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e \u2019Sistemas Lineares\u2019.
As sec¸o\u2dces \u2019Subespac¸os\u2019 e \u2019Base e Dimensa\u2dco\u2019 tornaram-se uma so´. A sec¸a\u2dco \u2019Mudanc¸a de
Coordenadas\u2019 passou do Cap\u131´tulo 6 para o Cap\u131´tulo 5.
Julho 2000 Criado a partir do texto \u2019Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear\u2019 para ser usado numa
disciplina de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear.
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
xii Prefa´cio
Sugesta\u2dco de Cronograma
Cap\u131´tulo 1 8 aulas
Cap\u131´tulo 2 8 aulas
Cap\u131´tulo 3 8 aulas
Cap\u131´tulo 4 8 aulas
Cap\u131´tulo 5 16 (12) aulas
Cap\u131´tulo 6 12 aulas
Total 60 (56) aulas
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
Cap\u131´tulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Uma matriz A, m×n (m por n), e´ uma tabela de mn nu´meros dispostos em m linhas e n colunas
A =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
. . . .
.
.
.
am1 am2 . . . amn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
A i-e´sima linha de A e´ [
ai1 ai2 . . . ain
]
,
1
2 Matrizes e Sistemas Lineares
para i = 1, . . . ,m e a j-e´sima coluna de A e´\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a1j
a2j
.
.
.
amj
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
para j = 1, . . . , n. Usamos tambe´m a notac¸a\u2dco A = (aij)m×n. Dizemos que aij ou [A]ij e´ o elemento
ou a entrada de posic¸a\u2dco i, j da matriz A.
Se m = n, dizemos que A e´ uma matriz quadrada de ordem n e os elementos a11, a22, . . . , ann
formam a diagonal (principal) de A.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
1 2
3 4
]
, B =
[ \u22122 1
0 3
]
, C =
[
1 3 0
2 4 \u22122
]
,
D =
[
1 3 \u22122 ] , E =
\uf8ee
\uf8f0 14
\u22123
\uf8f9
\uf8fb e F = [ 3 ] .
As matrizes A e B sa\u2dco 2 × 2. A matriz C e´ 2 × 3, D e´ 1 × 3, E e´ 3 × 1 e F e´ 1 × 1. De acordo
com a notac¸a\u2dco que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima sa\u2dco
a12 = 2, c23 = \u22122, e21 = 4, [A]22 = 4, [D]12 = 3.
Uma matriz que so´ possui uma linha e´ chamada matriz linha, e uma matriz que so´ possui uma
coluna e´ chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz D e´ uma matriz linha e a matriz E e´ uma
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
1.1 Matrizes 3
matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna sa\u2dco chamadas de vetores. O motivo ficara´ claro na
Sec¸a\u2dco 5.1 na pa´gina 300.
Dizemos que duas matrizes sa\u2dco iguais se elas te\u2c6m o mesmo tamanho e os elementos correspon-
dentes sa\u2dco iguais, ou seja, A = (aij)m×n e B = (bij)p×q sa\u2dco iguais se m = p, n = q e aij = bij
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Vamos definir operac¸o\u2dces matriciais ana´logas a`s operac¸o\u2dces com nu´meros e provar propriedades
que sa\u2dco va´lidas para essas operac¸o\u2dces. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸o\u2dces lineares
pode ser escrito em termos de uma u´nica equac¸a\u2dco matricial.
Vamos, agora, introduzir as operac¸o\u2dces matriciais.
1.1.1 Operac¸o\u2dces com Matrizes
Definic¸a\u2dco 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m×n e B = (bij)m×n e´
definida como sendo a matriz m× n
C = A + B
obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,
cij = aij + bij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambe´m [A + B]ij = aij + bij .
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4 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.2. Considere as matrizes:
A =
[
1 2 \u22123
3 4 0
]
, B =
[ \u22122 1 5
0 3 \u22124
]
Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, enta\u2dco
C = A + B =
[
1 + (\u22122) 2 + 1 \u22123 + 5
3 + 0 4 + 3 0 + (\u22124)
]
=
[ \u22121 3 2
3 7 \u22124
]
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1.1 Matrizes 5
Definic¸a\u2dco 1.2. A multiplicac¸a\u2dco de uma matriz A = (aij)m×n por um escalar (nu´mero) \u3b1 e´ definida
pela matriz m× n
B = \u3b1A
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar \u3b1, ou seja,
bij = \u3b1 aij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambe´m [\u3b1A]ij = \u3b1 aij . Dizemos que a matriz B e´
um mu´ltiplo escalar da matriz A.
Exemplo 1.3. O produto da matriz A =
\uf8ee
\uf8f0 \u22122 10 3
5 \u22124
\uf8f9
\uf8fb pelo escalar \u22123 e´ dado por
\u22123 A =
\uf8ee
\uf8f0 (\u22123)(\u22122) (\u22123) 1(\u22123) 0 (\u22123) 3
(\u22123) 5 (\u22123)(\u22124)
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 6 \u221230 \u22129
\u221215 12
\uf8f9
\uf8fb .
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6 Matrizes e Sistemas Lineares
Definic¸a\u2dco 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e´ definido pela matriz m× n
C = AB
obtida da seguinte forma:
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj, (1.1)
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambe´m [AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj .
A equac¸a\u2dco (1.1) esta´ dizendo que o elemento i, j do produto e´ igual a` soma dos produtos dos
elementos da i-e´sima linha de A pelos elementos correspondentes da j-e´sima coluna de B.
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0 c11 . . . c1n... cij ...
cm1 . . . cmn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 a12 . . . a1p
.
.
. . . .
.
.
.
ai1 ai2 . . . aip
.
.
. . . .
.
.
.
am1 am2 . . . amp
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
b11
b21
.
.
.
bp1
. . .
. . .
. . .
. . .
b1j
b2j
.
.
.
bpj
. . .
. . .
. . .
. . .
b1n
b2n
.
.
.
bpn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
A equac¸a\u2dco (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸a\u2dco de somato´rio.
[AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj =
p\u2211
k=1
aikbkj
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1.1 Matrizes 7
e dizemos \u201csomato´rio de k variando de 1 a p de aikbkj\u201d. O s\u131´mbolo
p\u2211
k=1
significa que estamos fazendo
uma soma em que o \u131´ndice k esta´ variando de k = 1 ate´ k = p. Algumas propriedades da notac¸a\u2dco
de somato´rio esta\u2dco explicadas no Ape\u2c6ndice I na pa´gina 33.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes:
A =
[
1 2 \u22123
3 4 0
]
, B =
\uf8ee
\uf8f0 \u22122 1 00 3 0
5 \u22124 0
\uf8f9
\uf8fb .
Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, enta\u2dco
C = AB =
[
1 (\u22122) + 2 · 0 + (\u22123) 5 1 · 1 + 2 · 3 + (\u22123) (\u22124) 0
3 (\u22122) + 4 · 0 + 0 · 5 3 · 1 + 4 · 3 + 0 (\u22124) 0
]
=
[ \u221217 19 0
\u22126 15 0
]
.
Observac¸a\u2dco. No exemplo anterior o produto BA na\u2dco esta´ definido (por que?). Entretanto, mesmo
quando ele esta´ definido, BA pode na\u2dco ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes na\u2dco e´ comu-
tativo, como mostra o exemplo seguinte.
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8 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.5. Sejam A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[ \u22122 1
0 3
]
. Enta\u2dco,
AB =
[ \u22122 7
\u22126 15
]
e BA =
[
1 0
9 12
]
.
Vamos ver no pro´ximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa-
mente um processo de produc¸a\u2dco.
Exemplo 1.6. Uma indu´stria produz tre\u2c6s produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa\u2dco utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa\u2dco
necessa´rios na produc¸a\u2dco de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
[
1 1 1
2 1 4
]
= A X =
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
AX =
[
x + y + z
2x + y + 4z
]
gramas de A usados
gramas de B usados
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1.1 Matrizes 9
Definic¸a\u2dco 1.4. A transposta de uma matriz A = (aij)m×n e´ definida pela matriz n×m
B = At
obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,
bij = aji ,
para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m. Escrevemos tambe´m [At]ij = aji.
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes
A =
[
1 2
3 4
]
, B =
[ \u22122 1
0 3
]
e C =
[
1 3 0
2 4 \u22122
]
sa\u2dco
At =
[
1 3
2 4
]
, Bt =
[ \u22122 0
1 3
]
e Ct =
\uf8ee
\uf8f0 1 23 4
0 \u22122
\uf8f9
\uf8fb .
A seguir, mostraremos as propriedades que sa\u2dco va´lidas para