27ª e 28ª Aula Definição e Cálculo de Autovalores e Autovetores

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Assunto: Definição e exemplos de Autovalores e
Autovetores
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
19 de maio de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 1 / 35
DEFINIÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
O fato de uma transformação linear ter uma representação matricial,
L(v) = Av, simplifica bastante o trabalho, pois multiplicar matrizes
é mais comum do que calcular imagens em certas transformações.
Assim, quando nos restringimos ao operadores, L : V → V , saber
que L(v) é múltiplo de v, facilita uma grande variedades de problemas.
É aí que conhecemos os autovalores e os autovetores.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 1 / 35
Definição 1:
Seja L : V → V uma operador linear de um espaço vetorial real ou
complexo V de dimV = n. O número λ ∈ R ou C é chamado de
autovalor de L se existe um vetor não nulo v ∈ V tal que
L(v) = λv.
Todo vetor v ∈ V não nulo que satisfaça a equação anterior é dito
autovetor de L associado a λ;
Também chamamos λ de valor próprio, valor característico e
valor latente e v 6= 0 de vetores próprios;
E exigimos que v 6= 0, pois L(0) = 0 = λ0, donde todo número real
e complexo seria um autovalor.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 2 / 35
EXEMPLOS
Exemplo 1:
seja L : V → V definida por L(v) = 2v. Encontremos seus autovalores e
autovetores.
Se v 6= 0, então L(v) = 2v para todo v ∈ V . Assim, 2 é o único autovalor
de L, pois todo vetor não nulo de V tem 2v como imagem.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 3 / 35
EXEMPLOS
Exemplo 1:
seja L : V → V definida por L(v) = 2v. Encontremos seus autovalores e
autovetores.
Se v 6= 0, então L(v) = 2v para todo v ∈ V . Assim, 2 é o único autovalor
de L, pois todo vetor não nulo de V tem 2v como imagem.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 3 / 35
Observação
Assim, vemos que autovetores nunca são únicos, já que se x 6= 0 é
um autovetor de L associado a λ, então L(x) = λx. Daí, se tomarmos
rx, onde r 6= 0 ∈ R, teremos
L(rx) = rL(x) = rλx = λ(rx),
donde, rx também será autovetor de L associado a λ.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 4 / 35
Exemplo 2:
Seja L : R2 → R2 definida por L
([
a1
a2
])
=
[
−a2
a1
]
. Encontremos
seus autovalores e autovetores.
Fazemos
L
([
a1
a2
])
= λ
[
a1
a2
]
,
implicando [
−a2
a1
]
= λ
[
a1
a2
]
.
donde, obtemos o sistema
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 5 / 35
Exemplo 2:
Seja L : R2 → R2 definida por L
([
a1
a2
])
=
[
−a2
a1
]
. Encontremos
seus autovalores e autovetores.
Fazemos
L
([
a1
a2
])
= λ
[
a1
a2
]
,
implicando [
−a2
a1
]
= λ
[
a1
a2
]
.
donde, obtemos o sistema
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 5 / 35
−a2 = λa1
a1 = λa2
⇒ −a2 = λ2a2.
Como v 6= 0, segue que se a2 6= 0
λ2 = −1.
Já que L está definida em R2, λ ∈ R e assim, L não tem autovalores.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 6 / 35
Observação
Se L fosse definido no conjunto das matrizes complexas 2× 1,
L : C2 → C2, então λ ∈ C e assim, λ = ±i seriam seus autovalores e
a1 = ia2 ⇒
[
ri
r
]
, seriam os autovetores associados a λ = i.
a1 = −ia2 ⇒
[
−ri
r
]
, seriam os autovetores associados a λ = −i.
Em ambos, r 6= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 7 / 35
Exemplo 3:
Seja L : R2 → R2 definida por L
([
a1
a2
])
=
[
a2
a1
]
. Encontremos
seus autovalores e autovetores.
Fazemos
L
([
a1
a2
])
= λ
[
a1
a2
]
,
implicando [
a2
a1
]
= λ
[
a1
a2
]
.
donde, obtemos o sistema
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 8 / 35
Exemplo 3:
Seja L : R2 → R2 definida por L
([
a1
a2
])
=
[
a2
a1
]
. Encontremos
seus autovalores e autovetores.
Fazemos
L
([
a1
a2
])
= λ
[
a1
a2
]
,
implicando [
a2
a1
]
= λ
[
a1
a2
]
.
donde, obtemos o sistema
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 8 / 35
a2 = λa1
a1 = λa2
⇒ a2 = λ2a2.
Como v 6= 0, segue que se a2 6= 0
λ2 = 1.
Logo, ±1 são os autovalores de L e
a1 = a2 ⇒
[
r
r
]
, são os autoveres associados a λ = 1.
a1 = −a2 ⇒
[
−r
r
]
, são os autovetores associados a λ = −1.
Em ambos, r 6= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 9 / 35
Exemplo 4:
Seja L : R2 → R2 definida por L
([
a1 a2
])
=
[
0 a2
]
.
Encontremos seus autovalores e autovetores.
Fazemos
L
([
a1 a2
])
= λ
[
a1 a2
]
,
implicando [
0 a2
]
= λ
[
a1 a2
]
.
donde, obtemos o sistema
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 10 / 35
Exemplo 4:
Seja L : R2 → R2 definida por L
([
a1 a2
])
=
[
0 a2
]
.
Encontremos seus autovalores e autovetores.
Fazemos
L
([
a1 a2
])
= λ
[
a1 a2
]
,
implicando [
0 a2
]
= λ
[
a1 a2
]
.
donde, obtemos o sistema
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 10 / 35
0 = λa1
a2 = λa2
.
Como v 6= 0, segue que
se a1 6= 0, então λ = 0 e se a2 6= 0, então λ = 1.
Logo, 0 e 1 são os autovalores de L e
0 = 0a1
a2 = 0a2
⇒
[
r 0
]
, são os autoveres associados a λ = 0.
0 = 1a1
a2 = 1a2
⇒
[
0 r
]
, são os autovetores associados a λ = 1.
Em ambos, r 6= 0.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 11 / 35
Observação
Ver-se com esse exemplo que o escalar zero pode ser um
autovalor, apenas o vetor nulo não pode ser um autovetor;
Também podemos estudar autovalores e autovetores em espaços
de dimensão infinita, um exemplo é o operador L : V → V
definido por L(f) = f ′.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 12 / 35
Agora, como estamos trabalhando com operadores definido em espaços
de dimensão finita, temos a matriz associada em relação a uma base,
donde podemos formular uma técnica de resolução mais simples, ou
seja, ao em vez de resolvermos o sistema resultante de
L(v) = λv,
resolvemos
A[v]S = λ[v]S .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 13 / 35
Por exemplo,
para L : P2 → P2 definido por L(at2 + bt+ c) = −bt− 2c encontremos a
versão matricial para calcular seus autovalores e autovetores
considerando a base S = {1− t, t+ 1, t2}.
Primeiro encontramos a matriz A associada a L fazendo:
L(1− t) = a1(1− t) + a2(t+ 1) + a3(t2)
L(t+ 1) = b1(1− t) + b2(t+ 1) + b3(t2)
L(t2) = c1(1− t) + c2(t+ 1) + c3(t2)
implicando,
t− 2 = a3t2 + (a2 − a1)t+ (a1 + a2) ⇒
a3 = 0
−a1 + a2 = 1
a1 + a2 = −2
,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 14 / 35
Por exemplo,
para L : P2 → P2 definido por L(at2 + bt+ c) = −bt− 2c encontremos a
versão matricial para calcular seus autovalores e autovetores
considerando a base S = {1− t, t+ 1, t2}.
Primeiro encontramos a matriz A associada a L fazendo:
L(1− t) = a1(1− t) + a2(t+ 1) + a3(t2)
L(t+ 1) = b1(1− t) + b2(t+ 1) + b3(t2)
L(t2) = c1(1− t) + c2(t+ 1) + c3(t2)
implicando,
t− 2 = a3t2 + (a2 − a1)t+ (a1 + a2) ⇒
a3 = 0
−a1 + a2 = 1
a1 + a2 = −2
,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 14 / 35
−t− 2 = b3t2 + (b2 − b1)t+ (b1 + b2) ⇒
b3 = 0
−b1 + b2 = −1
b1 + b2 = −2
e
0 = c3t
2 + (c2 − c1)t+ (c1 + c2) ⇒
c3 = 0
−c1 + c2 = 0
c1 + c2 = 0
,
que, tomando suas matrizes aumentadas em bloco,
0 0 1 p 0 p 0 p 0
−1 1 0 p 1 p −1 p 0
1 1 0 p −2 p −2 p 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 15 / 35
e escalonando, obtemos
1 0 0 p −32 p −12 p 0
0 1 0 p −12 p −32 p 0
0 0 1 p 0 p 0 p 0

Logo,
A =

−32 −12 0
−12 −32 0
0 00
 .
Depois calculamos o vetor de coordenada [p(t)]S fazendo:
at2 + bt+ c = a1(1− t) + a2(t+ 1) + a3(t2) ⇒
a3 = a
−a1 + a2 = b
a1 + a2 = c
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 16 / 35
Daí,
[at2 + bt+ c]S =

− b−c2
b+c
2
a

E concluímos obtemos a versão matricial para encontrar autovalores e
autovetores em relação a S:
−32 −12 0
−12 −32 0
0 0 0


− b−c2
b+c
2
a
 = λ

− b−c2
b+c
2
a
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 17 / 35
Assim,
a versão matricial do cálculo dos autovalores de L depende da
base de V , os autovetores não;
os conceitos de autovalores e autovetores também são
formulados para uma matriz quadrada qualquer , já que
podemos associa-las a um operador do tipo L : Rn → Rn ou
L : Cn → Cn;
Assim, vamos enfatizar o problema de encontrar autovalores e
autovetores associados a uma matriz n× n, ou seja, buscaremos
λ ∈ R ou C, um autovalor de A e x 6= 0, um autovetor de A,
tal que
Ax = λx, x ∈ Rn ou Cn.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 18 / 35
MÉTODO SISTÉMICO DE CÁLCULO DE
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Dessa forma, podemos calcular os autovalores e autovetores asso-
ciados a uma matriz A, que estaremos calculando os autovalores
e autovetores associados a um operador que esteja associado a ela.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 19 / 35
Por exemplo,
seja A =
[
1 1
−2 4
]
, calculemos seus autovalores e autovetores.
Primeiro, precisamos encontrar x 6= 0, onde x ∈ R2 ou C2, tal que
Ax = λx, λ ∈ R ou C,
assim, [
1 1
−2 4
][
x1
x2
]
= λ
[
x1
x2
]
⇒
[
x1 + x2
−2x1 + 4x2
]
=
[
λx1
λx2
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 20 / 35
Por exemplo,
seja A =
[
1 1
−2 4
]
, calculemos seus autovalores e autovetores.
Primeiro, precisamos encontrar x 6= 0, onde x ∈ R2 ou C2, tal que
Ax = λx, λ ∈ R ou C,
assim, [
1 1
−2 4
][
x1
x2
]
= λ
[
x1
x2
]
⇒
[
x1 + x2
−2x1 + 4x2
]
=
[
λx1
λx2
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 20 / 35
donde obtemos o sistema
x1 + x2 = λx1
−2x1 + 4x2 = λx2
,
que pode ser escrito assim,
(1− λ)x1 + x2 = 0
−2x1 + (4− λ)x2 = 0
.
Daí, temos um sistema homogêneo e, como x 6= 0, ele deve ter solução
não trivial, ou seja, o determinante da matriz dos coeficiente deve ser
nulo. Então,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 21 / 35
det
([
1− λ 1
−2 4− λ
])
= 0 ⇒ (1− λ)(4− λ)− (−2) = 0
donde,
λ2 − 5λ+ 6 = 0
Portanto,
λ = 3 e λ = 2
são os autovalores de A.
Agora, para os autovetores voltamos no sistema homogêneo e substituí-
mos λ = 2:
(1− 2)x1 + x2 = 0
−2x1 + (4− 2)x2 = 0
⇒ −x1 + x2 = 0
−2x1 + 2x2 = 0
⇒ x1 = x2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 22 / 35
Logo, x =
[
r
r
]
, r 6= 0, são os autovetores de A associados a λ = 2.
E substituindo λ = 3:
(1− 3)x1 + x2 = 0
−2x1 + (4− 3)x2 = 0
⇒ −2x1 + x2 = 0
−2x1 + x2 = 0
⇒ x1 = −x2
2
.
Logo, x =
[
− s2
s
]
, s 6= 0, são os autovetores de A associados a
λ = 3.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 23 / 35
Observemos que esse método é padrão, assim, formalizando:
Definição 1:
Seja A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
an1 an2 . . . ann
 uma matriz n× n. O determinante
da matriz
λIn −A =

λ− a11 −a12 . . . −a1n
−a21 λ− a22 . . . −a2n
...
...
...
−an1 −an2 . . . λ− ann

é chamado polinômio característico de A, p(λ) = det(λIn −A).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 24 / 35
E
Teorema 1:
Se A é uma matriz n× n, então os autovalores de A são as raízes do
polinômio característico de A.
Por exemplo,
se A =

1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
, então seu polinômio característico é:
calculamos
p(λ) = det(λIn −A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
λ− 1 −2 1
−1 λ −1
−4 4 λ− 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ = λ
3 − 6λ2 + 11λ− 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 25 / 35
E
Teorema 1:
Se A é uma matriz n× n, então os autovalores de A são as raízes do
polinômio característico de A.
Por exemplo,
se A =

1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
, então seu polinômio característico é:
calculamos
p(λ) = det(λIn −A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
λ− 1 −2 1
−1 λ −1
−4 4 λ− 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ = λ
3 − 6λ2 + 11λ− 6.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 25 / 35
Observação
1 Notemos que o polinômio característico tem grau n e o
coeficiente de λn é 1, pois é resultado do produto
(λ− a11)(λ− a22) · . . . · (λ− ann);
2 Assim, escrevemos p(λ) = λn + a1λn−1 + . . .+ an−1λ+ an, donde
an = (−1)n det(A).
3 E como devemos encontrar as raízes desse polinômio é útil lembrar
que:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 26 / 35
a) O produto de todas as raízes de um polinômio do tipo
p(λ) = λn + a1λ
n−1 + . . .+ an−1λ+ an é
(−1)nan.
b) Se a1, a2, . . ., an são inteiros, então p(λ) não pode ter uma raiz
racional não inteira.
Assim, para encontrarmos autovalores de uma matriz A, precisamos
buscar fatores inteiros de an como possíveis raízes racionais de seu
polinômio característico p(λ). Mas, isso não funciona se tiver apenas
raízes complexas ou se tiver raízes irracionais.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 27 / 35
Mas, a maioria dos polinômios característicos a serem resolvidos nessa
aula têm apenas raízes inteiras.
E os autovetores, como vimos, são obtidos substituindo λ na equação:
(λIn −A)x = 0.
Por exemplo,
no exemplo anterior, encontremos os autovalores e autovetores de A.
Como já sabemos que o polinômio característico de A é
p(λ) = λ3 − 6λ2 + 11λ− 6,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 28 / 35
observamos que:
a) (−1)3a3 = (−1)6 = 6;
b) Se tiver uma raiz racional, então deve ser inteira e divisor de 6, ou
seja, ±1,±2,±3 ou ±6.
Assim, como p(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, temos que 1 é raiz e podemos
fatorar p(λ) usando divisão pelo fator (λ−1) ou o método de Briot-
Ruffini :
1 1 −6 11 −6
1 −5 6 0
,
donde,
p(λ) = (λ− 1)(λ2 − 5λ+ 6).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 29 / 35
Fatorando λ2 − 5λ+ 6, obtemos
p(λ) = (λ− 1)(λ− 3)(λ− 2).
Logo, λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = 3 são os autovalores de A.
Para seus autovetores substituímos λ1 = 1 em (λIn −A)x = 0:λ

1 0 0
0 1 0
0 0 1
−

1 2 −1
1 0 1
4 −4 5



x1
x2
x3
 =

0
0
0

⇒

1− 1 −2 1
−1 1− 0 −1
−4 4 1− 5


x1
x2
x3
 =

0
0
0
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 30 / 35
Donde temos um sistema cuja matriz aumentada é
0 −2 1 p 0
−1 1 −1 p 0
−4 4 −4 p 0
 ,
que escalonada resulta em
1 0 12 p 0
0 1 −12 p 0
0 0 0 p 0
 ⇒
x1 = −12x3
x2 =
1
2x3
x3 = r
.
Logo, x =

−12r
1
2r
r
, r 6= 0, são os autovetores de A associados a λ = 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 31 / 35
Para λ2 = 2 segue que:
2− 1 −2 1
−1 2− 0 −1
−4 4 2− 5


x1
x2
x3
 =

0
0
0
 ,
donde temos um sistema cuja matriz aumentada é
1 −2 1 p 0
−1 2 −1 p 0
−4 4 −3 p 0
 ,
que escalonada resulta em
1 0 34 p 0
0 1 −14 p 0
0 0 0 p 0
 ⇒
x1 = −34x3
x2 =
1
4x3
x3 = r
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 32 / 35
Logo, x =

−34r
1
4r
r
, r 6= 0, são os autovetores de A associados a λ = 2.
E para λ3 = 3 segue que:
3− 1 −2 1
−1 3− 0 −1
−4 4 3− 5


x1
x2
x3
 =

0
0
0
 ,
donde temosum sistema cuja matriz aumentada é
2 −2 1 p 0
−1 3 −1 p 0
−4 4 −2 p 0
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 33 / 35
que escalonada resulta em
1 0 12 p 0
0 1 −14 p 0
0 0 0 p 0
 ⇒
x1 = −12x3
x2 =
1
4x3
x3 = r
.
Logo, x =

−12r
1
4r
r
, r 6= 0, são os autovetores de A associados a λ = 2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 34 / 35
E finalizemos observando que:
O polinômio característico pode não ter raízes reais;
Esse método de calcular autovalores e autovetores não é prático
já para n > 4;
Não devemos escalonar a matriz A para depois calcular seus
autovalores e autovetores, por exemplo, a matriz A do exemplo
anterior, quando escalonada, obtemos a matriz identidade I3, cujos
autovalores são λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 1 e não os que encontramos.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 19 de maio de 2016 35 / 35