Estatística - Cap. 6 - EXERCÍCIOS

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA – EEL – USP
ESTATÍSTICA
Capítulo 6: Variáveis Aleatórias Contínuas – EXERCÍCIOS
6.1 Dada a função: 
 f(x) = 2.e-2x , x ≥ 0
 f(x) = 0 , x < 0
mostre que ela é uma função densidade de probabilidade;
calcule o valor da função para que x > 10.
Resposta: b) e-20
6.2 Uma variável aleatória contínua X tem distribuição somente no intervalo (0, 1). Se sua função densidade de probabilidade for dada por:
 f(x) = 0 , x < 0
 f(x) = c . x , 0 ≤ x ≤ ½
 f(x) = c . (1 – x) , ½ < x ≤ 1
 f(x) = 0 , x > 1. 
 Calcular:
a) O valor de c b) P(x ≤ ½) c) P(x > ½) d) P(1/4 ≤ x ≤ ¾) 
Resposta: a) c = 4 b) ½ c) ½ d) ¾ 
6.3 Suponha que um atirador lança dardos em um alvo circular de raio igual a 10 cm; e seja x a distância entre o ponto atingido pelo dardo e o centro do alvo. A função densidade de probabilidade de X é:
 f(x) = k . x, se 0 ≤ x ≤ 10
 f(x) = 0 , nos demais valores de x.
Qual o valor da função densidade de probabilidade de acertar a “mosca”, se ela é um círculo de 1cm de raio?
Mostre que a função densidade de probabilidade de acertar quaisquer círculos concêntricos é proporcional à suas áreas.
Resposta: a) 1/100
6.4 Determine a esperança matemática e a variância da variável aleatória contínua indicada no exercício nº 6.2.
Resposta: E(x) = ½ V(x) = 1/24
6.5 Determine a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por:
 f(x) = sen x , 0 ≤ x ≤ 
/2
 f(x) = 0 , caso contrário.
Resposta: E(x) = 1 V(x) = 
 - 3 
6.6 A variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por:
 f(x) = 3.x2 , -1 ≤ x ≤ 0 
 f(x) = 0 , caso contrário.
Se b for um número que satisfaça a -1 < b < 0, calcule: P(x > b / x < 
);
Determine: E(x) e V(x).
Resposta: a) 
 b) E(x) = - ¾ V(x) = 3/80
6.7 A variável aleatória contínua X, tem para função densidade de probabilidade;
 f(x) = x/2 , 0 ≤ x ≤ 2;
 f(x) = 0 , caso contrário.
São feitas duas determinações independentes de x. Qual será o valor da função probabilidade de que essas determinações sejam maiores do que 1?
Se três determinações independentes de x forem feitas, qual será o valor da função probabilidade de que exatamente duas delas sejam maiores do que 1?
Resposta: a) 1/16 b) 27/64
6.8 Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: f(x) = a.x , 0 ≤ x ≤ 1
 f(x) = a , 1 < x ≤ 2
 f(x) = -a.x + 3.a , 2 < x ≤ 3
 f(x) = 0 , para quaisquer outros valores de x.
Determine o valor da constante a.
Se x1, x2 , x3 forem três observações independentes de x, qual será a o valor da função probabilidade de exatamente um desses três números ser maior do que 1,5?
Resposta: a) ½ b) 3/8
6.9 Suponha que a variável aleatória contínua X seja dada por:
 f(x) = 2x , 0 < x < 1
 f(x) = 0 , para quaisquer outros valores de x.
 Calcular: P[(x ≤ ½) / (1/3 ≤ x ≤ 2/3)]
Resposta: 5/12
6.10 Suponha que X seja uma variável aleatória contínua e uniformemente distribuída entre (- a; 3a). Determine a variância de X.
Resposta: 4.a2 /3
6.11 Se X é uma variável aleatória contínua e uniformemente distribuída no intervalo (0, 1), obter a esperança matemática da variável aleatória dada por: Y = 0,5 , x2.
Resposta: 1/6
6.12 Considere a variável aleatória contínua X: N(3, 4).
 Determine: a) P(x > 2) b) P(1 ≤ x ≤ 4)
Resposta: a) 0,69146 b) 0,53280
6.13 As notas de Estatística dos alunos de uma determinada Universidade distribuem-se de acordo com uma distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O Professor atribui graus A, B e C, da seguinte forma:
 
	Nota
	Grau
	x < 5,0
	C
	5,0 ≤ x < 7,5
	B
	7,5 ≤ x ≤ 10
	A
 Em uma classe de 80 alunos, qual é o número esperado de alunos com grau A? e B? e C?
Resposta: 7; 70; 3
6.14 O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma variável aleatória, com distribuição normal e com média 0,10cm e desvio padrão 0,02cm. Se o diâmetro do anel diferir da média de mais de 0,03cm; ele é vendido por $5,0; caso contrário ele é vendido por $10,0. Qual é o preço médio de venda do anel?
Resposta: E(v) = $9,332 
6.15 Suponha que um dispositivo eletrônico tenha uma duração de vida (em unidade de 1.000 horas) que é considerada como uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:
 f(x) = e-x , x > 0
 Suponha que o custo de fabricação de um desses dispositivos seja de $2,00. O fabricante vende a peça por $5,00; mas garante o reembolso total do valor pago se x ≤ 0,9. Qual será o lucro esperado por peça pelo fabricante?
Resposta: $0,03 
 
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