gaalt0
706 pág.

gaalt0


DisciplinaGeometria Analítica15.084 materiais388.322 seguidores
Pré-visualização50 páginas
Ej sa\u2dco Xj = Sj e assim B = S e´ tal que AB = In e pelo Teorema 2.3 na
pa´gina 81 A e´ invert\u131´vel.
\u2022 Se R 6= In, enta\u2dco a matriz A na\u2dco e´ equivalente por linhas a` matriz identidade In. Enta\u2dco, pela
Proposic¸a\u2dco 1.5 na pa´gina 52 a matriz R tem uma linha nula. O que implica que cada um dos
sistemas AXj = Ej ou na\u2dco tem soluc¸a\u2dco u´nica ou na\u2dco tem soluc¸a\u2dco. Isto implica que a matriz
A na\u2dco tem inversa, pois as colunas da (u´nica) inversa seriam Xj , para j = 1, . . . n. \ufffd
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
2.1 A Inversa de uma Matriz 89
Observac¸a\u2dco. Da demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.7 obtemos na\u2dco somente uma forma de descobrir se
uma matriz A tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou
seja, escalonamos a matriz [A | In] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [R | S]. Se
R = In, enta\u2dco a matriz A e´ invert\u131´vel e a inversa A\u22121 = S. Caso contra´rio, a matriz A na\u2dco e´ invert\u131´vel.
Vejamos os exemplos seguintes.
Exemplo 2.5. Vamos encontrar, se existir, a inversa de
A =
\uf8ee
\uf8f0 1 1 12 1 4
2 3 5
\uf8f9
\uf8fb
1a. eliminac¸a\u2dco:
\u22122×1a. linha + 2a. linha \u2212\u2192 2a. linha
\u22122×1a. linha + 3a. linha \u2212\u2192 3a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 1 1 1 0 00 \u22121 2 \u22122 1 0
0 1 3 \u22122 0 1
\uf8f9
\uf8fb
2a. eliminac¸a\u2dco:
\u22121×2a. linha \u2212\u2192 2a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 1 1 1 0 00 1 \u22122 2 \u22121 0
0 1 3 \u22122 0 1
\uf8f9
\uf8fb
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
90 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
\u22121×2a. linha + 1a. linha \u2212\u2192 1a. linha
\u22121×2a. linha + 3a. linha \u2212\u2192 3a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 0 3 \u22121 1 00 1 \u22122 2 \u22121 0
0 0 5 \u22124 1 1
\uf8f9
\uf8fb
3a. eliminac¸a\u2dco:
1
5
×3a. linha \u2212\u2192 3a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 0 3 \u22121 1 00 1 \u22122 2 \u22121 0
0 0 1 \u22124
5
1
5
1
5
\uf8f9
\uf8fb
\u22123×3a. linha + 1a. linha \u2212\u2192 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha \u2212\u2192 2a. linha
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0 1 0 0
7
5
2
5
\u22123
5
0 1 0 2
5
\u22123
5
2
5
0 0 1 \u22124
5
1
5
1
5
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb
Assim, a matriz [A | I3] e´ equivalente por linhas a` matriz acima, que e´ da forma [I3 | S], portanto a
matriz A e´ invert\u131´vel e a sua inversa e´ a matriz S, ou seja,
A\u22121 =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
7
5
2
5
\u22123
5
2
5
\u22123
5
2
5
\u22124
5
1
5
1
5
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb .
Exemplo 2.6. Vamos determinar, se existir, a inversa da matriz
A =
\uf8ee
\uf8f0 1 2 31 1 2
0 1 1
\uf8f9
\uf8fb .
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
2.1 A Inversa de uma Matriz 91
Para isso devemos escalonar a matriz aumentada
[A | I3] =
\uf8ee
\uf8f0 1 2 3 1 0 01 1 2 0 1 0
0 1 1 0 0 1
\uf8f9
\uf8fb
1a. eliminac¸a\u2dco:
\u22121×1a. linha + 2a. linha \u2212\u2192 2a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 2 3 1 0 00 1 1 1 \u22121 0
0 1 1 0 0 1
\uf8f9
\uf8fb
2a. eliminac¸a\u2dco:
\u22121×2a. linha \u2212\u2192 2a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 2 3 1 0 00 1 1 1 \u22121 0
0 1 1 0 0 1
\uf8f9
\uf8fb
\u22122×2a. linha + 1a. linha \u2212\u2192 1a. linha
\u22121×2a. linha + 3a. linha \u2212\u2192 3a. linha
\uf8ee
\uf8f0 1 0 1 \u22121 2 00 1 1 1 \u22121 0
0 0 0 \u22121 1 1
\uf8f9
\uf8fb
Assim, a matriz [A | I3] e´ equivalente por linhas a` matriz acima, que e´ da forma [R | S], com R 6= I3.
Assim, a matriz A na\u2dco e´ equivalente por linhas a` matriz identidade e portanto na\u2dco e´ invert\u131´vel.
Se um sistema linear AX = B tem o nu´mero de equac¸o\u2dces igual ao nu´mero de inco´gnitas,
enta\u2dco o conhecimento da inversa da matriz do sistema A\u22121, reduz o problema de resolver o sistema
a simplesmente fazer um produto de matrizes, como esta´ enunciado no pro´ximo teorema.
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
92 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Teorema 2.8. Seja A uma matriz n× n.
(a) O sistema associado AX = B tem soluc¸a\u2dco u´nica se, e somente se, A e´ invert\u131´vel. Neste caso
a soluc¸a\u2dco e´ X = A\u22121B;
(b) O sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯ tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial se, e somente se, A e´ singular (na\u2dco
invert\u131´vel).
Demonstrac¸a\u2dco. (a) Se a matriz A e´ invert\u131´vel, enta\u2dco multiplicando AX = B por A\u22121 a` esquerda
em ambos os membros obtemos
A\u22121(AX) = A\u22121B
(A\u22121A)X = A\u22121B
InX = A
\u22121B
X = A\u22121B.
Aqui foram usadas as propriedades (h) e (i) do Teorema 1.1 na pa´gina 10. Portanto, X = A\u22121B
e´ a u´nica soluc¸a\u2dco do sistema AX = B. Por outro lado, se o sistema AX = B possui soluc¸a\u2dco
u´nica, enta\u2dco a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [A | B] e´ da forma
[R | S], em que R = In. Pois a matriz A e´ quadrada e caso R fosse diferente da identidade
possuiria uma linha de zeros (Proposic¸a\u2dco 1.5 na pa´gina 52) o que levaria a que o sistema
AX = B ou na\u2dco tivesse soluc¸a\u2dco ou tivesse infinitas soluc¸o\u2dces. Logo, a matriz A e´ equivalente
por linhas a` matriz identidade o que pelo Teorema 2.7 na pa´gina 87 implica que A e´ invert\u131´vel.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
2.1 A Inversa de uma Matriz 93
(b) Todo sistema homoge\u2c6neo possui pelo menos a soluc¸a\u2dco trivial. Pelo item anterior, esta sera´ a
u´nica soluc¸a\u2dco se, e somente se, A e´ invert\u131´vel. \ufffd
Vamos ver no pro´ximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz, enta\u2dco a produc¸a\u2dco
de uma indu´stria em va´rios per\u131´odos pode ser obtida apenas multiplicando-se a inversa por matrizes
colunas que contenham a arrecadac¸a\u2dco e as quantidades dos insumos utilizados em cada per\u131´odo.
Exemplo 2.7. Uma indu´stria produz tre\u2c6s produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa\u2dco utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00 e
R$ 5,00, respectivamente. Como vimos no Exemplo 1.6 na pa´gina 8, usando matrizes o esquema de
produc¸a\u2dco pode ser descrito da seguinte forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
\uf8ee
\uf8f0 1 1 12 1 4
2 3 5
\uf8f9
\uf8fb = A X =
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
AX =
\uf8ee
\uf8f0 x + y + z2x + y + 4z
2x + 3y + 5z
\uf8f9
\uf8fb gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a\u2dco
No Exemplo 2.5 na pa´gina 89 determinamos a inversa da matriz
A =
\uf8ee
\uf8f0 1 1 12 1 4
2 3 5
\uf8f9
\uf8fb
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
94 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
que e´
A\u22121 =
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
7
5
2
5
\u22123
5
2
5
\u22123
5
2
5
\u22124
5
1
5
1
5
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb = 1
5
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0 7 2 \u221232 \u22123 2
\u22124 1 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb .
Sabendo-se a inversa da matriz A podemos saber a produc¸a\u2dco da indu´stria sempre que soubermos
quanto foi gasto do insumo A, do insumo B e a arrecadac¸a\u2dco.
(a) Se em um per\u131´odo com a venda de toda a produc¸a\u2dco de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A
e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500, 00, enta\u2dco para determinar quantos kg de cada
um dos produtos X, Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos A\u22121 pela matriz
B =
\uf8ee
\uf8f0 10002000
2500
\uf8f9
\uf8fb gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a\u2dco
ou seja,
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb=X =A\u22121B = 1
5
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0 7 2 \u221232 \u22123 2
\u22124 1 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 10002000
2500
\uf8f9
\uf8fb=
\uf8ee
\uf8f0 700200
100
\uf8f9
\uf8fb
Portanto, foram produzidos 700 kg do produto X, 200 kg de Y e 100 kg de Z.
(b) Se em outro per\u131´odo com a venda de toda a produc¸a\u2dco de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de
A e 2, 1 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900, 00, enta\u2dco para determinar quantos kg de
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
2.1 A Inversa de uma Matriz 95
cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos A\u22121 pela matriz
B =
\uf8ee
\uf8f0 10002100
2900
\uf8f9
\uf8fb gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a\u2dco
ou seja,
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb=X =A\u22121B = 1
5
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0 7 2 \u221232 \u22123 2
\u22124 1 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 10002100
2900
\uf8f9
\uf8fb=
\uf8ee
\uf8f0 500300
200
\uf8f9
\uf8fb
Portanto, foram produzidos 500 kg do produto X, 300 kg de Y e 200 kg de Z.
Vamos mostrar a rec\u131´proca do item (b) do Teorema 2.2 na pa´gina 79. Este resultado sera´ u´til
na demonstrac¸a\u2dco