20ª Aula Posto de uma Matriz

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Álgebra Linear
Assunto: Posto de uma Matriz
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
28 de abril de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 28 de abril de 2016 1 / 25
POSTO LINHA E POSTO COLUNA
Até aqui podemos perceber que conhecer uma base de um espaço ve-
torial de dimensão finita é muito importante, visto podemos trabalhar
nele de forma semelhante ao Rn.
Assim, como já vimos um método de obter uma base B que seja sub-
conjunto de um gerador S = {v1, v2, . . . , vk}, veremos também outro
método onde B não é necessariamente subconjunto de S.
E finalizaremos com o conceito de posto que fornece informações acerca
das soluções de sistemas não homogêneos.
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Definição 1:
Seja A = [aij ] uma matriz m× n. As linhas de A consideradas como
vetores Rm geram um subespaço que chamamos de ESPAÇO LINHA
DE A. Da mesma maneira, as colunas de A consideradas como vetores
de Rn, geram um subespaço que chamamos de ESPAÇO COLUNA
DE A.
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Por exemplo,
se A =

1 −2 0 3
3 2 8 1
2 3 7 2
, então
1 W1 = ger
{[
1 −2 0 3
]
,
[
3 2 8 1
]
,
[
2 3 7 2
]}
é o
espaço linha de A;
2 E W2 = ger


1
3
2
 ,

−2
2
3
 ,

0
8
7
 ,

3
1
2

 é o espaço coluna
de A.
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Mas, com o teorema abaixo, podemos encontrar bases de espaços gerados
por conjuntos de vetores S = {v1, v2, . . . , vk}:
Teorema 1:
Se A e B são matrizes m× n equivalentes por linha (colunas), então os
espaços linha (coluna) de A e B são iguais.
Ou seja, com os vetores do conjunto S = {v1, v2, . . . , vk} formamos
uma matriz A e escalonamos por linhas (colunas) - nem precisa ser
de forma reduzida - obtendo B, cujas linhas (colunas) que contêm os
1-líderes formam a base do V = gerS.
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Por exemplo,
encontremos uma base para o subespaço V de R5 que seja gerado por
S = {v1, v2, v3, v4}, onde
v1 =
[
1 −2 0 3 −4
]
, v2 =
[
3 2 8 1 4
]
,
v3 =
[
2 3 7 2 3
]
e v4 =
[
−1 2 0 4 −3
]
.
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I) Observamos que V é o espaço linha da matriz A dada por,
A =

1 −2 0 3 −4
3 2 8 1 4
2 3 7 2 3
−1 2 0 4 −3
 ;
II) Escalonamos e obtemos a matriz B, onde
B =

1 0 2 0 1
0 1 1 0 1
0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0
 ;
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III) E lembramos que os espaços linhas de A e B são iguais, daí
w1 =
[
1 0 2 0 1
]
, w2 =
[
0 1 1 0 1
]
e w3 =
[
0 0 0 1 −1
]
,
que são os vetores formados pelas linhas dos 1-líderes de B (ou as
linhas não nulas de B) formam uma base de V .
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Observação
1. Esse método produz uma base que pode não ser um subconjunto
do gerador dado;
2. Entretanto, ela é análoga a base canônica de Rn (Rn), pois se
v =

a1
a2
...
an
 ∈ V e S = {v1, v2, . . . , vk} é uma base obtida por esse
método, então [v]S =

aj1
aj2
...
ajk
, onde j1, j2, . . . , jk são as colunas
onde ocorrem os 1-líderes.
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Por exemplo,
no exemplo anterior, para v =
[
5 4 14 6 3
]
∈ V temos que o
vetor de coordenadas de v é
[v]S =

5
4
6
 ,
já que os 1-líderes ocorrem nas colunas 1, 2 e 4.
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Com uma base já podemos falar em dimensão e definirmos:
Definição 2:
A dimensão do espaço linha de uma matriz A é chamado de POSTO
LINHA DE A. Da mesma forma, a dimensão do espaço coluna de A é
chamado POSTO COLUNA DE A.
Assim, se escalonamos por linhas A e obtemos B, temos que seus postos
linhas são iguais. Da mesmas formas se escalonamos A por colunas e
obtemos C, seus postos colunas são iguais.
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Por exemplo,
para encontrarmos o posto coluna de A =

1 −2 0 3
3 2 8 1
2 3 7 2
−1 2 0 4
, fazemos:
I) AT =

1 3 2 −1
−2 2 3 2
0 8 7 0
3 1 2 4
 e escalonamos por linhas obtendo;
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B =

1 0 0 1124
0 1 0 −4924
0 0 1 73
0 0 0 0
 .
2- Daí,
{[
1 0 0 1124
]
,
[
0 1 0 −4924
]
,
[
0 0 1 73
]}
é
uma base do espaço linha de AT . Portanto,

1
0
0
11
24
 ,

0
1
0
−4924
 ,

0
0
1
7
3


é uma base do espaço coluna de A e assim o posto coluna é 3.
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POSTO
Daí, para encontrarmos o posto linha e coluna de A, basta vermos o
número de linhas e colunas, respectivamente, não nulas de B e
C. Mas, quando sabemos que;
Teorema 2:
O posto linha e o posto coluna de uma matriz A = [aij ], de tamanho
m× n, são iguais.
Dizemos simplesmente o POSTO da matriz A e buscamos apenas o
posto linha ou o posto coluna.
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Por exemplo,
se A =

1 −2 0 3
3 2 8 1
2 3 7 2
, como escalonando por linhas obtemos

1 0 2 0
0 1 1 0
0 0 0 1
 e por colunas obtemos

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
, então o posto
de A é 3.
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Além do posto de uma matriz temos outro número associado a ela:
Definição 3:
Seja A = [aij ] uma matriz m× n. Chamamos de NULIDADE DE A
a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo associado Ax = 0.
Por exemplo,
para a matriz A =

1 −2 0 3
3 2 8 1
2 3 7 2
, o sistema homogêneo associado
Ax = 0 tem matriz aumentada
1 −2 0 3 p 0
3 2 8 1 p 0
2 3 7 2 p 0

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que escalonada é 
1 0 2 0 p 0
0 1 1 0 p 0
0 0 0 1 p 0
 ,
donde o espaço solução é
W =

x =

−2x3
−x3
x3
0

/
x3 = r ∈ R

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E como uma base de W é 

−2
−1
1
0


segue que a nulidade de A é igual a 1.
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Mas temos um teorema muito importante que relaciona e facilita o cálculo
da nulidade de uma matriz:
Teorema 3:
Se A é uma matriz m× n, então a
nulidade A = n− posto A.
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Por exemplo,
se A =

3 −1 2
2 1 3
7 1 8
, então escalonamos por linhas e obtemos
B =

1 0 1
0 1 1
0 0 0
 .
Portanto, o posto de A é 2 e assim, a nulidade é 3− 2 = 1.
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Quando estamos trabalhando com matrizes quadradas temos:
Teorema 4:
Se A é uma matriz n× n, então posto A = n se, e somente se, A é
equivalente por linhas a In.
Donde, consequentemente, obtemos:
Corolários:
1: A é não singular se, e somente se, posto A = n;
2: O posto A = n se, se somente se, det(A) 6= 0;
3: O sistema Ax = 0 tem solução não trivial se, se somente se,
posto A < n;
4: O sistema Ax = b tem solução única se, se somente se,
posto A = n.
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Por exemplo,
a matriz A =

1 2 3
0 1 2
3 0 −1
 é não singular?
Sim, pois det(A) = 2 6= 0, que pelocorolário 2 implica que
posto A = 3 e pelo corolário 1 implica ser não singular.
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Observação
Da mesma forma, se S = {v1, v2, . . . , vn} é um conjunto de vetores em
Rn (Rn), então S é L.I. se, e somente se, posto A = n, onde A é a
matriz cujas linhas (colunas) são os vj .
Por exemplo,
S =
{[
1 2 3
]
,
[
0 1 2
]
,
[
3 0 −1
]}
é L.I., pois, como
vimos no exemplo anterior, posto A = 3.
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E finalizamos vendo que comparando o posto da matriz dos coe-
ficientes de uma sistema não homogêneo com o posto da matriz
aumentada deste, sabemos se tem ou não solução:
Teorema 5:
O sistema não homogêneo Ax = b tem solução se, e somente se,
posto A = posto
[
A b
]
.
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Por exemplo,
para ver se o sistema
2 1 3
1 −2 2
0 1 3


x1
x2
x3
 =

1
2
3

tem solução, tomamos a matriz aumentada
2 1 3 p 1
1 −2 2 p 2
0 1 3 p 3

e escalonamos obtendo
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
1 0 0 p −1
0 1 0 p −15
0 0 1 p 98
 ,
donde o posto A = 3 e o posto
[
A b
]
= 3. Logo Ax = b tem solução.
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