Estatística - Cap. 5 - Variáveis AleatÃ

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA – EEL – USP
Disciplina: ESTATÍSTICA
PARTE II - PROBABILIDADES
CAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
5.1 Conceito de Variável Aleatória
5.1.1 Eventos Equivalentes
5.1.2 Tipos de Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas
5.2 Variável Aleatória Discreta
5.3 Função de Probabilidade
5.4 Distribuição de Probabilidade
5.5 Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta
5.5.1 Propriedades do Valor Esperado
5.6 Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Discreta
5.6.1 Propriedades da Variância
5.7 Função de Distribuição Acumulada
5.8 Alguns Modelos Probabilísticos para as Variáveis Aleatórias Discretas
5.8.1 Distribuição Uniforme
5.8.2 Distribuição de Bernoulli
5.8.3 Distribuição Binomial
5.8.4 Distribuição Geométrica
5.8.5 Distribuição de Pascal
5.8.6 Distribuição Hipergeométrica
5.8.7 Distribuição de Poisson
5.8.8 Distribuição Multinomial
5.8.9 Tabelas de Distribuições
 
5.1 Conceito de Variável Aleatória
 Este conceito surgiu da necessidade de se apresentar os resultados dos experimentos que são executados, através de valores numéricos, mesmo que estes sejam não numéricos.
 Passa-se a associar a cada elemento de um determinado espaço amostral, um valor numérico, isto é, estará sendo estabelecida uma “Função” para os elementos do espaço amostral do experimento, que irá associar a cada um deles um certo valor numérico. 
 Esta “Função” é denominada “Variável Aleatória” e é representada principalmente pelas últimas letras do alfabeto, em maiúsculo: X, Y, Z,... .
 As variáveis aleatórias são ditas Discretas, quando os seus valores são puntuais, e são ditas Contínuas, quando seus valores são faixas de valores numéricos.
 Com as variáveis aleatórias pode-se utilizar modelos probabilísticos para descrever os fenômenos aleatórios. Como modelos probabilísticos para variáveis discretas tem-se como mais importantes: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson.
Observações:
1ª) A terminologia acima é um tanto quanto infeliz, mas é universalmente aceita. É preciso ficar tão claro quanto possível que X é uma “Função”, que será denominada “Variável”.
2ª) Nem toda função imaginável pode ser considerada como uma variável aleatória.
3ª) Em algumas situações o resultado “s” do espaço amostral original do experimento pode já constituir a característica numérica desejada. Nestes casos, simplesmente será considerado: X(s) = s.
4ª) A cada resultado do espaço amostral corresponderá exatamente um valor de X(s).
 Diferentes resultados do espaço amostral podem conduzir a um mesmo valor de X(s).
5ª) O conjunto de todos os valores de X, indicado por Rx, é algumas vezes denominado “Contradomínio”. De certo modo pode-se considerar Rx como outro espaço amostral do experimento.
 O espaço amostral (original) S corresponde aos resultados (possivelmente não numéricos) do experimento, enquanto que Rx é o espaço amostral associado à variável aleatória X, representando a característica numérica que pode nos interessar.
 Se for X(s) = s, tem-se S = Rx.
 X 
 S = espaço amostral 
 Rx = valôres possíveis de X 
5.1.1 Eventos Equivalentes
 Sempre que se executa um experimento cujo espaço amostral seja um conjunto S de elementos, tem-se associado ao conjunto S um conjunto Rx.
 Dois eventos são chamados de equivalentes quando definidos da seguinte forma:
 A = {s ( S / X(s) ( B}
 S Rx
Observações:
1ª) Os eventos equivalentes são associados a espaços amostrais diferentes.
2ª) P(B) = P(A)
 No caso de A = {s ( A / X(s) ( B}
Exemplo: Considere a jogada de duas moedas. O espaço amostral original será dado por:
 S = { CC, CK, KC, KK}, sendo C = cara e K = coroa.
	s ( S
	X(s) ( Rx
	CC
	2
	CK
	1
	KC
	1
	KK
	0
 Suponha o evento B ( Rx, dado por B = {1};
tem-se o evento A ( S, tal que: A = {CK, KC}; então A e B são eventos equivalentes.
5.1.2 Tipos de Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas
 Dependendo dos valores assumidos pela variável aleatória X, ela poderá ser classificada como:
Discreta: quando os valores da variável são finitos ou infinitos numeráveis;
Contpínua: quando os valores da variável são representados por faixas de valores.
5.2 Variável Aleatória Discreta
 Seja X uma variável aleatória; se o número de valores possíveis de X (isto é, Rx, o contradomínio de S) for finito ou infinito numerável, a variável X será denominada de Variável Aleatória Discreta. Os valores de X (Discreta), poderão ser colocados em lista: x1, x2, x3, ..., xN.
No caso finito ( A lista acaba.
No caso infinito ( A lista continua indefinidamente.
Exemplo: No lançamento de duas moedas, a variável aleatória X, dada por número de ocorrências do resultado “cara” é discreta: ( = {CC, CK, KC, KK} C = cara K = coroa 
	S
	X(s) 
	CC
	2
	CK
	1
	KC
	1
	KK
	0
 X(s) = {0, 1, 2}
5.3 Função de Probabilidade
 Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto Rx, contradomínio de (, será formado no máximo por um número infinito numerável de valores x1, x2, x3, ..., xN. A cada valor xi pode-se associar um valor de P(xi) que é a probabilidade de xi; tem-se então uma função P(xi) que deverá satisfazer às seguintes condições:
P(xi) ( 0, para todo i
 
Esta função acima é denominada Função de Probabilidade.
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, tem-se:
 
	xi
	P(xi) 
	0
	¼
	1
	2/4
	2
	¼
	
	
1
5.4 Distribuição de Probabilidade
 A cada valor xi da variável aleatória X, pode-se associar um valor da função probabilidade P(xi).
 A coleção de pares [xi , P(xi)] será denominada Distribuição de Probabilidade de X.
 A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X, pode ser apresentada através de uma tabela ou de um gráfico.
Exemplo: Considere o experimento que consista no lançamento de dois dados honestos, e que X seja a variável aleatória que indique a soma dos pontos obtidos. Apresentar a distribuição de probabilidades do experimento.
Distribuição de Probabilidades ( [xi , P(xi)] 
xi = valores da variável aleatória
P(xi) = probabilidades dos valores da variável aleatória, ou valores da função probabilidade.
	Xi
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	P(Xi)
	1/36
	2/36
	3/36
	4/36
	5/36
	6/36
	5/36
	4/36
	3/36
	2/36
	1/36
 P(Xi)
 
 6/36 
 5/36
 4/36
 3/36
 2/36
 1/36
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (Xi) 
5.5 Valor esperado de uma variável aleatória discreta
 Dada uma variável aleatória discreta X assumindo os valores x1, x2, x3, ..., xN, chama-se de valor médio, média, esperança matemática ou valor esperado da variável, ao valor:
E(X) = 
 
5.5.1 Propriedades do valor esperado
1ª) Se Z = 2.X
 P(xi) = P(zi)
 E(Z) = 
 
 E(Z) = 
 E(Z) = 
2ª) Dada a variável aleatória discreta X e a respectiva função de probabilidade P(xi), chama-se de esperança matemática da função H(X) ao valor:
 E[H(X)] = 
 Se: H(X) = aX + b
 E(aX + b) = a.E(X) + b
5.6. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta
 A variância de uma variável aleatória discreta é dada por:O desvio padrão é dado por: DP(X) = + 
5.6.1 Propriedades da Variância
1ª) Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
 Var(X) = 
2ª) E(X2) = 
5.7 Função de Distribuição Acumulada
 Dada a variável aleatória X, define-se a função F como a Função de Distribuição Acumulada da variável aleatória como:
 F(X) = P(X ( x)
 F(X) = 
 para todo xj ( x
Exemplo: Suponha que a variável aleatória X tome os três valores 0, 1 e 2; com probabilidades 1/3, 1/6 e ½, respectivamente. A função de distribuição acumulada será dada por:
 F(X) = 0 se x( 0,
 = 1/3 se 0 ( x ( 1,
 = ½ se 1 ( x ( 2,
 = 1 se x ( 2
 A representação gráfica será dada por:
 F(X)
 
 1
 1/2
 1/3 
 
 0 1 2 3 X
5.8 Alguns modelos probabilísticos para as variáveis aleatórias discretas
5.8.1 Distribuição Uniforme
 A variável aleatória discreta X, assumindo os valores x1, x2, ..., xk, tem distribuição uniformemente distribuída, se e somente se:
 P(X = Xi) = P(xi) = 1/k
Características da Distribuição Uniforme:
 E(X) = 
 V(X) = 
 F(X) = 
 onde N(x) = é o número de xi ( x.
p(x) F(x)
 1,0- 
 -
 2/k- 
 1/k - * * * * 1/k -
 x1 x2 x3 ... xk x1 x2 x3 ... xk
 a) Função de probabilidade b) Função de distribuição acumulada
Exemplo: Seja X o número de pontos no lançamento de um dado. A distribuição de probabilidades será dada por:
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	P(X)
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
 
 Trata-se de uma distribuição uniforme pois: P(X = Xi) = P(xi) = 1/k = 1/6 k=6
E(X) = 
= 
[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6] = 
 = 3,5
V(X) = 
 = 
[(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) - 
 
V(X) = 
[91 - 
] = 
[91 - 
 = 2,9167
DP(X) = + 
 = 
= 1,7078
F(X) = 0 se x ( 1
 = 1/6 se 1 ( x ( 2
 = 2/6 se 2 ( x ( 3
 = 3/6 se 3 ( x ( 4
 = 4/6 se 4 ( x ( 5
 = 5/6 se 5 ( x ( 6
 = 6/6 se x ( 6
5.8.2 Distribuição de Bernoulli
 Esta distribuição se refere às situações nas quais apenas dois resultados são possíveis para a variável: “Sucesso” e “Fracasso”. 
 Utiliza-se freqüentemente uma codificação, dada por:
 1 ( se ocorre sucesso 0 ( se ocorre fracasso
 Quando a codificação não é possível de ser obtida diretamente, pelo fato da variável assumir valores a e b, pode-se fazer a seguinte transformação linear, que determine os códigos, e que é dada por:
 X = 
 quando Y = a ( X = 0
 quando Y = b ( X = 1
 Quando a distribuição de probabilidade desta variável for completamente descrita, pelo valor do parâmetro “p”, da seguinte forma:
 P(X = 1) = p
 P(X = 0) = 1 – p,
a variável é chamada de Variável Aleatória de Bernoulli e a sua distribuição recebe o nome de Distribuição de Bernoullii.
 A distribuição de Bernoulli é dada por:
	X
	0
	1
	Total
	P(X)
	1 - p
	P
	1
Características da Distribuição de Bernoulli
 E(X) = p
 V(X) = p – p2 = p . (1 – p) = p . q
 F(X) = 0 se x ( 0
 = 1 – p se 0 ( x (1
 = 1 se x ( 1
Exemplo: No lançamento de um dado verificar a ocorrência ou não do resultado 5.
x = 1 ( sucesso = ocorrência de 5
x = 0 ( fracasso = não ocorrência de 5
	X
	0
	1
	Total
	P(X)
	5/6
	1/6
	1
E(X) = 1/6
V(X) = (1/6) . (5/6) = 5/36
F(X) = 0, se x ( 0
 = 5/6 se 0 ( x (1
 = 1 se x ( 1
Observação: 
 Uma espécie importante de experimento de Bernoulli é aquele em que E indica alguma qualidade do objeto extraído ao acaso de uma “População” de objetos (quer o objeto tenha essa qualidade ou não). Outros exemplos de E e Não E são:
Cara e Coroa
Artigos defeituosos e não defeituosos
Votos pró e votos contra
Sucesso e Insucesso de uma missão
Chuva e ausência de chuva em certa data
Acerto e erro no tiro ao alvo
Vermelho e preto num giro da roda de uma roleta.
5.8.3 Distribuição Binomial
 A distribuição Binomial possui as seguintes particularidades:
N ensaios de Bernoulli são executados
Os ensaios são independentes
A probabilidade de sucesso em cada ensaio é constante e sempre igual a p.
A probabilidade de insucesso em cada ensaio é constante e sempre igual a 1 – p ou q.
A quantidade de interesse é o número de vezes, na sucessão de ensaios, em que ocorre sucesso. Não existe a preocupação com o posicionamento, dentro da sucessão de resultados, das ocorrências de sucesso.
 Uma variável aleatória X, definida segundo a situação indicada acima, e que corresponda ao número de sucessos ocorridos, terá Distribuição Binomial, indicada por b (N,p) e o experimento será chamado Experimento Binomial.
 A função de probabilidade da distribuição binomial será dada por:
 b (k: N,p) = p(x = k/N, p) = 
 k = 0, 1, 2, ..., N
 p(x = k) = 
 ou 
 p(x = k) = 
 ou 
 p(x = k) = 
 onde: N = número total de ensaios ou lances
 p = probabilidade de sucesso em um ensaio
 q = probabilidade de fracasso em um ensaio
 x = valor da variável aleatória binomial.
Características da Distribuição Binomial
 A Distribuição Binomial é tabelada, o que facilita a sua aplicação. Se X é uma variável aleatória com distribuição binomial, então X tem:
 E(X) = N.p
 V(X) = N.p.q 
 A distribuição binomial é tabelada para alguns valores específicos de N e de k.
Exemplo A: Suponha que peças saiam de uma linha de produção e sejam classificadas das seguintes maneiras:
 D = Defeituosas
 N = Não defeituosas
 Admita que três dessas peças da produção de um dia sejam escolhidas ao acaso e classificadas de acordo com o esquema citado. Suponha que seja 0,2 a probabilidade de uma peça ser defeituosa e 0,8 a probabilidade dela ser perfeita. Apresentar a distribuição de probabilidade deste experimento, considerando a variável aleatória “X”, que indica o número de peças defeituosas encontradas.
 
 = { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
 X(s) = número de peças defeituosas encontradas ( X(s) = {0, 1, 2, 3} 
 N=3 p = 0,2 q = 0,8
P(x = 0) = 
 = (0,8)3 = 0,512
P(x = 1) = 
 = 3. (0,2)1.(0,8)2 = 0,384
P(x = 2) = 
 = 3. (0,2)2.(0,8)3-2 = 0,0906
P(x = 3) = 
 = (0,2)3.(0,8)3-3 = 0,008
A distribuição de probabilidade de X será:
	X
	0
	1
	2
	3
	P(X)
	0,512
	0.384
	0,096
	0,008
Exemplo B: Lança-se um dado 3 vezes. Qual a distribuição de probabilidade da variável “X” que indica o número de ocorrências do valor “5”
 X(5) = número de ocorrências do valor “5” ( X(5) = {0, 1, 2, 3} 
 N=3 p = 1/6 q = 5/6
P(x = 0) = 
 = 0,5787
P(x = 1) = 
 = 0,3472
P(x = 2) = 
 = 0,0694
P(x = 3) = 
 = 0,0047
 A distribuição de probabilidade de X será: 
	X
	0
	1
	2
	3
	P(X)
	0,5787
	0,3472
	0,0694
	0,0047Exemplo C: Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. São extraídas duas bolas da urna, uma a uma, com reposição. Seja X a variável que indica o número de bolas brancas obtidas. Determine a distribuição de probabilidade de X.
 X = número de bolas brancas = 0, 1, 2
 p = probabilidade do sucesso em um lance = 
 q = probabilidade do insucesso em um lance = 
 
P(X = 0) = 
= 
P(X = 1) = 
 P( X = 2) = 
A distribuição de probabilidade de X será:
	X
	0
	1
	2
	P(X)
	9/64
	30/64
	25/64
5.8.4 Distribuição Geométrica
 Considere um experimento no qual o interesse seja somente a ocorrência ou a não ocorrência de algum evento A. O experimento será repetido N vezes, sendo as repetições independentes e em cada uma delas tem-se p(A) = p e p(
) = 1 – p = q, constantes.
 Suponha que o experimento será repetido até que ocorra A pela primeira vez. (Neste ponto ocorre o afastamento das hipóteses que conduziriam à distribuição Binomial; pois nela o número de repetições é pré-determinado, enquanto que aqui este número passa a ser uma variável aleatória).
 Define-se como Distribuição Geométrica aquela distribuição dada por uma variável aleatória “X” que indica o número de repetições necessárias para se obter pela primeira vezo resultado A, no número também sendo incluído esta última repetição.
 Assim, X pode assumir os valores 1, 2, .... . Como x = k será o resultado que acontecerá, se, e somente se, as (k – 1) primeiras repetições do experimento apresentarem o resultado 
; a k-ésima repetição apresentará o resultado A. Tem-se então:
 
, sendo K = 1, 2, ...
Características da Distribuição Geométrica
 E(X) = 1/p
 V(X) = 
Observações:
A verificação de que 
; é considerada como uma distribuição de probabilidade, pode ser feita da seguinte maneira:
 
 
Suponha que X tenha uma distribuição geométrica; então para dois quaisquer valores inteiros e positivos s e t:
 
 
5.8.5 Distribuição de Pascal
 Uma generalização óbvia da distribuição geométrica, surge se for proposta a seguinte questão: suponha que um experimento seja continuado até que um particular evento A ocorra r vezes.
 Considerando X como o número de repetições necessárias a fim de que A possa ocorrer exatamente r vezes; X = k, se, e somente se, A ocorrer na k-ézima repetição; e conseqüentemente A tenha ocorrido exatamente (r – 1) vezes nas (k -1) repetições anteriores. A função probabilidade deste evento será dada por:
 
�� EMBED Equation.3 
Portanto: 
 
 A distribuição de probabilidade dada pela função de probabilidade acima é chamada de Distribuição de Pascal.
Características da Distribuição de Pascal
 E(X) = r/p
 V(X) = r.q/p2
5.8.6 Distribuição Hipergeométrica
 Esta distribuição é definida para os casos em que são consideradas extrações casuais feitas SEM REPOSIÇÃO, de uma população dividida segundo dois atributos. Considere N objetos, sendo R dos quais com atributo A e (N –R) com atributo B. Um grupo de n elementos é escolhido ao acaso e sem reposição.
 A probabilidade de que este grupo escolhido contenha k elementos com o atributo A, será dada por:
 
 
 Os pares (k, p) constituem os parâmetros desta distribuição que é denominada Distribuição Hipergeométrica.
Características da Distribuição Hipergeométrica
 E(X) = n.p
 V(X) = n.p.(1-p). 
 onde: p = 
Observação: Em casos onde N é muito grande comparado com n, as extrações com ou sem reposição serão praticamente equivalentes e as probabilidades serão aproximadamente iguais:
 
isto é, as distribuições Binomial e Hipergeométrica são aproximadamente iguais.
Exemplo: Considere um lote 100 peças, das quais 10 são defeituosas. Escolhe-se aleatoriamente e sem reposição 5 peças para análise. Determine a probabilidade de não se obter peças defeituosas.
 N = 100 n = 5
 R = 10 k = 0 k = número de peças defeituosas
 
 = 
= 
= 
5.8.7 Distribuição de Poisson
 A distribuição binomial b(k: N, p), quando N é grande e p é pequeno, pode ser aproximada por:
 
 para k = 0, 1, 2, ...
onde 
, e portanto:
 
 Neste caso [ k, P(X = k)] será denominada Distribuição de Poisson.
 A distribuição de Poisson é muito empregada quando se deseja contar o número de ocorrências em um intervalo de tempo ou de superfície ou de volume, etc., e é comumente conhecida como a distribuição dos eventos raros.
 Costuma-se considerar como distribuição de Poisson quando ocorrer: Np ≤ 7.
Características da Distribuição de Poisson
 E(X) = Np
 E(X) = 
 V(X) = NP
 V(X) = 
 A distribuição de Poisson é tabelada para alguns valores específicos de N e de k.
Observação: b(k: N, p) 
�� EMBED Equation.3 
Exemplo Uma mesa telefônica (PABX) recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituem uma distribuição de Poisson, obter o valor da função probabilidade de que o PABX não receba chamadas durante o intervalo de um minuto.
 E(X) = 
= 5
 K = 0
 P(x = 0) = 
= 
 = 
= 0,0067
5.8.8 Distribuição Multinomial
 Considere um experimento cujo espaço amostral S esteja repartido em k eventos mutuamente excludentes A1, A2, A3, ... , Ak; isto é quando o experimento é realizado, um, e somente um, dos eventos Ai ocorrerá.
 Considere N repetições do experimento e seja pi = P(Ai) e suponha que pi permaneça constante durante todas as repetições. Evidentemente tem-se 
 Sejam as variáveis aleatórias X1, X2, ... , Xk definidas como segue:
 
 Xi = é o número de vezes que Ai ocorre nas N repetições do experimento, sendo i = 1, ..., k.
 Os eventos Ai não são dependentes.
 A função probabilidade desta variável será dada por:
 
 onde 
 Esta distribuição é denominada Distribuição Multinomial ou Polinomial e é considerada uma generalização da distribuição binomial.
Características da Distribuição Multinomial ou Polinomial
 E(Xi) = N.pi
 V(Xi) = N.pi.(1-pi) sendo: i= 1, 2, ..., k
5.8.9 Tabelas de Distribuições
 
 
 
 
 
 A
 s *
B
X(s)
_1333891280.unknown
_1374478371.unknown
_1374480683.unknown
_1374493834.unknown
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