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DisciplinaGeometria Analítica15.269 materiais389.692 seguidores
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que se V e´ ortogonal a W1 e W2, enta\u2dco V e´ ortogonal a \u3b11W1 + \u3b12W2.
3.2.26. Demonstre que as diagonais de um losango sa\u2dco perpendiculares. (Sugesta\u2dco: mostre que
\u2212\u2192
AC ·
\u2212\u2192
BD= 0, usando o fato de que
\u2212\u2192
AB=
\u2212\u2192
DC e ||
\u2212\u2192
AB || = ||
\u2212\u2192
BC ||.)
3.2.27. Sejam V um vetor na\u2dco nulo no espac¸o e \u3b1, \u3b2 e \u3b3 os a\u2c6ngulos que V forma com os vetores~i,~j
e ~k, respectivamente. Demonstre que
cos2 \u3b1 + cos2 \u3b2 + cos2 \u3b3 = 1 .
(Sugesta\u2dco: cos \u3b1 = V ·~i||V ||||~i|| , cos \u3b2 =
V ·~j
||V ||||~j|| e cos \u3b3 =
V ·~k
||V ||||~k|| )
3.2.28. Demonstre que, se V e W sa\u2dco vetores quaisquer, enta\u2dco:
(a) V ·W = 1
4
(||V + W ||2 \u2212 ||V \u2212W ||2);
(b) ||V ||2 + ||W ||2 = 1
2
(||V + W ||2 + ||V \u2212W ||2).
(Sugesta\u2dco: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que
||V + W ||2 = (V + W ) · (V + W ) e ||V \u2212W ||2 = (V \u2212W ) · (V \u2212W ))
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3.2 Produtos de Vetores 223
3.2.29. Demonstre que se V e W sa\u2dco vetores quaisquer, enta\u2dco:
(a) |V ·W | \u2264 ||V || ||W ||;
(b) ||V + W || \u2264 ||V ||+ ||W ||;
(Sugesta\u2dco: mostre que ||V + W ||2 = (V + W ) · (V + W ) \u2264 (||V ||+ ||W ||)2, usando o
item anterior)
(c)
\u2223\u2223\u2223 ||V || \u2212 ||W || \u2223\u2223\u2223 \u2264 ||V \u2212W ||.
(Sugesta\u2dco: defina U = V \u2212W e aplique o item anterior a U e W )
3.2.30. O produto vetorial e´ associativo? Justifique a sua resposta. (Sugesta\u2dco: experimente com os
vetores~i, ~j, ~k)
3.2.31. Se V ×W = V × U e V 6= 0¯, enta\u2dco W = U?
3.2.32. Demonstre que se V e W sa\u2dco vetores quaisquer no espac¸o, enta\u2dco
||V ×W || \u2264 ||V || ||W ||.
3.2.33. Se U , V e W sa\u2dco vetores no espac¸o, prove que |U · (V ×W )| \u2264 ||U || ||V || ||W ||. (Sugesta\u2dco:
use o Teorema 3.2 na pa´gina 190 e o exerc\u131´cio anterior)
3.2.34. Mostre que U · (V ×W ) = V · (W × U) = W · (U × V ). (Sugesta\u2dco: use as propriedades do
determinante)
3.2.35. Mostre que
(a) (\u3b1U1 + \u3b2U2) · (V ×W ) = \u3b1U1 · (V ×W ) + \u3b2U2 · (V ×W );
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224 Vetores no Plano e no Espac¸o
(b) U · [(\u3b1V1 + \u3b2V2)×W ] = \u3b1U · (V1 ×W ) + \u3b2U · (V2 ×W );
(c) U · [V × (\u3b1W1 + \u3b2W2)] = \u3b1U · (V ×W1) + \u3b2U · (V ×W2).
(d) U · (V ×W ) = U · [(V + \u3b1U + \u3b2W )×W ].
(Sugesta\u2dco: use as propriedades dos produtos escalar e vetorial)
3.2.36. Prove a identidade de Lagrange
||V ×W ||2 = ||V ||2||W ||2 \u2212 (V ·W )2.
3.2.37. Mostre que a a´rea do tria\u2c6ngulo com ve´rtices (xi, yi), para i = 1, 2, 3 e´ igual a | det(A)|/2, em
que
A =
\uf8ee
\uf8f0 x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
\uf8f9
\uf8fb .
(Sugesta\u2dco: Marque os pontos P1 = (x1, y1, 1), P2 = (x2, y2, 1), P3 = (x3, y3, 1) e
P \u20321 = (x1, y1, 0). O volume do paralelep\u131´pedo determinado por P1, P2, P3 e P \u20321 e´ dado por
|
\u2212\u2192
P1P
\u2032
1 ·
\u2212\u2192
P1P2 ×
\u2212\u2192
P1P3 |. Mas, a altura deste paralelep\u131´pedo e´ igual a 1. Assim, o seu
volume e´ igual a` a´rea da base que e´ o paralelogramo determinado por P1, P2 e P3. Observe
que
\u2212\u2192
OP \u20321,
\u2212\u2192
P1P2 e
\u2212\u2192
P1P3 sa\u2dco paralelos ao plano xy.)
3.2.38. Sejam U1, U2 e U3 tre\u2c6s vetores unita´rios mutuamente ortogonais. Se A = [ U1 U2 U3 ] e´
uma matriz 3 × 3 cujas colunas sa\u2dco os vetores U1, U2 e U3, enta\u2dco A e´ invert\u131´vel e A\u22121 = At.
(Sugesta\u2dco: mostre que AtA = I3.)
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3.2 Produtos de Vetores 225
3.2.39. Sejam U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3). Prove a fo´rmula seguinte para o
produto vetorial duplo
U × (V ×W ) = (U ·W )V \u2212 (U · V )W,
seguindo os seguintes passos:
(a) Prove que
U × (~i×~j) = (U ·~j)~i\u2212 (U ·~i)~j
U × (~j × ~k) = (U · ~k)~j \u2212 (U ·~j)~k
U × (~k ×~i) = (U ·~i)~k \u2212 (U · ~k)~i
(b) Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial que
U × (V ×~i) = (U ·~i)V \u2212 (U · V )~i
U × (V ×~j) = (U ·~j)V \u2212 (U · V )~j
U × (V × ~k) = (U · ~k)V \u2212 (U · V )~k
(c) Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial.
3.2.40. (a) Prove que
[A× (B × C)] + [B × (C × A)] + [C × (A×B)] = 0
(Sugesta\u2dco: use o exerc\u131´cio anterior).
(b) Mostre que se (A× C)×B = 0¯, enta\u2dco
A× (B × C) = (A×B)× C,
ou seja, o produto vetorial e´, neste caso, associativo.
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226 Vetores no Plano e no Espac¸o
Ape\u2c6ndice III: Demonstrac¸a\u2dco do item (e) do Teorema 3.5 na pa´gina 201
Vamos dividir a demonstrac¸a\u2dco da distributividade do produto vetorial em relac¸a\u2dco a soma
V × (W + U) = V ×W + V × U e (V + W )× U = V × U + W × U
da seguinte forma:
(a) (V × W ) · U > 0 se, e somente se, V , W e U satisfazem a regra da ma\u2dco direita, isto e´,
se o a\u2c6ngulo entre V e W e´ \u3b8, giramos o vetor V de um a\u2c6ngulo \u3b8 ate´ que coincida com W e
acompanhamos este movimento com os dedos da ma\u2dco direita, enta\u2dco o polegar vai apontar no
sentido de U .
(b) (V ×W ) · U = V · (W × U), ou seja, pode-se trocar os sinais × e · em (V ×W ) · U .
(c) V × (W + U) = V ×W + V × U e (V + W )× U = V × U + W × U .
Provemos, agora, os tre\u2c6s itens acima.
(a) Como vemos na Figura 3.27 na pa´gina 211 V,W e U satisfazem a regra da ma\u2dco direita se, e
somente se, 0 < \u3b8 < pi/2, ou seja, cos \u3b8 > 0, em que \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo entre V ×W e U . Como,
(V ×W ) · U = ||V ×W ||||U || cos \u3b8, enta\u2dco V,W e U satisfazem a regra da ma\u2dco direita se, e
somente se, (V ×W ) · U > 0.
(b) Como o produto escalar e´ comutativo, pelo Teorema 3.8 na pa´gina 210,
|(V ×W ) · U | = |V · (W × U)|.
Agora, pelo item (a), temos que
(V ×W ) · U e V · (W × U)
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3.2 Produtos de Vetores 227
te\u2c6m o mesmo sinal, pois V,W e U satisfazem a regra da ma\u2dco direita se, e somente se, W,U e
V tambe´m satisfazem.
(c) Vamos provar a primeira igualdade e deixamos como exerc\u131´cio para o leitor a demonstrac¸a\u2dco da
segunda. Vamos mostrar que o vetor Y = V × (W + U) \u2212 V ×W \u2212 V × U e´ o vetor nulo.
Para isso, vamos mostrar que para qualquer vetor X no espac¸o X · Y = 0.
Pela distributividade do produto escalar, Teorema 3.3 item (b) na pa´gina 193, temos que
X · Y = X · V × (W + U)\u2212X · (V ×W )\u2212X · (V × U).
Pelo item (b), temos que
X · Y = (X × V ) · (W + U)\u2212 (X × V ) ·W \u2212 (X × V ) · U
= (X × V ) · (W + U)\u2212 (X × V ) · (W + U) = 0
Assim, X ·Y = 0, para todo vetor X , em particular para X = Y , temos que Y ·Y = ||Y ||2 = 0.
Portanto Y = 0¯, ou seja, V × (W + U) = V ×W + V × U .
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228 Vetores no Plano e no Espac¸o
Teste do Cap\u131´tulo
1. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) sa\u2dco ve´rtices de
um paralelogramo. Calcule a sua a´rea.
2. Dado o tria\u2c6ngulo de ve´rtices A = (0, 1,\u22121), B = (\u22122, 0, 1) e C = (1,\u22122, 0), determine a
medida da altura relativa ao lado BC.
3. Sejam U e V vetores no espac¸o, com V 6= 0¯.
(a) Determine o nu´mero \u3b1, tal que U \u2212 \u3b1V seja ortogonal a V .
(b) Mostre que (U + V )× (U \u2212 V ) = 2V × U .
4. Determine x para que A = (x, 1, 2), B = (2,\u22122,\u22123), C = (5,\u22121, 1) e D = (3,\u22122,\u22122)
sejam coplanares.
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Cap\u131´tulo 4
Retas e Planos
4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos
4.1.1 Equac¸o\u2dces do Plano
Equac¸a\u2dco Geral
No plano a equac¸a\u2dco geral de uma reta e´ ax + by + c = 0. No espac¸o um plano e´ o conjunto dos
pontos P = (x, y, z) que satisfazem a equac¸a\u2dco
ax + by + cz + d = 0, para a, b, c \u2208 R,
que e´ chamada equac¸a\u2dco geral do plano. Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano
no espac¸o. No plano, a equac¸a\u2dco de uma reta e´ determinada se forem dados sua inclinac¸a\u2dco e um de
229
230 Retas e Planos
seus pontos. No espac¸o, a inclinac¸a\u2dco de um plano e´ caracterizada por um vetor perpendicular a ele,
chamado vetor normal ao plano e a equac¸a\u2dco de um plano e´ determinada se sa\u2dco dados um vetor
normal e um de seus pontos.
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4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos 231
N = (a, b, c)
P0 = (x0, y0, z0)
P = (x, y, z)pi