25ª e 26ª Aula Matriz de uma Transformação Linear

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Álgebra Linear
Assunto: Matriz de uma Transformação Linear
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
19 de maio de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 1 / 19
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Quando reunimos todas as transformações lineares L : V →W defini-
das em espaços de dimensão finita, dimV = n e dimW = m, construí-
mos um espaço vetorial que é isomorfo ao espaços das matrizes Mmn
de ordem m× n. E isso nos permiti encontrar L(x) para x ∈ V fazendo
multiplicação de matrizes. Vejamos o que garante isso:
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Teorema 1:
Seja L : V →W uma transformação linear tal que dimV = n e
dimW = m. Se S = {v1, v2, . . . , vn} e T = {w1, w2, . . . , wm} são bases
ordenadas de V e W , respectivamente, então
A =
[
[L(v1)]T [L(v2)]T . . . [L(vn)]T
]
,
cujas colunas são os vetores de coordenadas de L(vj), é a única matriz
tal que
[L(x)]T = A [x]S , ∀x ∈ V.
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Demonstração:
Se S e T são bases de V e W , respectivamente, então
x = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn
L(x) = b1w1 + b2w2 + . . . + bmwm
L(vj) = c1jw1 + c2jw2 + . . . + cmjwm
donde,
[x]S =

a1
a2
...
an
 , [L(x)]T =

b1
b2
...
bm
 e [L(vj)]T =

c1j
c2j
...
cmj
 .
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Como
L(x) = a1L(v1) + a2L(v2) + . . . + anL(vn)
= a1(c11w1 + c21w2 + . . . + cm1wm) + a2(c12w1 + c22w2 + . . .+
cm2wm) + . . . + an(c1nw1 + c2nw2 + . . . + cmnwm)
= (a1c11 + a2c12 + . . . + anc1n)w1 + (a1c21 + a2c22 + . . .+
anc2n)w2 + . . . + (a1cm1 + a2cm2 + . . . + ancmn)wm
segue que
bi = a1ci1 + a2ci2 + . . . + ancin, i = 1, 2, · · · ,m.
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Logo,
[L(x)]T =

b1
b2
...
bm
 =

a1c11 + a2c12 + . . . + anc1n
a1c21 + a2c22 + . . . + anc2n
...
a1cm1 + a2cm2 + . . . + ancmn

=

c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n
...
cm1 cm2 . . . cmn


a1
a2
...
an
 = A [x]S
�
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Observação
quanto a unicidade, vemos que os vetores de coordenadas das
imagens dos vetores da base S, [L(vk)]T , seriam diferentes para
matrizes distintas, A e Aˆ, o que é um absurdo na mesma base T . Por
isso, A = Aˆ.
Por exemplo,
seja L : P2 → P1 definida por L (p(t)) = p′(t) e consideremos as bases
canônicas S = {t2, t, 1} e T = {t, 1} de P2 e P1, respectivamente.
Encontremos a matriz A associada a L.
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Precisamos conhecer [L(vj)]T , ou seja, escrever
L(t2) = a1t + a2 · 1
L(t) = b1t + b2 · 1
L(1) = c1t + c2 · 1
e resolver os sistema lineares obtidos,
2t = a1t + a2 · 1 ⇒
a1 = 2
a2 = 0
,
1 = b1t + b2 · 1 ⇒
b1 = 0
b2 = 1
e
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Precisamos conhecer [L(vj)]T , ou seja, escrever
L(t2) = a1t + a2 · 1
L(t) = b1t + b2 · 1
L(1) = c1t + c2 · 1
e resolver os sistema lineares obtidos,
2t = a1t + a2 · 1 ⇒
a1 = 2
a2 = 0
,
1 = b1t + b2 · 1 ⇒
b1 = 0
b2 = 1
e
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Precisamos conhecer [L(vj)]T , ou seja, escrever
L(t2) = a1t + a2 · 1
L(t) = b1t + b2 · 1
L(1) = c1t + c2 · 1
e resolver os sistema lineares obtidos,
2t = a1t + a2 · 1 ⇒
a1 = 2
a2 = 0
,
1 = b1t + b2 · 1 ⇒
b1 = 0
b2 = 1
e
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Precisamos conhecer [L(vj)]T , ou seja, escrever
L(t2) = a1t + a2 · 1
L(t) = b1t + b2 · 1
L(1) = c1t + c2 · 1
e resolver os sistema lineares obtidos,
2t = a1t + a2 · 1 ⇒
a1 = 2
a2 = 0
,
1 = b1t + b2 · 1 ⇒
b1 = 0
b2 = 1
e
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Precisamos conhecer [L(vj)]T , ou seja, escrever
L(t2) = a1t + a2 · 1
L(t) = b1t + b2 · 1
L(1) = c1t + c2 · 1
e resolver os sistema lineares obtidos,
2t = a1t + a2 · 1 ⇒
a1 = 2
a2 = 0
,
1 = b1t + b2 · 1 ⇒
b1 = 0
b2 = 1
e
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0 = c1t + c2 · 1 ⇒
c1 = 0
c2 = 0
.
Assim,
[
L(t2)
]
T
=
[
2
0
]
, [L(t)]T =
[
0
1
]
e [L(1)]T =
[
0
0
]
e, portanto,
A =
[
2 0 0
0 1 0
]
.
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0 = c1t + c2 · 1 ⇒
c1 = 0
c2 = 0
.
Assim,
[
L(t2)
]
T
=
[
2
0
]
, [L(t)]T =
[
0
1
]
e [L(1)]T =
[
0
0
]
e, portanto,
A =
[
2 0 0
0 1 0
]
.
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0 = c1t + c2 · 1 ⇒
c1 = 0
c2 = 0
.
Assim,
[
L(t2)
]
T
=
[
2
0
]
, [L(t)]T =
[
0
1
]
e [L(1)]T =
[
0
0
]
e, portanto,
A =
[
2 0 0
0 1 0
]
.
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0 = c1t + c2 · 1 ⇒
c1 = 0
c2 = 0
.
Assim,
[
L(t2)
]
T
=
[
2
0
]
, [L(t)]T =
[
0
1
]
e [L(1)]T =
[
0
0
]
e, portanto,
A =
[
2 0 0
0 1 0
]
.
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Observação
Dessa forma, calculamos L(v) usando [L(v)]T .
Por exemplo,
se p(t) = 5t2 − 3t + 2, então seu vetor de coordenada em S é
[p(t)]S =

5
−3
2
 , assim
[L(p(t))]T = A [p(t)]S =
[
2 0 0
0 1 0
]
5
−3
2
 =
[
10
−3
]
.
Logo, L(p(t)) = 10t− 3.
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Observação
Dessa forma, calculamos L(v) usando [L(v)]T .
Por exemplo,
se p(t) = 5t2 − 3t + 2, então seu vetor de coordenada em S é
[p(t)]S =

5
−3
2
 , assim
[L(p(t))]T = A [p(t)]S =
[
2 0 0
0 1 0
]
5
−3
2
 =
[
10
−3
]
.
Logo, L(p(t)) = 10t− 3.
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Observação
Dessa forma, calculamos L(v) usando [L(v)]T .
Por exemplo,
se p(t) = 5t2 − 3t + 2, então seu vetor de coordenada em S é
[p(t)]S =

5
−3
2
 ,
assim
[L(p(t))]T = A [p(t)]S =
[
2 0 0
0 1 0
]
5
−3
2
 =
[
10
−3
]
.
Logo, L(p(t)) = 10t− 3.
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Observação
Dessa forma, calculamos L(v) usando [L(v)]T .
Por exemplo,
se p(t) = 5t2 − 3t + 2, então seu vetor de coordenada em S é
[p(t)]S =

5
−3
2
 , assim
[L(p(t))]T = A [p(t)]S =
[
2 0 0
0 1 0
]
5
−3
2
 =
[
10
−3
]
.
Logo, L(p(t)) = 10t− 3.
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Agora, se no exemplo anterior, L : P2 → P1 definida por L (p(t)) = p′(t),
as bases fossem S = {1, t, t2} e T = {t + 1, t− 1} de P2 e P1, faríamos
L(1) = a1(t + 1) + a2(t− 1)
L(t) = b1(t + 1) + b2(t− 1)
L(t2) = c1(t + 1) + c2(t− 1)
obtendo,
0 = (a1 + a2)t + (a1 − a2) ⇒
a1 + a2 = 0
a1 − a2 = 0
,
1 = (b1 + b2)t + (b1 − b2) ⇒
b1 + b2 = 0
b1 − b2 = 1
e
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Agora, se no exemplo anterior, L : P2 → P1 definida por L (p(t)) = p′(t),
as bases fossem S = {1, t, t2} e T = {t + 1, t− 1} de P2 e P1, faríamos
L(1) = a1(t + 1) + a2(t− 1)
L(t) = b1(t + 1) + b2(t− 1)
L(t2) = c1(t + 1) + c2(t− 1)
obtendo,
0 = (a1 + a2)t + (a1 − a2) ⇒
a1 + a2 = 0
a1 − a2 = 0
,
1 = (b1 + b2)t + (b1 − b2) ⇒
b1 + b2 = 0
b1 − b2 = 1
e
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Agora, se no exemplo anterior, L : P2 → P1 definida por L (p(t)) = p′(t),
as bases fossem S = {1, t, t2} e T = {t + 1, t− 1} de P2 e P1,faríamos
L(1) = a1(t + 1) + a2(t− 1)
L(t) = b1(t + 1) + b2(t− 1)
L(t2) = c1(t + 1) + c2(t− 1)
obtendo,
0 = (a1 + a2)t + (a1 − a2) ⇒
a1 + a2 = 0
a1 − a2 = 0
,
1 = (b1 + b2)t + (b1 − b2) ⇒
b1 + b2 = 0
b1 − b2 = 1
e
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2t = (c1 + c2)t + (c1 − c2) ⇒
c1 + c2 = 2
c1 − c2 = 0
.
Assim, escrevendo suas matrizes aumentadas em bloco,[
1 1 p 0 p 0 p 2
1 −1 p 0 p 1 p 0
]
e escalonando [
1 0 p 0 p 12 p 1
0 1 p 0 p −12 p 1
]
concluímos que,
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[L(1)]T =
[
0
0
]
, [L(t)]T =
[
1
2
−12
]
e
[
L(t2)
]
T
=
[
1
1
]
e, portanto, A =
[
0 12 1
0 −12 1
]
.
Observação
Isso destaca que a matriz A é única para cada base.
E assim,
Definição 1:
A matriz A é chamada matriz associada a L em relação às bases S
e T ou dizemos que A representa L em relação a S e T .
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Observação
Se L : Rn → Rm, então é frequente usarmos as bases canônicas,
simplificando a tarefa
Por exemplo,
seja L : R3 → R2 definida por L


x1
x2
x3

 =
[
x1 + x2 + x3
x1 + 2x2 + 3x3
]
.
Como
L(e1) = L


1
0
0

 =
[
1
1
]
= 1e¯1 + 1e¯2,
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L(e2) = L


0
1
0

 =
[
1
2
]
= 1e¯1 + 2e¯2 e
L(e3) = L


0
0
1

 =
[
1
3
]
= 1e¯1 + 3e¯2
vemos que as imagens dos vetores da base canônica de R3, L(ej), são
combinação linear dos vetores e¯j da base canônica de R2. Assim,
A =
[
1 1 1
1 2 3
]
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Notemos que se L : Rn → Rm é dada por L(v) = Av, A não é necessa-
riamente a matriz B associada a L, somente se for em relação as bases
canônicas, ou seja, nesse caso B = A. Além disso,
Observação
Se L : V → V é um operador linear com dimV = n e S é uma base
de V , então nos referimos a A como a representação de L em
relação a S;
A matriz do operador identidade IV : V → V em relação a
qualquer base S é a matriz In. Se for em relação a duas bases S e
T de V , então é a matriz de mudança PT←S .
Se L for invertível e A é a matriz associada a L em relação a S,
então A−1 é a matriz associada a L−1 em relação a S.
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Por exemplo,
sejam L : R2 → R2 um operador dado por L
([
x
y
])
=
[
x
−y
]
e
S =
{[
1
1
]
,
[
−1
1
]}
uma base ordenada de R2. Obtenhamos a
matriz que representa L.
Fazemos,
L
([
1
1
])
= a1
[
1
1
]
+ a2
[
−1
1
]
e
L
([
−1
1
])
= b1
[
1
1
]
+ b2
[
−1
1
]
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Por exemplo,
sejam L : R2 → R2 um operador dado por L
([
x
y
])
=
[
x
−y
]
e
S =
{[
1
1
]
,
[
−1
1
]}
uma base ordenada de R2. Obtenhamos a
matriz que representa L.
Fazemos,
L
([
1
1
])
= a1
[
1
1
]
+ a2
[
−1
1
]
e
L
([
−1
1
])
= b1
[
1
1
]
+ b2
[
−1
1
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 16 / 19
implicando,
a1 − a2 = 1
a1 + a2 = −1
e
b1 − b2 = −1
b1 + b2 = −1
.
Daí, [
L
([
1
1
])]
S
=
[
0
−1
]
e
[
L
([
−1
1
])]
S
=
[
−1
0
]
.
Portanto,
A =
[
0 −1
−1 0
]
.
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Finalizemos relembrando que, para conhecermos a matriz de represen-
tação de uma transformação linear, precisamos calcular os vetores de
coordenadas das imagens dos vetores da base do domínio dessa
transformação. Escrevemos essas imagens como combinação linear dos
vetores da base do contradomínio, obtendo suas colunas.
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Ou seja, para representarmos L : V →W por meio de
[L(v)]T = A[v]S ,
precisamos calcular
L(vi) = a1w1 + a2w2 + . . . + amwm,
onde S = {v1, . . . , vn} é base de V e T = {w1, . . . , wm} de W .
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