Lista2_GALA1_TMA3_2013_Santinho

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR SANTINHO 
LISTA DE EXERCÍCIOS -2 
RETAS E PLANOS 
 
EQUAÇÕES DE RETA 
1 ) Escreva as equações nas formas vetorial, paramétrica e 
simétrica das retas que contém os pares de pontos abaixo: 
a ) A(1,2,3) e B(2,4,2) 
b ) C(-2,-1,6) e D(0,1,0) 
c ) E(-1,-1,-1) e F(4,4,4) 
 
2 ) O ponto C(2,3,-6) pertence a qual das retas do ex. 1? 
 
3 ) Determine as equações da reta que passa pelo ponto 
(1,0,3) e é paralela a . 
 
4 ) Determine a equação paramétrica da reta que contém o 
ponto A(-1,1,0) e que é paralela à reta dada por: 
 
 
 
 
 
 
5 ) Determine a equação paramétrica da reta que contém o 
ponto A(2,3,1) e que é paralela à reta BC, sendo B(1,2,0) e 
C(4,1,2). 
 
6 ) Determine a equação paramétrica da reta que contém o 
ponto A(2,3,1) e que é paralela à reta cuja equação é dada 
por 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
7 ) Determine a equação paramétrica da reta que contém o 
ponto (-1,-2,1) e pelo ponto médio do segmento AB, sendo 
A(1,3,4) e B(3,7,0). 
 
8 ) São dados os pontos A(1,2,1), B(0,2,1) e C(-2,0,-3). De-
termine a equação simétrica da mediana relativa ao vértice A. 
 
9 ) Escreva as equações da reta AB, sendo A(1,2,1) e B(0,3,-
1). Determine os pontos da reta que distam de A. 
 
10 ) Determine o ponto C da reta AB, com A(1,2,1) e 
B(2,-1,-3), de modo que . 
 
11 ) Determine os pontos da reta (x,y,z) = (-1,2,-1) + t(1,0,1) 
que distam do ponto A(1,3,1). 
EQUAÇÕES DE PLANOS 
12 ) Um plano  é paralelo a , e 
contém o ponto A(1,5,2). Obtenha a equação vetorial e a pa-
ramétrica de  e verifique se o ponto B(2,3,7) pertence ao 
plano. 
 
13 ) Determine a equação paramétrica do plano  para cada 
caso abaixo: 
a )  contém A(0,3,-1) e B(1,2,1) e é paralelo ao vetor 
 . 
b )  contém A(0,3,-1), B(1,2,1) e C(3,-1,-1) 
 
14 ) Determine equações paramétricas do plano que contém 
o ponto A(2,1,0) e é paralelo ao 
 
 
 
 . 
 
15 ) Determine a equação geral dos planos  abaixo. 
a )  é paralelo aos vetores e contém 
o ponto (1,1,0). 
b ) Os pontos A(1,1,-1), B(2,1,-1) e C(2,2,3) pertencem a  
c ) Os pontos A(0,2,1) e B(1,-2,0) pertencem a , que é para-
lelo a CD, C(0,1,2) e D(3,1,0) 
d ) O ponto A(1,1,0) e a reta 
 
 
 
 
 
 pertencem a  
 
16 ) A equação geral do plano  é x - 3y + 4z - 2 = 0. Verifi-
que se - - e são paralelos a . 
 
17 ) Determine a equação geral do plano 
 
 
 
 
 
18 ) Determine as equações paramétricas do plano dado por 
x - 2y + 5z - 9 = 0 
 
19 ) Sejam os planos 1, que contém os pontos (1,2,1), (1,1,0) 
e (2,1,1); 2 = (0,1,0) + a(2,1,1) + b(1,1,1) e 3 que contém o 
ponto (0,0,1) e é paralelo a e . De-
termine suas equações gerais e mostre que sua intersecção é 
apenas um ponto. Determine as coordenadas desse ponto. 
INTERSECÇÃO E POSIÇÃO RELATIVA 
ENTRE RETAS E PLANOS 
20 ) Verifique se as retas r: (2,1,1) + t(1,-3,-2) e AB, sendo 
A(1,1,-1) e B(0,1,2) são concorrentes. Se forem, determine o 
ponto de intersecção. 
 
21 ) Verifique se os pares de retas abaixo são concorrentes. 
Se forem, determine o ponto de intersecção. 
a ) r: 
 
 
 
 e s: x - 3 = 2 - y = z + 7 
b ) r : 
 
 
 
 
 
 e s : 
 
 
 
 
 
 
c ) r : (0,1,1) + t(1,2,-1) e s : (-7,-9,2) + t(2,2,1) 
 
22 ) Determine a intersecção da reta r com o plano : 
a ) r : (1,-2,0) + t(0,2,1) e  : 2x + 3y - z = 6 
b ) r : (1,-2,0) + t(0,2,1) e  : (2,-1,3) + a(1,2,1) + b(1,-1,0) 
Adirlene
Sticky Note
1) Achar vetor diretor:nullu= A-B= (-1,3-4)nullx=1-tnully=2+3tnullz=1+4tnull----nullC(1-t, 2+3t, 1+4t)nullnull---nullnulldAC= sqrt((-t)^2+(3t)^2 + (4t)^2) = sqrt (26t^2)nullnull---nulldBC =null sqrt((1+t)^2+(3+3t)^2+(4+4t)^2)nullnull---nullnulldAC=2dBCnullnull----nullnullsqrt(26t^2) = 2sqrt(26(1+t)^2)nullt=2(1+t)nullt=-2nullnull----nullnullR(3,-4,-7)
Adirlene
Sticky Note
Vetorial = (x,y,z)=(1,5,2)+a.(-1,-2,1)+b.(1,0,2)nullnullParamétrica = {x=1-a+bnull {y=5-2anull {z=2+a+2bnullnullComo ver se o ponto B(2,3,7) pertence ao plano?? null-->Primeiro resolve-se o sistema com 2 equações, deixando uma de lado.null-->Verifica se a função da verdade substituindo na equação que foi deixado de lado.nullnull2=1-a+b (I)null3=5-2a (II)null7=2+a+2b(III)nullnull(I) 3=5-2anull a=1nullnull(II) 2=1-a+bnull b=2nullnull(III) 2+a+2b=7null null2+1+2.2=7(OK!)nullnullnullR: B E pinullnull
Adirlene
Sticky Note
v=B-A = (1,-1,2)nullnull{x=1-2a+bnull{y=2-a-bnull{z=1+3a+2bnull
Adirlene
Sticky Note
u=B-A= (1,-1,2)nullv= C-B = (2,-3,-2)nullnull{x=1+a+2bnull{y=2-a-3bnull{z=1+2a-2bnullnullVETOR DIRETOR PODE SER SIMPLIFICADOnullnull{x=1+a+2bnull{y=2-a-3bnull{z=1+2a-2b
Adirlene
Sticky Note
2x+y-2z-3=0
Adirlene
Sticky Note
4y-z-5=0
Adirlene
Sticky Note
8x-y+12z+10=0
c ) r : 
 
 
 
 
 
 e s : x + y - z = 10 
d ) r : (0,2,-1) + t(-1,0,4) e  : 4x + 2y + z = 3 
 
23 ) Determine a intersecção entre os planos : 
a )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x - y + 5z - 4 = 0 
b )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x - y + 2z - 4 = 0 
c )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x + 2y + 2z - 4 = 0 
d )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x + 2y + 2z - 3 = 0 
 
24 ) Estude a posição relativa entre as retas: 
a ) r : (1,1,3) + t(1,-1,-2) e s : (1,1,1) + t(2,1,3) 
b ) r: 
 
 
 
 e s: x - 3 = 2 - y = z + 7 
c ) r : (1,1,3) + t(1,-1,-2) e s : (3,-1,-1) + t(2,-2,-4) 
d ) r : (3,-1,-3) + t(2,-1,-2) e s : 
 
 
 
 
 
 
 
25 ) Estude a posição relativa entre a reta e o plano: 
a ) r : (1,1,3) + t(1,-1,-2) e  : 
 
 
 
 
b ) r : (2,0,1) + t(3,2,-1) e  : (1,-1,2) + a(-1,-2,3) + b(1,0,1) 
c ) r : (2,-1,1) + t(3,2,-1) e  : (1,-1,2) + a(-1,-2,3) + b(1,0,1) 
 
26 ) Estude a posição relativa entre os planos: 
a )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x + 2y + 2z - 4 = 0 
b )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x + 2y + 2z - 7 = 0 
c )  contém os pontos A(2,-2,1), B(1,1,1) e C(1,-1,2) e 
 : x - 2y - z - 1 = 0 
 
27 ) Verifique se as retas (2,1,-3) + t(1,-1,-2) e (0,-1,0) + t(1,-
3,2) são ortogonais. Em caso afirmativo, verifique a perpen-
dicularidade entre eles. 
 
28 ) Verifique se os pares de retas abaixo são ortogonais. 
Em caso afirmativo, verifique se são perpendiculares. 
a ) r: 
 
 
 
 e s: x + 4 = 3 - y = 2 - z 
b ) r : 
 
 
 
 
 
 e s : 
 
 
 
 
 
 
c ) r : 
 
 
 
 e s : (2,0,-16) + t(1,1,5) 
 
29 ) Determine as equações paramétricas da reta perpendicu-
lar à reta r : 
 
 
 
 
 
 e que contém o ponto (3,0,7). 
 
30 ) Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém P e 
é perpendicular a r, nos casos: 
a ) P(2,6,1) e r: (-3,0,0) + t(1,1,3) 
b ) P(1,0,1) e r contém A = (0,0,-1) e B = (1,0,0) 
 
31 ) Seja o ponto P(1,2,3) e a reta r : x + y + z + 2 = 0 = x - y + 
3z - 4. Determine a projeção ortogonal de P em r. 
 
32 ) Determine o vetor normal ao plano que contém os pontos 
(1,1,-1), (2,1,3) e (0,1,0). 
 
33 ) Determine a equação geral do plano que contém o ponto 
(1,1,2) e cujo vetor normal é (1,-2,-1). 
 
34 ) Determine a equação geral do plano que contém o ponto 
(1,1,2) e é paralelo ao plano de equação 2x - 3y + z - 3 = 0 
 
35 ) Determine a equação geral do plano que contém o ponto 
(1,1,2) e é paralelo ao plano de equação (2,0,0) + a(1,2,1) + 
b(1,-1,1). 
 
36) Obtenha as equações paramétricas da reta r, intersecção 
dos planos  : 2x - y + z - 3 = 0 e  : 3x - y + 2z - 5 = 0. 
 
37 ) Verifique se a reta r e o plano  são perpendiculares. 
a ) r : 
 
 
 
 e  : 
 
 
 
 
b ) r : 
 
 
 
 
 
 e  : (0,2,-2) + a(1,0,4) + b(-1,-2,0) 
 
38 ) Obtenha as equações paramétricas da reta r perpendicu-
lar ao plano (2,0,0) + a(1,2,1) + b(1,-1,2) e que passa pelo 
ponto (1,0,3). 
 
39 ) Escreva uma equação do plano que contém o ponto 
(1,0,1) e é perpendicular à reta x + 2y - 3z + 6 = 0. 
 
40 ) Determine o ponto simétrico de P(1,5,0) em relação à 
reta X = (2,2,1) + t(-1,2,1). 
 
41 ) Determine o ponto Q, projeção ortogonal de P(1,2,1) so-
bre o plano : x - 2y + z - 4 = 0. 
 
42 ) Verifique se os planos  : x + y + z - 2 = 0 e  : 3x - y - 2z 
- 5 = 0 são perpendiculares. 
DISTÂNCIA 
43 ) Calcule a distância entre os pares de pontos abaixo: 
a ) (1,1,1) e (2,-1,0) b ) (-2,1,3) e (3,-1,-1) 
 
44 ) Calcule a distância entre o ponto P(1,2,0) e a intersecção 
de  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x - y + 5z - 4 = 0. 
 
45 ) Calcule a distância do ponto (1,2,0) até a reta r : 
 
 
 
 
 
 
. 
 
46 ) Calcule a distância do ponto (1,1,2) e o plano 2x - y + z + 
1 = 0. 
 
47 ) Calcule a distância entre as retas r: 
 
 
 
 e s: x - 
3 = 2 - y = z + 7. 
 
48 ) Calcule a distância entre as retas r : (1,1,3) + t(1,-1,-2) e 
s : (1,1,1) + t(2,1,3). 
 
49 ) Determine a distância entre os planos: 
a )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x + 2y + 2z - 4 = 0 
b )  : x + y + z - 2 = 0 e  : 2x + 2y + 2z - 8 = 0 
c )  contém os pontos A(2,-2,1), B(1,1,1) e C(1,-1,2) e 
 : x - 2y - z - 1 = 0