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conjunto linearmente independente.
5.1.11. Se os vetores na\u2dco nulos U , V e W sa\u2dco L.D., enta\u2dco W e´ uma combinac¸a\u2dco linear de U e V ?
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.2 Subespac¸os Base e Dimensa\u2dco 329
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa\u2dco
Sejam A uma matriz m×n e W \u2286 Rn o conjunto soluc¸a\u2dco do sistema linear homoge\u2c6neo AX = 0¯.
Ja´ vimos na Proposic¸a\u2dco 1.7 na pa´gina 54 que o conjunto W satisfaz as seguintes propriedades:
(a) Se X e Y pertencem a W, enta\u2dco X + Y tambe´m pertence a W.
(b) Se X pertence a W, enta\u2dco \u3b1X tambe´m pertence a W para todo escalar \u3b1.
Revise como foi feita a demonstrac¸a\u2dco dos itens (a) e (b) acima na Proposic¸a\u2dco 1.7 na pa´gina 54.
Assim, se X e Y sa\u2dco soluc¸o\u2dces de um sistema homoge\u2c6neo, enta\u2dco X + Y e \u3b1X tambe´m o sa\u2dco.
Portanto, combinac¸o\u2dces lineares de soluc¸o\u2dces de AX = 0¯ sa\u2dco tambe´m soluc¸o\u2dces de AX = 0¯.
O conjunto soluc¸a\u2dco de um sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯ e´ chamado de espac¸o soluc¸a\u2dco do
sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯. Ele se comporta como se fosse um espac¸o, no sentido de que
fazendo soma de vetores do conjunto ou multiplicando vetores do conjunto por escalar na\u2dco sa\u131´mos
dele.
Um subconjunto na\u2dco vazio de Rn que satisfaz as propriedades (a) e (b) acima e´ chamado de
subespac¸o de Rn. Com relac¸a\u2dco as operac¸o\u2dces de soma e multiplicac¸a\u2dco por escalar podemos \u201cviver\u201d
nele sem termos que sair. Assim o espac¸o soluc¸a\u2dco do sistema homoge\u2c6neo AX = 0¯ e´ um subespac¸o
de Rn. Vale tambe´m a rec\u131´proca, todo subespac¸o e´ o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema homoge\u2c6neo
(Exerc\u131´cio 5.2.18 na pa´gina 353).
Exemplo 5.15. Os exemplos mais triviais de subespac¸os de Rn sa\u2dco o subespac¸o formado somente
pelo vetor nulo, W = {0¯} e W = Rn. Mas cuidado, o R2 na\u2dco e´ subespac¸o de R3, pois o R2 (conjunto
de pares de nu´meros reais) na\u2dco e´ um subconjunto do R3 (conjunto de ternos de nu´meros reais). O
plano W = {(x, y, z) \u2208 R3 | z = 0} e´ um subespac¸o de R3 mas ele na\u2dco e´ o R2.
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330 Espac¸os Rn
y
z
x
X1
X2
X1+X2
Figura 5.17: Soma de vetores do plano
ax + by + cz = 0
y
z
x
X
\u3b1X
Figura 5.18: Multiplicac¸a\u2dco de vetor por es-
calar do plano ax + by + cz = 0
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5.2 Subespac¸os Base e Dimensa\u2dco 331
y
z
x
X1
X2
X1+X2
Figura 5.19: Soma de vetores da reta
(x, y, z) = (at, bt, ct)
y
z
x
X
\u3b1X
Figura 5.20: Multiplicac¸a\u2dco de vetor por es-
calar da reta (x, y, z) = (at, bt, ct)
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332 Espac¸os Rn
Exemplo 5.16. Considere o sistema linear\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
a1x + b1y + c1z = 0
a2x + b2y + c2z = 0
a3x + b3y + c3z = 0
Cada equac¸a\u2dco deste sistema e´ representada por um plano que passa pela origem. O conjunto soluc¸a\u2dco
e´ um subespac¸o de R3 e e´ a intersec¸a\u2dco dos planos, podendo ser:
(a) Somente um ponto que e´ origem.
(b) Uma reta que passa pela origem.
(c) Um plano que passa pela origem.
Vamos escrever toda soluc¸a\u2dco do sistema linear homoge\u2c6neo AX = 0¯ como uma combinac¸a\u2dco
linear de um nu´mero finito de vetores V1, . . . , Vk que sa\u2dco tambe´m soluc¸a\u2dco do sistema.
Exemplo 5.17. Considere o sistema linear homoge\u2c6neo AX = 0¯, em que
A =
\uf8ee
\uf8f0 1 1 0 0 1\u22122 \u22122 1 \u22121 \u22121
1 1 \u22121 1 0
\uf8f9
\uf8fb .
Escalonando a matriz aumentada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada reduzida\uf8ee
\uf8f0 1 1 0 0 1 00 0 1 \u22121 1 0
0 0 0 0 0 0
\uf8f9
\uf8fb .
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5.2 Subespac¸os Base e Dimensa\u2dco 333
E assim a soluc¸a\u2dco geral do sistema pode ser escrita como
x1 = \u2212\u3b1\u2212 \u3b3, x2 = \u3b3, x3 = \u2212\u3b1 + \u3b2, x4 = \u3b2 x5 = \u3b1
para todos os valores de \u3b1, \u3b2, \u3b3 \u2208 R, ou seja, o conjunto soluc¸a\u2dco do sistema AX = 0¯ e´
W = {(x1, x2, x3, x4, x5) = (\u2212\u3b1\u2212 \u3b3, \u3b3,\u2212\u3b1 + \u3b2, \u3b2, \u3b1) | \u3b1, \u3b2, \u3b3 \u2208 R} .
Agora, um elemento qualquer de W pode ser escrito como uma combinac¸a\u2dco linear de vetores de W:
(\u2212\u3b1\u2212 \u3b3, \u3b3,\u2212\u3b1 + \u3b2, \u3b2, \u3b1) = (\u2212\u3b1, 0,\u2212\u3b1, 0, \u3b1) + (0, 0, \u3b2, \u3b2, 0) + (\u2212\u3b3, \u3b3, 0, 0, 0)
= \u3b1(\u22121, 0,\u22121, 0, 1) + \u3b2(0, 0, 1, 1, 0) + \u3b3(\u22121, 1, 0, 0, 0)
Assim, todo vetor de W pode ser escrito como combinac¸a\u2dco linear dos vetores V1 = (\u22121, 0,\u22121, 0, 1),
V2 = (0, 0, 1, 1, 0) e V3 = (\u22121, 1, 0, 0, 0) pertencentes a W (V1 e´ obtido fazendo-se \u3b1 = 1 e \u3b2 = \u3b3 =
0, V2 fazendo-se \u3b1 = \u3b3 = 0 e \u3b2 = 1 e V3 fazendo-se \u3b1 = \u3b2 = 0 e \u3b3 = 1).
Neste caso dizemos que V1 = (\u22121, 0,\u22121, 0, 1), V2 = (0, 0, 1, 1, 0) e V3 = (\u22121, 1, 0, 0, 0) geram
o subespac¸o W. Em geral temos a seguinte definic¸a\u2dco.
Definic¸a\u2dco 5.5. Seja W um subespac¸o de Rn (por exemplo, o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema linear
homoge\u2c6neo AX = 0¯). Dizemos que os vetores V1, . . . , Vk pertencentes a W, geram W ou que
{V1, . . . , Vk} e´ um conjunto de geradores de W, se qualquer vetor de W e´ combinac¸a\u2dco linear de
V1, . . . , Vk. Dizemos tambe´m que W e´ o subespac¸o gerado por V1, . . . , Vk.
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334 Espac¸os Rn
Uma questa\u2dco importante e´ encontrar o maior nu´mero poss\u131´vel de vetores linearmente indepen-
dentes em um subespac¸o. O resultado a seguir responde a esta questa\u2dco.
Teorema 5.6. Seja W subespac¸o de Rn (por exemplo, o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema linear ho-
moge\u2c6neo AX = 0¯). Seja {V1, . . . , Vm} um conjunto de vetores de W
(a) linearmente independente (L.I.),
(b) que gera W (ou seja, todo vetor X de W e´ combinac¸a\u2dco linear de V1, . . . , Vm).
Enta\u2dco, um conjunto com mais de m vetores em W e´ linearmente dependente (L.D.).
Demonstrac¸a\u2dco. Seja {W1, . . . ,Wp} um subconjunto de W, com p > m. Vamos mostrar que
{W1, . . . ,Wp} e´ L.D. Vamos considerar a combinac¸a\u2dco linear nula de W1, . . . ,Wp
x1W1 + x2W2 + . . . + xpWp = 0¯. (5.13)
Como qualquer elemento de W pode ser escrito como combinac¸a\u2dco linear de V1, . . . , Vm, em particular,
Wj = b1jV1 + b2jV2 + . . . + bmjVm =
m\u2211
i=1
bijVi , para j = 1, . . . , p . (5.14)
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5.2 Subespac¸os Base e Dimensa\u2dco 335
Assim, substituindo (5.14) em (5.13) e agrupando os termos que conte´m Vi, para i = 1, . . . ,m,
obtemos
(b11x1 + . . . + b1pxp)V1 + . . . + (bm1x1 + . . . + bmpxp)Vm = 0¯. (5.15)
Como {V1, . . . , Vm} e´ L.I., enta\u2dco os escalares na equac¸a\u2dco (5.15) sa\u2dco iguais a zero. Isto leva ao
sistema linear
BX = 0¯,
em que B = (bij)m×p. Mas, este e´ um sistema homoge\u2c6neo que tem mais inco´gnitas do que equac¸o\u2dces,
portanto possui soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial, (Teorema 1.6 na pa´gina 53), como quer\u131´amos provar. \ufffd
O resultado anterior mostra que se podemos escrever todo elemento do subespac¸o W como uma
combinac¸a\u2dco linear de vetores V1, . . . , Vm L.I. pertencentes a W, enta\u2dco m e´ o maior nu´mero poss\u131´vel
de vetores L.I. em W.
No Exemplo 5.17 os vetores V1 = (\u22121, 0,\u22121, 0, 1), V2 = (0, 0, 1, 1, 0) e V3 = (\u22121, 1, 0, 0, 0)
geram W. Ale´m disso de
\u3b1(\u22121, 0,\u22121, 0, 1) + \u3b2(0, 0, 1, 1, 0) + \u3b3(\u22121, 1, 0, 0, 0) = (\u2212\u3b1\u2212 \u3b3, \u3b3,\u2212\u3b1 + \u3b2, \u3b2, \u3b1)
segue-se que V1, V2 e V3 sa\u2dco L.I. (por que?)
Assim pelo Teorema 5.6 na\u2dco podemos obter um nu´mero maior de vetores em W L.I. Neste caso
dizemos que {V1, V2, V3} e´ uma base de W. Em geral temos a seguinte definic¸a\u2dco.
Definic¸a\u2dco 5.6. Seja W um subespac¸o de Rn (por exemplo, o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema linear
homoge\u2c6neo AX = 0¯). Dizemos que um subconjunto {V1, . . . , Vk} de W e´ uma base de W, se
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336 Espac¸os Rn
(a) {V1, . . . , Vk} e´ um conjunto de geradores de W (ou seja, todo vetor de W e´ combinac¸a\u2dco linear
de V1, . . . , Vk) e
(b) {V1, . . . , Vk} e´ L.I.
Exemplo 5.18. Os vetores E1 = (1, 0, . . . , 0), E2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , En = (0, . . . , 0, 1) formam
uma base do Rn. Pois, um vetor qualquer do Rn e´ da forma V = (a1, . . . , an) e pode ser escrito
como uma soma de vetores, sendo um vetor para cada para\u2c6metro e cada vetor dependendo apenas
de um para\u2c6metro, obtendo
V = (a1, . . . , an) = (a1, 0,