Estatística - Cap. - 6 Variáveis AleatÃ

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 ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA – USP
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Capítulo 6: Variáveis Aleatórias Contínuas
6.1 Conceito de Variável Aleatória Contínua
6.2 Função Densidade de Probabilidade
6.3 Função de Distribuição Acumulada
6.4 Valor Esperado de uma Variável Aleatória Contínua
6.5 Distribuições Mistas
6.6 Alguns Modelos Probabilísticos de Variáveis Aleatórias Contínuas
6.6.1 Variáveis Contínuas Uniformemente Distribuídas
6.6.2 Distribuição Normal
6.6.3 Distribuição Exponencial
6.6.4 Distribuição Gama
6.6.5 Distribuição de Pareto
6.6.6 Distribuição de 
 (Qui – Quadrado)
6.6.7 Distribuição Lognormal
6.6.8 Aproximação das Distribuições Normal e Binomial
6.6.9 Tabelas de Distribuições
6.1 Conceito de Variável Aleatória Contínua
 Quando uma variável aleatória “X” assumir intervalos de valores ou conjuntos de valores, diz-se que trata-se de uma variável Aleatória contínua, isto é, uma variável aleatória é denominada contínua se ela puder assumir todos os valores de algum intervalo a a ≤ x ≤ b, como indicado na figura.
�
Observações:
1ª) A área limitada pela totalidade da curva é igual a 1.
2ª) A área limitada pela curva e os pontos a e b representa P(a < x < b).
6.2 Função Densidade de Probabilidade
 Se X é uma variável aleatória contínua, a função que satisfaz as seguintes condições:
f(x) ≥ 0 para todo x
Rx
é chamada função densidade de probabilidade; e é utilizada no cálculo do valor da probabilidade associada à variável X.
 Para qualquer a < b (em Rx)
 P( a < x < b) = 
 
Observações:
1ª) P(a < x < b) é igual à área sob a curva, indicada na figura anterior, entre x = a e x = b.
2ª) Constitui uma conseqüência da descrição probabilística de X, acima, que para qualquer valor especificado de x, por exemplo x0, tem-se P(x = x0) = 0; porque:
 P( x = x0 ) = 
f(x) . dx = 0
 
 Assim são considerados iguais os valores das seguintes probabilidades:
 P( a ≤ x ≤ b) = P(a ≤ x < b) = P(a < x ≤ b) = P(a < x < b) 
3ª) Comumente se confunde o intervalo ( - 
; + 
), com o intervalo de variação possível das variáveis, mesmo que estas não assumam efetivamente estes valores; o que significa dizer que os valores ( - 
; + 
), passam a representar simbolicamente o campo de variação possível da variável em estudo, sendo conseqüentemente a representação do espaço amostral do experimento. Logo:
 
 e P(x) = 0, para qualquer valor de x fora deste intervalo ( - 
; + 
), do experimento.
Exemplo: Suponha que uma variável aleatória X, seja contínua, com função densidade de probabilidade dada por:
 f( x ) = 2x, 0 < x < 1 e
 f( x ) = 0 , para quaisquer outros valores de x.
 Calcular: P (x ≤ ½)
Solução: 
 fica provado que trata-se de uma função densidade de probabilidade. Então:
 P ( x ≤ ½) = 
6.3 Função de Distribuição Acumulada
 Seja X uma variável aleatória contínua; define-se a função F como a função de distribuição acumulada da variável, quando for dada por:
 F(X) = P( X ≤ x ) = 
Exemplo: Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: f( x ) = 2x; 0 < x < 1
 f( x ) = 0; para quaisquer outros valores de x.
Solução: Tem-se: F( x ) = 0; se x ≤ 0
 F( x ) = 
, se 0 < x < 1
 F( x ) = 1, se x > 1
 F(x)
�
 x
Observações:
Se X for uma variável aleatória discreta, o gráfico da função acumulada será dado por segmentos de retas horizontais (função em degraus).
Se X for uma variável aleatória contínua, o gráfico da função de distribuição acumulada será uma linha contínua (função contínua)
Seja F a função de distribuição acumulada de X, uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por f(x). Então:
f(x) = 
 ou f(x) = F’(x)
Exemplo: Suponha que uma variável aleatória contínua tenha função de distribuição acumulada dada por: F(x) = 0, se x ≤ 0
 F(x) = 1 – е-x, se x > 0
 Neste caso: F’(x) = е-x, para x > 0 e a função densidade de probabilidade f(x) será dada por: f(x) = e-x, para x ≥ 0 
 f(x) = 0 , para quaisquer outros valores de x. 
6.4 Medidas de uma Variável Aleatória Contínua
 Para uma variável aleatória contínua, tem-se;
 Valor Esperado E(x) = 
, com x definida somente em [a, b]
 Variância V(x) = E(x2) – [E(x)]2
 Sendo: E(x2) = 
 Desvio Padrão DP(x) = 
(x) = + 
 
Exemplo: Calcular E(x); V(x) e 
(x), da variável aleatória contínua x cuja função densidade de probabilidade é dada por:
 f(x) = 2x, para 0 < x < 1 
 f(x) = 0, para quaisquer outros valores de x.
Solução: E(x) = 
 
 
 V(x) = E(x2) – [E(x)]2 
 E(x2) = 
 = 
 
 V(x) = 
 
 
(x) = + 
 = 
6.5 Distribuições Mistas
 Existem casos onde é possível encontrar uma variável aleatória que possa assumir tanto valores discretos, quanto valores contínuos. Nestes casos diz-se que a variável tem uma distribuição mista de probabilidades e os seus valores são calculados, respectivamente, com os conceitos de:
- Função probabilidade 
- Função densidade de probabilidade 
6.6 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas
 Serão verificados a seguir os modelos de probabilidade mais comuns para variáveis aleatórias contínuas.
6.6.1 Variáveis Aleatórias Contínuas Uniformemente Distribuídas
 Uma variável aleatória contínua tem distribuição uniforme, com parâmetros 
 e 
, com 
 < 
 e reais; se sua função densidade de probabilidade for dada por:
 f(x) = 
, se 
 ≤ x ≤ 
 f(x) = 0, para os demais valores de x.
 A representação gráfica da variável é dada por:
 f(x)
� 
 x = a x = b x 
 A representação gráfica da função de distribuição acumulada é dada por:
 
 F(x)
� 
 x = a x = b x 
 
Características da Distribuição de Variáveis Aleatórias Contínuas Uniformes
 E(x) = 
 V(x) = 
 F(x) = 0, se x < 
 F(x) = 
, se 
 ≤ x < 
 F(x) = 1, se x ≥ 
Exemplo: Calcular a função densidade de probabilidade, a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória X, contínua e uniformemente distribuída entre – ½ e ½ 
Solução: f(x) = 
= 
 
 E(x) = 
= 
 E(x) = 0
 V(x) = 
= 
 V(x) = 
 
6.6.2 Distribuição Normal
 Esta é uma das mais importantes variáveis aleatórias contínuas. Uma variável aleatória X, que assuma todos os valores reais entre -
 e +
, isto é, -
 < x < +
, tem distribuição normal ou Gaussiana, se sua função densidade de probabilidade for da seguinte forma;
, para -
 < x < +
 Os parâmetros 
e 
 devem satisfazer às seguintes condições:
 a) -
 <
 < +
 b) 
> 0
 Esta distribuição é freqüentemente indicada por: N(
) e sua representação gráfica é dada por:
 
 f(x)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 0 
 
 
 x
Observações:
1ª) f(x) → 0 quando x → ±2ª) Os pontos de inflexão de f(x) são:
 
 e 
 Ponto de inflexão é aquele onde a concavidade da curva muda (se modifica).
3ª) E(x) = 
4ª) V(x) = 
5ª) x = 
 é o ponto de máximo de f(x) e o valor máximo é: 
6ª) f(x) é simétrica ao redor de x = 
; isto é, f(
) = f(
), para todo e qualquer 
 < x < 
.
7ª) A forma da distribuição normal gráfica é conhecida como forma de sino.
Propriedades da Distribuição Normal
Verificação de que; 
Demonstração:
 
 fazendo: t = (x - 
) / 
tem-se que:
 I(t) = (1/
) 
 O artifício empregado para calcular esta integral é considerar, em lugar de I, o quadrado desta integral, a saber I2. Deste modo:
 = 
 Introduzindo coordenadas polares para calcular esta integral dupla, tem-se:
 s = r.cos
 t = r. sen 
 O elemento de área ds.dt se transforma em r.dr.dx. Como s e t variam entre -
 e + 
; r varia entre 0 e 
, enquanto que 
 varia entre o e 2
.
 
. 
 = 
�� EMBED Equation.3 
 
 = 1
 Logo: I = 1, comprovando a propriedade enunciada.
Se Z tiver uma distribuição N(0,1), diz-se que Z possui uma distribuição normal reduzida ou padrão. Isto é a função densidade de probabilidade de Z pode ser escrita como:
 
 
 A importância desta distribuição esta no fato de que ela sempre possuirá a mesma média, a mesma variância e conseqüentemente o mesmo desvio padrão; podendo assim ser tabelada.
 Sempre que X possuir uma distribuição N(
, 
), é possível obter a sua forma reduzida pela adoção da seguinte transformação linear: 
 .
 A distribuição gráfica será dada por: 
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 - 1 0 + 1 z
 Suponha que Z tenha distribuição N(0, 1). Neste caso:
 
 Esta integral não pode ser calculada pelos caminhos matemáticos comuns. A dificuldade reside no fato de que não se pode achar a função cuja derivada seja igual a: 
.
 Contudo, métodos de integração numérica podem ser empregados para calcular integrais da forma acima e de fato P(z ≤ b) tem sido tabelada. Assim os cálculos de função densidade de probabilidade da variável aleatória X com N(
), serão efetuados através dos valores tabelados de Z que é uma N(0, 1), utilizando-se a transformação da variável: z = 
, e que é representada graficamente por:
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 - 1 0 + 1 z
 Sendo simétrica e visando uma simplificação da tabela, esta se dá somente para a metade dos valores pois os correspondentes da outra metade serão iguais. Sua representação gráfica fica, então: 
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 0 zc z
Exemplo: Considere o cálculo, para Z : N(0, 1), de:
P(0 ≤ z ≤ 1,73)
P(-1,73 ≤ z ≤ 0)
P(z ≥ 1,73)
P(z ≤ - 1,73)
P(0,47 ≤ z ≤ 1,73)
Solução:
Na tabela: para z = 1,73 obtém-se o valor: 0,4582
 P(0 ≤ z ≤ 1,73) = 0,4582
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 0 1,73 z
 b) Na tabela: para z = 1,73 (pois pelo critério de simetria a área correspondente a -1,73 será igual à área correspondente a 1,73); obtém-se o valor: 0,4582
 P( - 1,73 ≤ z ≤ 0) = 0,4582 
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 - 1,73 0 z
 c) Na tabela: para z = 1,73 obtém-se o valor 0,4582
 P(z ≥ 1,73) = 0,5 – P(0 ≤ z ≤ 1,73) = 0,5 – P(z = 1,73) = 0,5 – 0,4582 = 0,0418
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 0 1,73 z
 d) Na tabela: para z = 1,73 obtém-se o valor 0,4582
 P(z ≤ - 1,73) = 0,5 – P(-1,73 ≤ z ≤ 0) = 0,5 - P(z = 1,73) = 0,5 – 0,4582 = 0,0418 
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 - 1,73 0 z
 e) Na tabela: para z = 1,73 obtém-se o valor 0,4582;
 para z = 0, 47 obtém-s o valor 0,1808
 P(0,47 ≤ z ≤ 1,73) = P(0 ≤ z ≤ 1,73) – P(0 ≤ z ≤ 0,47) = P( z = 1,73) – P(z = 0,47)
 P(0,47 ≤ z ≤ 1,73) = 0,4582 – 0,1808 = 0,2774 
 
 f(z)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 0 0,47 1,73 z
6.6.3 Distribuição Exponencial
 Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro 
 > 0, se sua função densidade de probabilidade for dada por:
 f(x) = 
 , x ≥ 0
 f(x) = 0 , x < 0
 f(x)
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
 0 x
Características da Distribuição Exponencial
 
E(x) = 
V(x) = 
F(x) = P( X ≤ x) = 
 x ≥ 0
F(x) = 0 , para quaisquer outros valores de x.
 Algumas vezes, depara-se com a função densidade de probabilidade dada por:
 f(x) = 
, x > 0
 Neste caso é só fazer: 
, obtendo-se: E(x) = 
 V(x) = 
Exemplo: O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória T, com função densidade de probabilidade dada por:
 f(t) = 
 , t ≥ 0
 f(t) = 0 , t < 0
 Calcular a vida média do transistor e a probabilidade de que seu tempo de vida seja maior do que a média.
Solução: E(t) = 
 = 500
 P(T > 500) = 
 P(T > 500) = -
 = 0,3579
6.6.4 Distribuição Gama
 A função gama é definida por:
 
 , para p> 0
 Seja X uma variável aleatória contínua que assuma somente valores não negativos; diz-se que X tem uma distribuição de probabilidade gama, se sua função densidade de probabilidade for dada por:
 f(x) = 
 , x > 0
 f(x) = 0 , para quaisquer outros valores de x.
 A distribuição gráfica será dada por:
 f(x)
 0 x
Características da Distribuição Gama
E(x) = 
V(x) = 
Observações:
1ª) se r = 1, a função densidade de probabilidade fica sendo:
 f(x) = 
 → Distribuição Exponencial
 Portanto a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição gama.
2ª) Tanto a função gama como a distribuição gama, poderão também ser dadas por:
 
, 
 > 0 
 f(x) = 
, x ≥ 0
 f(x) = 0 , x < 0
 
 > 0 , 
 > 0 
3ª) A distribuição gama pode ser expressa em termos da função densidade de probabilidade tabulada por Poisson, pois:
 F(x) = 1 - 
6.6.5 Distribuição de Pareto
 É uma distribuição freqüentemente usada em economia, em conexão com problemas de distribuição derenda.
 Uma variável aleatória X, tem distribuição de Pareto, com parâmetros 
 > 0 e b > 0, se sua função densidade de probabilidade for dada por:
 f(x) = 
 , x ≥ b
 f(x) = 0 , x < b
 A sua distribuição gráfica é dada por:
 f(x)
�
 0 b x
Características da Distribuição de Pareto
E(x) = 
 para 
 > 1
V(x) = 
 para 
> 2
6.6.6 Distribuição de Qui-Quadrado
 A distribuição de Qui-Quadrado é um caso particular da distribuição gama e será obtida quando para esta última ocorrer:
 
 ½
 r = n/2 n = inteiro e positivo
 A distribuição obtida terá como função densidade de probabilidade a seguinte expressão;
, z > 0
onde n = número de graus de liberdade.
A distribuição gráfica é dada por: 
 f(z) f(z) f(z)
�
 (a) z (b) z (c) z 
Características da Distribuição Qui-Quadrado
 E(z) = n
 V(z) = 2.n
6.6.7 Distribuição Lognormal
 É também usada em economia. Uma variável X, com valores positivos, tem uma distribuição lognormal com parâmetros 
 e 
, com: -
 < 
 < + 
; e 
> 0; se ln x apresentar distribuição normal com média 
 e variância 
.
 f(x) = 
, x > 0
 f(x) = 0 , x ≤ 0
 O gráfico de f(x) será dado por:
 f(x)
�
 x
Características da Distribuição Lognormal
E(x) = 
 se E(x) = m, então;
V(x) = 
6.6.8 Aproximação das Distribuições Normal e Binomial
 Suponha que a variável aleatória Y tenha uma distribuição binomial com parâmetros N=10 e p = ½ ; e se deseje calcular P(y ≥ 7).
 A figura 1 abaixo, mostra que P(y = 7) é igual à área do retângulo de base unitária e altura P(y = 7); similarmente isto ocorre para P(y = 8), etc.
� 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Figura 1
 
 Logo P(y ≥ 7) é igual à soma das áreas dos retângulos hachurados na figura 1 acima.
 A idéia de aproximar tal área pela área sob a curva normal, à direita do ponto 6,5; curva esta definida por: 
= N.p = 10 . (1/2) = 5
 
= N.p.q = 10. (1/2). (1/2) = 2,5
é mostrada na figura 2 abaixo: 
� 
 5 6 7 8 9 10
 Figura 2
 Denominando de X a tal variável com distribuição normal, tem-se: P(y ≥ 7) = P(x ≥ 6,5)
Cálculos: P(y ≥ 7) = 0,172 na tabela da distribuição binomial; enquanto que:
Z = 
P(x ≥ 6,5) = P(Z ≥ 0,94) = 0,1736
 Logo: P(y ≥ 7) = 0,172 ≈ 0,1736 = P(x ≥ 6,5).
 Isto é a distribuição normal pode ser aproximadamente correspondente à binomial e a justificativa formal desta aproximação é dada pelo Teorema do Limite Central.
 
.
 Para cada valor de 
 e/ou de 
 tem-se uma distribuição. Para se calcular as áreas específicas da distribuição normal, utiliza-se a distribuição normal reduzida ou padronizada, que é obtida fazendo-se uma mudança de variável dada por:
 
 , que terá média 
= 0 e desvio padrão 
 = 1. Esta distribuição é tabelada.
 É importante a constatação da normalidade da distribuição, visto que, a maioria dos controles estatísticos utiliza esta forma de distribuição. A verificação da normalidade passa pelos seguintes passos:
a) inicialmente se faz um histograma que permitirá a visão inicial da proximidade da distribuição normal ou não. Caso haja a suspeita da normalidade, a análise prossegue com o emprego de técnica mais sofisticada, em particular do uso do “papel de probabilidade normal” ou simplesmente do “papel normal”;
b) no gráfico abaixo tem-se uma “distribuição normal”, onde a probabilidade de se ter um ponto menor ou igual a x é dada pela área Px, compreendida abaixo da curva.
c) se existir um conjunto infinito de pontos regidos por uma distribuição normal, ao se calcular o valor de Px para cada ponto x e ao se plotar Px versus x, obtêm-se o gráfico abaixo:
d) o gráfico no papel normal é obtido ajustando a escala vertical de maneira a obter uma linha reta a partir da curva do gráfico anterior.
 A construção de um gráfico de probabilidade normal pode ser efetuada acompanhando os seguintes passos:
construir a distribuição de freqüências em intervalos de classes marcando seus pontos médios;
determinar a freqüência percentual de cada classe;
acumular as freqüências percentual de cada classe;
colocar os pontos médios dos intervalos no eixo horizontal do papel normal;
colocar as freqüências percentuais acumuladas de cada classe no eixo vertical do papel normal;
traçar uma curva (ou linha reta) que melhor represente os pontos plotados.
 Se o gráfico possuir alguma tendência, conforme indicado no gráfico abaixo:
estas tendências poderão ser associadas á perturbação existente na distribuição geradora, em relação à distribuição normal, conforme mostrado no gráfico seguinte:
 Considerando a distribuição de freqüências do exemplo anteriormente apresentado, tem-se: 
 O papel normal tem o seguinte aspecto:
 Um outro teste para verificar se a distribuição é normal, consiste no Teste de Aderência, cuja base é a distribuição de 
 Os valores de 
são obtidos através da fórmula: 
= 
onde: oi = valor observado
 ei = valor correspondente para se obter a condição normal
 Os valores calculados e tabelados de 
 irão definir a condição normal, se:
 
(calculado) < 
(tabelado), isto é, a hipótese será aceita com o risco dado por P.
 Na tabela de 
 serão obtidos os valores de 
 onde P = P (
 ≥ 
). A probabilidade associada ao risco pode ser também indicada por R ou por 
.
Exemplo: Considere os dados:
	Classes
	Centros
	Freqüências Absolutas - fi
	5 6
	5,5
	1
	6 7
	6,5
	3
	7 8
	7,5
	11
	8 9
	8,5
	12
	 9 10
	9,5
	18
	10 11
	10,5
	22
	11 12
	11,5
	18
	12 13
	12,5
	13
	13 14
	13,5
	11
	14 15
	14,5
	7
	15 16
	15,5
	4
	 16 17 
	16,5
	0
	Total
	-
	120
 O histograma dos dados seria:
 
 fi �
 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 
 A hipótese levantada é de que a distribuição de dados é normal. Isto é:
 H0 = X ≡ N ( 
; s)
 Os valores de 
 e s são obtidos por: 
	Classes
	Centros
(xi)
	Freqüências Absolutas fi
	Xi . fi
	(xi - 
)2.fi
	5 6
	5,5
	1
	5,5
	30,25
	6 7
	6,5
	3
	19,5
	60,75
	7 8
	7,5
	11
	82,5
	134,75
	8 9
	8,5
	12
	102,0
	75,00
	 9 10
	9,5
	18
	171,0
	40,50
	10 11
	10,5
	22
	231,0
	5,50
	11 12
	11,5
	18
	207,0
	4,50
	12 13
	12,5
	13
	162,5
	29,25
	13 14
	13,5
	11
	148,5
	68,75
	14 15
	14,5
	7
	101,5
	85,75
	15 16
	15,5
	4
	62,0
	81,00
	 16 17 
	16,5
	0
	0
	0
	Total
	-
	120
	1293,0
	616,00
 s = 
 Logo: H0 = X = N(11; 2,28)
 O cálculo da área debaixo da curva de cada classe, por exemplo, de x < 6 será dada por:
 P{ x < 6} = P{ z ≤ 
} = P{z ≤ 
 }= P{ z ≤ -2,19} = 0,5 – 0,48574 = 0,0143.
 Os demais valores a serem usados na técnica do 
serão obtidos na tabela abaixo:
	Classes
	Z
	P
	Ei = n.P
	oi
	
	5 6
	-2,19
	0,0143
	1,7
	
11,2
	
15
	
1,29
	6 7
	-1,75
	0,0258
	3,1
	
	
	
	7 8
	-1,32
	0,0533
	6,4
	
	
	
	8 9
	-0,88
	0,0960
	11,5
	11,5
	12
	0,0217
	 9 10
	-0,44
	0,1405
	17,0
	17,0
	18
	0,0588
	10 11
	0,00
	0,1700
	20,4
	20,4
	22
	0,1255
	11 12
	0,44
	0,1700
	20,4
	20,4
	18
	0,2824
	12 13
	0,88
	0,1405
	17,0
	17,0
	13
	0,9412
	13 14
	1,32
	0,0960
	11,5
	11,5
	11
	0,0217
	14 15
	1,75
	0,0533
	6,4
	
10,7
	
11
	
0,0084
	15 16
	2,19
	0,0258
	3,1
	
	
	
	 16 17 
	2,63
	0,0099
	1,2
	
	
	
	Total
	-
	
	-
	-
	
	2,7493
Obs: 
1) A freqüência esperada tem que ser sempre maior ou igual a 5 para se poder utilizar 
.
2) Os valores das linhas da coluna P são obtidos pela diferença do valor de P acumulado da linha, subtraído do correspondente valor de P da linha anterior.
3) n = 120
4) Devido à primeira observação, as três linhas dos extremos são agrupadas, gerando um número de classes igual a 8.
5) 
 = 2,7493
 Na tabela da distribuição de 
, o número de graus de liberdade será dado por:
 
onde: K = número de classes (K = 8)
 m = número de parâmetros estimados (m = 2; média e desvio padrão). Quando estes valores forem conhecidos para a distribuição, m = 0. O valor de m será sempre 0, 1 ou 2 (na distribuição Normal será 2, na de Poisson será 1). 
 Logo:
 
.
 Procura-se, então, na tabela da distribuição de
: 
; sendo 
 o valor do risco da afirmação. Na tabela é colocado o valor de P = (1 - 
). Assim, tem-se, por exemplo:
a) 
= 15,1 (risco 1%)
b) 
= 11,1 (risco 5%)
 Em ambas as situações a hipótese de normalidade deve ser aceita.
X = a
X = b
x
f(x)
(1, 1)
P(0 < z < zc)
P(0 ≤ z ≤ 1,73) = 0,4582
P(- 1,73 ≤ z ≤ 0) = 0,4582
P(0 ≤ z ≤ 1,73) = 0,4582
P(z ≥1,73) = 0,0418
P(0 ≤ z ≤ - 1,73) = 0,4582
P(z ≤ - 1,73) = 0,0418
P(0 ≤ z ≤ 0,47) = 0,1808
P(0,47 ≤ z ≤ 1,73) = 0,2774
P(0 ≤ z ≤ 1,73) = 0,4582
1/� EMBED Equation.3 ���
n = 1
n = 2
n > 2
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