (b) acontecem.
⇐) Reciprocamente, como W é um subconjunto de V em que (a) e (b)
acontecem, temos que as propriedades (1), (2), (5), (6), (7) e (8)
acontecem em W . Resta verificar a (3) e (4). Assim, como
−u = (−1)� u em V
e u ∈W , por (b) segue que −u ∈W . E como,
0 = u⊕−u
e −u ∈W por (a) segue que 0 ∈W .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 3 / 28
POR EXEMPLO
Exemplo 1:
Todo espaço vetorial V tem pelo menos dois subespaços,
ele mesmo e
o {0}, que contem apenas o vetor nulo, dito espaço nulo de V .
Exemplo 2:
P2, o conjunto de todos os polinômios de grau ≤ 2 juntamente com o
polinômio nulo, ou seja,
P2 =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a, b ou c 6= 0} ∪ {p(t) = 0},
é um subespaço de P , o espaço de todos os polinômios, pois:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 4 / 28
POR EXEMPLO
Exemplo 1:
Todo espaço vetorial V tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e
o
{0}, que contem apenas o vetor nulo, dito espaço nulo de V .
Exemplo 2:
P2, o conjunto de todos os polinômios de grau ≤ 2 juntamente com o
polinômio nulo, ou seja,
P2 =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a, b ou c 6= 0} ∪ {p(t) = 0},
é um subespaço de P , o espaço de todos os polinômios, pois:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 4 / 28
POR EXEMPLO
Exemplo 1:
Todo espaço vetorial V tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e
o {0}, que contem apenas o vetor nulo, dito espaço nulo de V .
Exemplo 2:
P2, o conjunto de todos os polinômios de grau ≤ 2 juntamente com o
polinômio nulo, ou seja,
P2 =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a, b ou c 6= 0} ∪ {p(t) = 0},
é um subespaço de P , o espaço de todos os polinômios, pois:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 4 / 28
POR EXEMPLO
Exemplo 1:
Todo espaço vetorial V tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e
o {0}, que contem apenas o vetor nulo, dito espaço nulo de V .
Exemplo 2:
P2, o conjunto de todos os polinômios de grau ≤ 2 juntamente com o
polinômio nulo, ou seja,
P2 =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a, b ou c 6= 0} ∪ {p(t) = 0},
é um subespaço de P , o espaço de todos os polinômios, pois:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 4 / 28
POR EXEMPLO
Exemplo 1:
Todo espaço vetorial V tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e
o {0}, que contem apenas o vetor nulo, dito espaço nulo de V .
Exemplo 2:
P2, o conjunto de todos os polinômios de grau ≤ 2 juntamente com o
polinômio nulo, ou seja,
P2 =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a, b ou c 6= 0} ∪ {p(t) = 0},
é um subespaço de P , o espaço de todos os polinômios, pois:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 4 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2) ∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u = ra1t2 + rb1t+ rc1 ∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v =
(a1 + a2)t
2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2) ∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u = ra1t2 + rb1t+ rc1 ∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2)
∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u = ra1t2 + rb1t+ rc1 ∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2) ∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u = ra1t2 + rb1t+ rc1 ∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2) ∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u =
ra1t
2 + rb1t+ rc1 ∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2) ∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u = ra1t2 + rb1t+ rc1
∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
(a) P2 6= ∅, pois p(t) = 0 ∈ P2;
(b) Se u, v ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1 e v = a2t2 + b2t+ c2. Daí,
u⊕ v = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t+ (c1 + c2) ∈ P2;
(c) Se r ∈ R e u ∈ P2, então u = a1t2 + b1t+ c1. Daí,
r � u = ra1t2 + rb1t+ rc1 ∈ P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 5 / 28
Exemplo 3:
W , o conjunto de todos os polinômios de grau exatamente igual a 2, ou
seja,
W =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a 6= 0} ,
não é um subespaço de P , pois
p(t) = 0 não está em W , visto não
ter grau e com isso o item (b) não é satisfeito para r = 0, r ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 6 / 28
Exemplo 3:
W , o conjunto de todos os polinômios de grau exatamente igual a 2, ou
seja,
W =
{
p(t) = at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R e a 6= 0} ,
não é um subespaço de P , pois p(t) = 0 não está em W , visto não
ter grau e com isso o item (b) não é satisfeito para r = 0, r ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 6 / 28
Observação
Assim, podemos ver que um subespaço sempre deve conter o vetor
nulo do espaço vetorial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 7 / 28
Exemplo 4:
W , o conjunto de todos os vetores do tipo
[
x
y
]
em que x ≥ 0, ou seja,
W =
{[
x
y
]
∈ R2
/
x ≥ 0
}
,
não é um subespaço de R2, pois
(a) W 6= ∅, já que
[
0
0
]
∈W ;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 8 / 28
Exemplo 4:
W , o conjunto de todos os vetores do tipo
[
x
y
]
em que x ≥ 0, ou seja,
W =
{[
x
y
]
∈ R2
/
x ≥ 0
}
,
não é um subespaço de R2, pois
(a) W 6= ∅, já que
[
0
0
]
∈W ;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 8 / 28
(b) Se u, v ∈W , então
u⊕ v =
[
x1
y1
]
+
[
x2
y2
]
=
[
x1 + x2
y1 + y2
]
∈W, pois x1 + x2 ≥ 0;
Mas,
(c) Se r ∈ R e u ∈W , então
r � u = r
[
x
y
]
=
[
rx
ry
]
6∈W, se r < 0 e x > 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 9 / 28
(b) Se u, v ∈W , então
u⊕ v =
[
x1
y1
]
+
[
x2
y2
]
=
[
x1 + x2
y1 + y2
]
∈W, pois x1 + x2 ≥ 0;
Mas,
(c) Se r ∈ R e u ∈W , então
r � u = r
[
x
y
]
=
[
rx
ry
]
6∈W, se r < 0 e x > 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 9 / 28
(b) Se u, v ∈W , então
u⊕ v =
[
x1
y1
]
+
[
x2
y2
]
=
[
x1 + x2
y1 + y2
]
∈W, pois x1 + x2 ≥ 0;
Mas,
(c) Se r ∈ R e u ∈W , então
r � u = r
[
x
y
]
=
[
rx
ry
]
6∈W, se r < 0 e x > 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 9 / 28
(b) Se u, v ∈W , então
u⊕ v =
[
x1
y1
]
+
[
x2
y2
]
=
[
x1 + x2
y1 + y2
]
∈W, pois x1 + x2 ≥ 0;
Mas,
(c) Se r ∈ R e u ∈W , então
r � u = r
[
x
y
]
=
[
rx
ry
]
6∈W, se r < 0 e x > 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 9 / 28
Geometricamente,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 10 / 28
Geometricamente,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 10 / 28
Observação
1- Daqui em diante, devemos representar u⊕ v por u+ v e c� u por
cu em um espaço vetorial V ;
2- Também podemos usar o seguinte resultado para mostrar se W é
um subespaço de V :
W é um subespaço de V se, e somente se,
cu+ dv ∈W
para todo u, v ∈W e c, d ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 11 / 28
Observação
1- Daqui em diante, devemos representar u⊕ v por u+ v e c� u por
cu em um espaço vetorial V ;
2- Também podemos usar o seguinte resultado para mostrar se W é
um subespaço de V :
W é um subespaço de V se, e somente se,
cu+ dv ∈W
para todo u, v ∈W e c, d ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 11 / 28
Observação
1- Daqui em diante, devemos representar u⊕ v por u+ v e c� u por
cu em um espaço vetorial V ;
2- Também podemos usar o seguinte resultado para mostrar se W é
um subespaço de V :
W é um subespaço de V se, e somente se,
cu+ dv ∈W
para todo u, v ∈W e c, d ∈ R.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 11 / 28
Por exemplo,
se v1 e v2 são vetores fixos de V e W é o subconjunto de todos os
vetores do tipo a1v1 + a2v2, ou seja,
W = {w = a1v1 + a2v2/v1, v2 são vetores fixos e a1, a2 ∈ R},
então W é um subespaço de V , pois para w1, w2 ∈W e c, d ∈ R
cw1+dw2 = c(a1v1+a2v2)+d(b1v1+b2v2) = (ca1+db1)v1+(ca2+db2)v2,
daí,
cw1 + dw2 ∈W.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 12 / 28
Por exemplo,
se v1 e v2 são vetores fixos de V e W é o subconjunto de todos os
vetores do tipo a1v1 + a2v2, ou seja,
W = {w = a1v1 + a2v2/v1, v2 são vetores fixos e a1, a2 ∈ R},
então W é um subespaço de V , pois para w1, w2 ∈W e c, d ∈ R
cw1+dw2 = c(a1v1+a2v2)+d(b1v1+b2v2) = (ca1+db1)v1+(ca2+db2)v2,
daí,
cw1 + dw2 ∈W.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 12 / 28
Por exemplo,
se v1 e v2 são vetores fixos de V e W é o subconjunto de todos os
vetores do tipo a1v1 + a2v2, ou seja,
W = {w = a1v1 + a2v2/v1, v2 são vetores fixos e a1, a2 ∈ R},
então W é um subespaço de V , pois para w1, w2 ∈W e c, d ∈ R
cw1+dw2 = c(a1v1+a2v2)+d(b1v1+b2v2) = (ca1+db1)v1+(ca2+db2)v2,
daí,
cw1 + dw2 ∈W.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 12 / 28
Este exemplo nos mostra uma maneira de construirmos subespaços
e no direciona para um conceito muito importante na estruturação de
alguns tipos de espaços;
Definição 2:
Sejam v1, v2, . . . , vk vetores em um espaço vetorial V . Um vetor v em V
é chamado COMBINAÇÃO LINEAR de v1, v2, . . . , vk se existirem
a1, a2, . . . , ak ∈ R tais que
v = a1v1 + a2v2 + . . .+ akvk =
k∑
j=1
ajvj .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 13 / 28
Este exemplo nos mostra uma maneira de construirmos subespaços
e no direciona para um conceito muito importante na estruturação de
alguns tipos de espaços;
Definição 2:
Sejam v1, v2, . . . , vk vetores em um espaço vetorial V . Um vetor v em V
é chamado COMBINAÇÃO LINEAR de v1, v2, . . . , vk se existirem
a1, a2, . . . , ak ∈ R tais que
v = a1v1 + a2v2 + . . .+ akvk =
k∑
j=1
ajvj .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 13 / 28
Por exemplo,
se W =


a
b
a+ b

/
a, b ∈ R
 temos que
w1 =

1
0
1
 , e w2 =

0
1
1
 ∈W
e como 
a
b
a+ b
 = a

1
0
1
+ b

0
1
1
 ,
qualquer vetor de W é combinação linear de w1 e w2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 14 / 28
GERADORES
Observemos agora que com esse conceito de combinação linear, apesar
de um espaço vetorial V ter infinitos vetores, exceto o espaço vetorial
nulo {0}, vários espaços vetoriais contêm um subconjunto finito de
vetores que descrevem completamente todos os infinitos vetores de V .
É daí que surgi a ideia de gerador.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 15 / 28
Com isso, precisamos da seguinte notação:
Definição 3:
Seja S = {v1, v2, . . . , vk} um conjunto de vetores de um espaço vetorial
V . Denotamos o conjunto de todos os vetores em V que são
combinação linear dos vetores em S por
ger S ou ger{v1, v2, . . . , vk}.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 16 / 28
Por exemplo,
se V = M23 e S =

 1 0 0
0 0 0
,
 0 1 0
0 0 0
,
 0 0 0
0 1 0
,
 0 0 0
0 0 1

,então, como
a
 1 0 0
0 0 0
+b
 0 1 0
0 0 0
+c
 0 0 0
0 1 0
+d
 0 0 0
0 0 1
 =
 a b 0
0 c d
,
o ger S é o subconjunto de M23 de todas as matrizes dessa forma, ou
seja,
ger S =
{[
a b 0
0 c d
]/
a, b, c, e d ∈ R
}
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 17 / 28
Por exemplo,
se V = M23 e S =

 1 0 0
0 0 0
,
 0 1 0
0 0 0
,
 0 0 0
0 1 0
,
 0 0 0
0 0 1

,
então, como
a
 1 0 0
0 0 0
+b
 0 1 0
0 0 0
+c
 0 0 0
0 1 0
+d
 0 0 0
0 0 1
 =
 a b 0
0 c d
,
o ger S é o subconjunto de M23 de todas as matrizes dessa forma, ou
seja,
ger S =
{[
a b 0
0 c d
]/
a, b, c, e d ∈ R
}
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 17 / 28
Por exemplo,
se V = M23 e S =

 1 0 0
0 0 0
,
 0 1 0
0 0 0
,
 0 0 0
0 1 0
,
 0 0 0
0 0 1

,
então, como
a
 1 0 0
0 0 0
+b
 0 1 0
0 0 0
+c
 0 0 0
0 1 0
+d
 0 0 0
0 0 1
 =
 a b 0
0 c d
,
o ger S é o subconjunto de M23 de todas as matrizes dessa forma, ou
seja,
ger S =
{[
a b 0
0 c d
]/
a, b, c, e d ∈ R
}
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 17 / 28
Por exemplo,
se V = M23 e S =

 1 0 0
0 0 0
,
 0 1 0
0 0 0
,
 0 0 0
0 1 0
,
 0 0 0
0 0 1

,
então, como
a
 1 0 0
0 0 0
+b
 0 1 0
0 0 0
+c
 0 0 0
0 1 0
+d
 0 0 0
0 0 1
 =
 a b 0
0 c d
,
o ger S é o subconjunto de M23 de todas as matrizes dessa forma, ou
seja,
ger S =
{[
a b 0
0 c d
]/
a, b, c, e d ∈ R
}
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 17 / 28
E, podemos ver que o ger S tem uma estrutura de espaço vetorial, ou
seja,
Teorema 2:
Se S = {v1, v2, . . . , vk} é um conjunto de vetores em um espaço vetorial
V , então o ger S é um subespaço vetorial de V .
Assim,
Por exemplo,
se S = {t2, t}, então ger S é o subespaço vetorial de P2 de todos os
polinômios da forma at2 + bt, em que a e b ∈ R, ou seja,
ger S =
{
p(t) = at2 + bt/a, b ∈ R} .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 18 / 28
E, podemos ver que o ger S tem uma estrutura de espaço vetorial, ou
seja,
Teorema 2:
Se S = {v1, v2, . . . , vk} é um conjunto de vetores em um espaço vetorial
V , então o ger S é um subespaço vetorial de V .
Assim,
Por exemplo,
se S = {t2, t}, então ger S é o subespaço vetorial de P2 de todos os
polinômios da forma
at2 + bt, em que a e b ∈ R, ou seja,
ger S =
{
p(t) = at2 + bt/a, b ∈ R} .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 18 / 28
E, podemos ver que o ger S tem uma estrutura de espaço vetorial, ou
seja,
Teorema 2:
Se S = {v1, v2, . . . , vk} é um conjunto de vetores em um espaço vetorial
V , então o ger S é um subespaço vetorial de V .
Assim,
Por exemplo,
se S = {t2, t}, então ger S é o subespaço vetorial de P2 de todos os
polinômios da forma at2 + bt, em que a e b ∈ R, ou seja,
ger S =
{
p(t) = at2 + bt/a, b ∈ R} .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 18 / 28
Agora, para dizer que o ger S descreve completamente um espaço
vetorial V é necessário que:
Definição 4:
Seja S = {v1, v2, . . . , vk} um conjunto de vetores em V . Dizemos que S
é GERADOR de V ou V É GERADO POR S, se todo vetor de V
é combinação linear dos vetores em S, ou seja,
ger S = V.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 19 / 28
Agora, para dizer que o ger S descreve completamente um espaço
vetorial V é necessário que:
Definição 4:
Seja S = {v1, v2, . . . , vk} um conjunto de vetores em V . Dizemos que S
é GERADOR de V ou V É GERADO POR S, se todo vetor de V
é combinação linear dos vetores em S, ou seja,
ger S = V.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 19 / 28
Observação
1- Se ger S = V , então S é chamado conjunto gerador de V ;
2- Um espaço vetorial pode ter vários conjuntos geradores;
3- O conjunto S pode ter infinitos vetores, por exemplo,
S = {1, t, t2, t3, . . . , tn, . . .} que gera o espaço de todos os
polinômios P ;
4- Trabalharemos como conjuntos geradores finitos.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 20 / 28
Observação
1- Se ger S = V , então S é chamado conjunto gerador de V ;
2- Um espaço vetorial pode ter vários conjuntos geradores;
3- O conjunto S pode ter infinitos vetores, por exemplo,
S = {1, t, t2, t3, . . . , tn, . . .} que gera o espaço de todos os
polinômios P ;
4- Trabalharemos como conjuntos geradores finitos.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 20 / 28
Observação
1- Se ger S = V , então S é chamado conjunto gerador de V ;
2- Um espaço vetorial pode ter vários conjuntos geradores;
3- O conjunto S pode ter infinitos vetores, por exemplo,
S = {1, t, t2, t3, . . . , tn, . . .} que gera o espaço de todos os
polinômios P ;
4- Trabalharemos como conjuntos geradores finitos.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 20 / 28
Observação
1- Se ger S = V , então S é chamado conjunto gerador de V ;
2- Um espaço vetorial pode ter vários conjuntos geradores;
3- O conjunto S pode ter infinitos vetores, por exemplo,
S = {1, t, t2, t3, . . . , tn, . . .} que gera o espaço de todos os
polinômios P ;
4- Trabalharemos como conjuntos geradores finitos.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 20 / 28
POR EXEMPLO
Eexemplo 1:
Em R3, o vetor v =

1
5
−7
 está em ger


2
1
1
 ,

1
−1
3

?
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 21 / 28
Como
v = a1v1 + a2v2 ⇒

1
5
−7
 = a1

2
1
1
+ a2

1
−1
3
⇔

2 1 p 1
1 −1 p 5
1 3 p −7

Escalonando, 
1 0 p 2
0 1 p −3
0 0 p 0

segue que a1 = 2 e a2 = −3, e assim v ∈ ger S.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 22 / 28
Exemplo 2:
Em P2, S = {t2 + 2t+ 1, t2 + 2} gera P2?
Como, para v ∈ P2, verificamos se
v = a1v1 + a2v2 ⇒ at2 + bt+ c = a1(t2 + 2t+ 1) + a2(t2 + 2) ⇒
at2 + bt+ c = (a1 + a2)t
2 + 2a1t+ (a1 + 2a2)
Daí,
a = a1 + a2
b = 2a1
c = a1 + 2a2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 23 / 28
Exemplo 2:
Em P2, S = {t2 + 2t+ 1, t2 + 2} gera P2?
Como, para v ∈ P2, verificamos se
v = a1v1 + a2v2 ⇒ at2 + bt+ c = a1(t2 + 2t+ 1) + a2(t2 + 2) ⇒
at2 + bt+ c = (a1 + a2)t
2 + 2a1t+ (a1 + 2a2)
Daí,
a = a1 + a2
b = 2a1
c = a1 + 2a2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 23 / 28
Tomando a matriz aumentada do sistema
1 1 p a
2 0 p b
1 2 p c
 ,
e escalonando, 
1 0 p −2a+ c
0 1 p c− a
0 0 p b− 4a+ 2c
 ,
donde se b− 4a+ 2c 6= 0, então o sistema não tem solução, é
inconsistente, e portanto,
S não gera P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 24 / 28
Tomando a matriz aumentada do sistema
1 1 p a
2 0 p b
1 2 p c
 ,
e escalonando, 
1 0 p −2a+ c
0 1 p c− a
0 0 p b− 4a+ 2c
 ,
donde se b− 4a+ 2c 6= 0, então o sistema não tem solução, é
inconsistente, e portanto, S não gera P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 24 / 28
E para finalizar,
Exemplo 3:
Encontrarmos um gerador do subespaço solução (que é o conjunto
de todas as soluções de um sistema qualquer) do sistema homogêneo
Ax = 0, onde
A =

1 1 0 2
−2 −2 1 −5
1 1 −1 3
4 4 −1 9
 ,
dito também núcleo de A.
(prof(a) Mônica Sousa)UFERSA 14 de abril de 2016 25 / 28
Resolvemos o sistema, cuja matriz aumentada é
1 1 0 2 p 0
−2 −2 1 −5 p 0
1 1 −1 3 p 0
4 4 −1 9 p 0

que escalonada fica 
1 1 0 2 p 0
0 0 1 −1 p 0
0 0 0 0 p 0
0 0 0 0 p 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 26 / 28
obtendo que um vetor desse espaço é da forma
x =

−r − 2s
r
s
s
 .
Assim, como
x = r

−1
1
0
0
+ s

−2
0
1
1
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 27 / 28
e 
−1
1
0
0
 e

−2
0
1
1

pertencem ao espaço solução,
um conjunto gerador dele é
S =


−1
1
0
0
 ,

−2
0
1
1


.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 28 / 28
e 
−1
1
0
0
 e

−2
0
1
1

pertencem ao espaço solução, um conjunto gerador dele é
S =


−1
1
0
0
 ,

−2
0
1
1


.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 14 de abril de 2016 28 / 28