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2007
3.2 Produtos de Vetores 187
Quando os vetores sa\u2dco dados em termos das suas componentes na\u2dco sabemos diretamente o
a\u2c6ngulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que na\u2dco necessite
do a\u2c6ngulo entre os vetores.
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
188 Vetores no Plano e no Espac¸o
W
V V \u2212W
W
V V \u2212W
\u3b8
\u3b8
Figura 3.19: Tria\u2c6ngulo formado por representantes de V , W e V \u2212W . `A esquerda o a\u2c6ngulo entre V
e W e´ agudo e a` direita e´ obtuso.
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3.2 Produtos de Vetores 189
Se V e W sa\u2dco dois vetores na\u2dco nulos e \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo entre eles, enta\u2dco pela lei dos cossenos,
||V \u2212W ||2 = ||V ||2 + ||W ||2 \u2212 2||V || ||W || cos \u3b8.
Assim,
V ·W = ||V || ||W || cos \u3b8 = 1
2
(||V ||2 + ||W ||2 \u2212 ||V \u2212W ||2) . (3.6)
Ja´ temos enta\u2dco uma fo´rmula para calcular o produto escalar que na\u2dco depende diretamente do a\u2c6ngulo
entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores em (3.6) obtemos uma expressa\u2dco mais sim-
ples para o ca´lculo do produto interno.
Por exemplo, se V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3) sa\u2dco vetores no espac¸o, enta\u2dco substituindo-
se ||V ||2 = v21 +v22 +v23 , ||W ||2 = w21 +w22 +w23 e ||V \u2212W ||2 = (v1\u2212w1)2 +(v2\u2212w2)2 +(v3\u2212w3)2
em (3.6) os termos v2i e w2i sa\u2dco cancelados e obtemos
V ·W = v1w1 + v2w2 + v3w3.
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190 Vetores no Plano e no Espac¸o
Teorema 3.2. O produto escalar ou interno, V ·W , entre dois vetores e´ dado por
V ·W = v1w1 + v2w2,
se V = (v1, v2) e W = (w1, w2) sa\u2dco vetores no plano e por
V ·W = v1w1 + v2w2 + v3w3,
se V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3) sa\u2dco vetores no espac¸o.
Exemplo 3.8. Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). O produto escalar de V por W e´ dado por
V ·W = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 0 · 2 + 1 · 2 + 0 · 3 = 2 .
Podemos usar o Teorema 3.2 para determinar o a\u2c6ngulo entre dois vetores na\u2dco nulos, V e W . O
cosseno do a\u2c6ngulo entre V e W e´, enta\u2dco, dado por
cos \u3b8 =
V ·W
||V || ||W || .
Se V e W sa\u2dco vetores na\u2dco nulos e \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo entre eles, enta\u2dco
(a) \u3b8 e´ agudo (0 \u2264 \u3b8 < 90o) se, e somente se, V ·W > 0,
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3.2 Produtos de Vetores 191
(b) \u3b8 e´ reto (\u3b8 = 90o) se, e somente se, V ·W = 0 e
(c) \u3b8 e´ obtuso (90o < \u3b8 \u2264 180o) se, e somente se, V ·W < 0.
Exemplo 3.9. Vamos determinar o a\u2c6ngulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Sejam V1 = (1, 0, 0), V2 = (0, 1, 0) e V3 = (0, 0, 1) (Figura 3.20). Uma diagonal do cubo e´ represen-
tada pelo vetor D dado por
D = V1 + V2 + V3 = (1, 1, 1) .
Enta\u2dco o a\u2c6ngulo entre D e V1 satisfaz
cos \u3b8 =
D · V1
||D||||V1|| =
1.1 + 0.1 + 0.1
(
\u221a
12 + 12 + 12)(
\u221a
12 + 02 + 02)
=
1\u221a
3
ou seja,
\u3b8 = arccos(
1\u221a
3
) \u2248 54o .
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192 Vetores no Plano e no Espac¸o
y
 
z
 
 
x
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
\u3b8
Figura 3.20: \u2c6Angulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas
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3.2 Produtos de Vetores 193
Teorema 3.3. Sejam U, V e W vetores e \u3b1 um escalar. Sa\u2dco va´lidas as seguintes propriedades:
(a) (comutatividade) U · V = V · U ;
(b) (distributividade) U · (V + W ) = U · V + U ·W ;
(c) (associatividade) \u3b1(U · V ) = (\u3b1U) · V = U · (\u3b1V );
(d) V · V = ||V ||2 \u2265 0, para todo V e V · V = 0 se, e somente se, V = 0¯.
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3).
(a) U · V = u1v1 + u2v2 + u3v3 = v1u1 + v2u2 + v3u3 = V · U ;
(b) U ·(V +W ) = (u1, u2, u3)·(v1+w1, v2+w2, v3+w3) = u1(v1+w1)+u2(v2+w2)+u3(v3+w3) =
(u1v1+u1w1)+(u2v2+u2w2)+(u3v3+u3w3) = (u1v1+u2v2+u3v3)+(u1w1+u2w2+u3w3) =
U · V + U ·W ;
(c) \u3b1(U · V ) = \u3b1(u1v1 + u2v2 + u3v3) = (\u3b1u1)v1 + (\u3b1u2)v2 + (\u3b1u3)v3 = (\u3b1U) · V ;
(d) V · V = ||V ||2 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se,
e somente se, todas as parcelas sa\u2dco iguais a zero. \ufffd
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194 Vetores no Plano e no Espac¸o
3.2.2 Projec¸a\u2dco Ortogonal
Dados dois vetores V e W a projec¸a\u2dco ortogonal de V sobre W denotada por
projW V
e´ o vetor que e´ paralelo a W tal que V \u2212 projW V seja ortogonal a W (Figura 3.21).
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3.2 Produtos de Vetores 195
 
W
V
W
V
V
\u2212
p
ro
j W
V
V
\u2212
p
ro
j W
V
projW VprojW V
Figura 3.21: Projec¸a\u2dco ortogonal do vetor V sobre o vetor W
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196 Vetores no Plano e no Espac¸o
Proposic¸a\u2dco 3.4. Seja W um vetor na\u2dco nulo. Enta\u2dco, a projec¸a\u2dco ortogonal de um vetor V em W e´
dada por
projW V =
(
V ·W
||W ||2
)
W .
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam V1 = projW V e V2 = V \u2212 projW V . Como V1 e´ paralelo a W , enta\u2dco
V1 = \u3b1W. (3.7)
Assim,
V2 = V \u2212 \u3b1W .
Multiplicando-se escalarmente V2 por W e usando o Teorema 3.3 (d) obtemos
V2 ·W = (V \u2212 \u3b1W ) ·W = V ·W \u2212 \u3b1||W ||2. (3.8)
Mas, V2 e´ ortogonal a W , enta\u2dco V2 ·W = 0. Portanto, de (3.8) obtemos
\u3b1 =
V ·W
||W ||2 .
Substituindo este valor de \u3b1 na equac¸a\u2dco (3.7) segue-se o resultado. \ufffd
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3.2 Produtos de Vetores 197
Exemplo 3.10. Sejam V = (2,\u22121, 3) e W = (4,\u22121, 2). Vamos encontrar dois vetores V1 e V2 tais
que V = V1 + V2, V1 e´ paralelo a W e V2 e´ perpendicular a W (Figura 3.21). Temos que
V ·W = 2 · 4 + (\u22121)(\u22121) + 3 · 2 = 15
||W ||2 = 42 + (\u22121)2 + 22 = 21 .
V1 = projW V =
(
V ·W )
||W ||2
)
W =
(
15
21
)
(4,\u22121, 2) = (20
7
,\u22125
7
,
10
7
)
V2 = V \u2212 V1 = (2,\u22121, 3)\u2212 (20
7
,\u22125
7
,
10
7
) = (\u22126
7
,\u22122
7
,
11
7
) .
3.2.3 Produto Vetorial
Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um vetor. Por isso, ele e´
chamado produto vetorial. Este produto tem aplicac¸a\u2dco, por exemplo, em F\u131´sica: a forc¸a exercida
sobre uma part\u131´cula com carga unita´ria mergulhada num campo magne´tico uniforme e´ o produto
vetorial do vetor velocidade da part\u131´cula pelo vetor campo magne´tico.
Definic¸a\u2dco 3.2. Sejam V e W dois vetores no espac¸o. Definimos o produto vetorial, V ×W , como
sendo o vetor com as seguintes caracter\u131´sticas:
(a) Tem comprimento dado numericamente por
||V ×W || = ||V || ||W || sen \u3b8,
ou seja, a norma de V ×W e´ numericamente igual a` a´rea do paralelogramo determinado por
V e W .
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198 Vetores no Plano e no Espac¸o
||V ||
||W
||
W
V
h
=
||W
||
se
n
\u3b8
\u3b8
Figura 3.22: ´Area de um paralelogramo
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3.2 Produtos de Vetores 199
(b) Tem direc¸a\u2dco perpendicular a V e a W .
(c) Tem o sentido dado pela regra da ma\u2dco direita (Figura 3.23): Se o a\u2c6ngulo entre V e W e´ \u3b8,
giramos o vetor V de um a\u2c6ngulo \u3b8 ate´ que coincida com W e acompanhamos este movimento
com os dedos da ma\u2dco direita, enta\u2dco o polegar vai apontar no sentido de V ×W .
Da forma como definimos o produto vetorial e´ dif\u131´cil o seu ca´lculo, mas as propriedades que
apresentaremos a seguir possibilitara\u2dco obter uma fo´rmula para o produto vetorial em termos das
componentes dos vetores.
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200 Vetores no Plano e no Espac¸o
Figura 3.23: Regra da ma\u2dco direita
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3.2 Produtos de Vetores 201
Teorema 3.5. Sejam U, V e W vetores no espac¸o e \u3b1 um escalar. Sa\u2dco va´lidas as seguintes proprie-
dades:
(a) V ×W = \u2212(W × V ) (anti-comutatividade).
(b) V ×W = 0¯ se, e somente se, V = \u3b1W ou W = \u3b1V .
(c) (V ×W ) · V = (V ×W ) ·W = 0.
(d) \u3b1(V ×W ) = (\u3b1V )×W = V × (\u3b1W ).
(e) V × (W + U) = V ×W + V × U e (V + W )× U = V × U + W × U (Distributividade em
relac¸a\u2dco a soma de vetores).