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DisciplinaGeometria Analítica15.201 materiais388.827 seguidores
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e´ um subespac¸o de Rn. Este subespac¸o e´ chamado de complemento ortogonal
de W e denotado por W\u22a5, ou seja,
W
\u22a5 = {X \u2208 Rn | X · Y = 0, para todo Y \u2208W}.
5.3.21. Mostre que todo subespac¸o W de Rn e´ o espac¸o soluc¸a\u2dco de um sistema linear homoge\u2c6neo.
(Sugesta\u2dco: seja {W1, . . . ,Wk} uma base de W\u22a5 tome A = [ W1 . . . Wk ]t.)
5.3.22. Embora na\u2dco exista o produto vetorial de dois vetores em Rn, para n > 3, podemos definir o
produto vetorial de n \u2212 1 vetores, V1 = (v11, . . . , v1n), . . . , Vn\u22121 = (v(n\u22121)1, . . . , v(n\u22121)n)
como
V1 × V2 × · · · × Vn\u22121 =
(
(\u22121)n+1 det(vij)j 6=1, (\u22121)n+2 det(vij)j 6=2, . . . , (\u22121)2n det(vij)j 6=n
)
.
Mostre que:
(a) V1 × V2 × · · · × Vn\u22121 e´ ortogonal a V1, . . . , Vn\u22121.
(b) \u3b1(V1 × V2 × · · · × Vn\u22121) = V1 × · · ·\u3b1Vi × · · · × Vn\u22121
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.3 Produto Escalar em Rn 379
 
W
V
W
V
V
\u2212
p
ro
j W
V
V
\u2212
p
ro
j W
V
projW VprojW V
Figura 5.26: Projec¸a\u2dco ortogonal do vetor V sobre o vetor W
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
380 Espac¸os Rn
projW1V +projW2V
projW1V
projW2V
V
V \u2212projW1V \u2212projW2V
W1
W2
Figura 5.27: V \u2212projW1V \u2212projW2V e´ ortogonal a W1 e a W2
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.3 Produto Escalar em Rn 381
W1 = V1
V3
V2projW1V2
W2 =
V2\u2212projW1V2
Figura 5.28: W1 = V1 e W2 = V2 \u2212
projW1V2
V3
W1
projW1V3
W2
W3 =
V3\u2212projW1V3
\u2212projW2V3
projW2V3
projW1V3+projW2V3
Figura 5.29: W3 = V3 \u2212 projW1V3 \u2212
projW2V3
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
382 Espac¸os Rn
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas
Se as coordenadas de um ponto P no espac¸o sa\u2dco (x, y, z), enta\u2dco as componentes do vetor
\u2212\u2192
OP
tambe´m sa\u2dco (x, y, z) e enta\u2dco podemos escrever
\u2212\u2192
OP = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)
= x(1, 0, 0) + y(0, y, 0) + z(0, 0, 1) = x~i + y~j + z~k,
em que ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1). Ou seja, as coordenadas de um ponto P sa\u2dco
iguais aos escalares que aparecem ao escrevermos
\u2212\u2192
OP como uma combinac¸a\u2dco linear dos vetores
cano\u2c6nicos. Assim, o ponto O = (0, 0, 0) e os vetores ~i, ~j e ~k determinam um sistema de coor-
denadas ortogonal, {O,~i,~j,~k}. Para resolver alguns problemas geome´tricos e´ necessa´rio usarmos
um segundo sistema de coordenadas ortogonal determinado por uma origem O\u2032 e por 3 veto-
res U1, U2 e U3 ortonormais de R3.\u2217 Por exemplo, se O\u2032 = (2, 3/2, 3/2), U1 = (
\u221a
3/2, 1/2, 0),
U2 = (\u22121/2,
\u221a
3/2, 0) e U3 = (0, 0, 1) = ~k, enta\u2dco {O\u2032, U1, U2, U3} determina um novo sistema de
coordenadas: aquele com origem no ponto O\u2032, cujos eixos x\u2032, y\u2032 e z\u2032 sa\u2dco retas que passam por O\u2032
orientadas com os sentidos e direc¸o\u2dces de U1, U2 e U3, respectivamente (Figura 5.31).
As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas {O\u2032, U1, U2, U3} e´ definido como
sendo os escalares que aparecem ao escrevermos
\u2212\u2192
O\u2032P como combinac¸a\u2dco linear dos vetores U1, U2
e U3, ou seja, se
\u2212\u2192
O\u2032P= x\u2032U1 + y\u2032U2 + z\u2032U3,
\u2217Em geral, um sistema de coordenadas (na\u2dco necessariamente ortogonal) e´ definido por um ponto O\u2032 e tre\u2c6s vetores
V1, V2 e V3 L.I. de R3 (na\u2dco necessariamente ortonormais) (veja o Exerc\u131´cio 5.4.9 na pa´gina 402).
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 383
y
z
x
y~j
x~i
z~k
P = (x, y, z)
Figura 5.30:
\u2212\u2192
OP= x~i + y~j + z~k
y
y\u2018
z
z\u2018
 x\u2018
x
U3
O\u2032
U2
U1
Figura 5.31: Dois sistemas de coordenadas
ortogonais {O,~i,~j,~k} e {O\u2032, U1, U2, U3}
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384 Espac¸os Rn
enta\u2dco as coordenadas de P no sistema {O\u2032, U1, U2, U3} sa\u2dco dadas por
[P ]{O\u2032,U1,U2,U3} =
\uf8ee
\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9
\uf8fb .
Vamos considerar inicialmente o caso em que O = O\u2032. Assim, se
\u2212\u2192
OP= (x, y, z), enta\u2dco x\u2032U1 +
y\u2032U2 + z\u2032U3 =
\u2212\u2192
OP e´ equivalente ao sistema linear
QX \u2032 = X, em que Q = [ U1 U2 U3 ], X \u2032 =
\uf8ee
\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9
\uf8fb , X =
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb .
Como a matriz Q e´ invert\u131´vel (por que?) a soluc¸a\u2dco e´ dada por
X \u2032 = Q\u22121X.
Mas, como U1, U2 e U3 formam uma base ortonormal de R3, enta\u2dco
QtQ =
\uf8ee
\uf8f0 U t1U t2
U t3
\uf8f9
\uf8fb [ U1 U2 U3 ] =
\uf8ee
\uf8f0 U t1U1 U t1U2 U t1U3U t2U1 U t2U2 U t2U3
U t3U1 U
t
3U2 U
t
3U3
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 U1 · U1 U1 · U2 U1 · U3U2 · U1 U2 · U2 U2 · U3
U3 · U1 U3 · U2 U3 · U3
\uf8f9
\uf8fb = I3
Assim, a matriz Q = [ U1 U2 U3 ] e´ invert\u131´vel e Q\u22121 = Qt. Desta forma as coordenadas de um ponto
P no espac¸o em relac¸a\u2dco ao sistema {O,U1, U2, U3}, x\u2032, y\u2032 e z\u2032 esta\u2dco unicamente determinados e
[P ]{O,U1,U2,U3} = Q
t[P ]{O,~i,~j,~k} ou
\uf8ee
\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9
\uf8fb = Qt
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb .
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5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 385
Tambe´m no plano temos o mesmo tipo de situac¸a\u2dco que e´ tratada de forma inteiramente ana´loga.
As coordenadas de um ponto P no plano em relac¸a\u2dco a um sistema de coordenadas {O\u2032, U1, U2},
em que U1 e U2 sa\u2dco vetores que formam uma base ortonormal do R2, e´ definido como sendo os
escalares que aparecem ao escrevermos
\u2212\u2192
O\u2032P como combinac¸a\u2dco linear de U1 e U2, ou seja, se
\u2212\u2192
O\u2032P= x\u2032U1 + y\u2032U2,
enta\u2dco as coordenadas de P no sistema {O\u2032, U1, U2} sa\u2dco dadas por
[P ]{O\u2032,U1,U2} =
[
x\u2032
y\u2032
]
.
As coordenadas de um ponto P no plano em relac¸a\u2dco ao sistema {O,U1, U2, U3} esta\u2dco bem
definidas, ou seja, x\u2032 e y\u2032 esta\u2dco unicamente determinados e sa\u2dco dados por
[P ]{O,U1,U2} = Q
t[P ]{O,E1,E2} ou
[
x\u2032
y\u2032
]
= Qt
[
x
y
]
,
em que E1 = (1, 0) e E2 = (0, 1). Observe que, tanto no caso do plano quanto no caso do espac¸o, a
matriz Q satisfaz, Q\u22121 = Qt. Uma matriz que satisfaz esta propriedade e´ chamada matriz ortogonal.
Exemplo 5.31. Considere o sistema de coordenadas no plano em que O\u2032 = O e U1 = (
\u221a
3/2, 1/2)
e U2 = (\u22121/2,
\u221a
3/2). Se P = (2, 4), vamos determinar as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao novo
sistema de coordenadas.
Q = [ U1 U2 ] =
[ \u221a
3/2 \u22121/2
1/2
\u221a
3/2
]
.
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386 Espac¸os Rn
Assim as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao novo sistema de coordenadas sa\u2dco dadas por
[P ]{O,U1,U2} = Q
t
[
2
4
]
=
[
U t1
U t2
] [
2
4
]
=
[ \u221a
3/2 1/2
\u22121/2 \u221a3/2
] [
2
4
]
=
[
2 +
\u221a
3
2
\u221a
3\u2212 1
]
.
Exemplo 5.32. Considere o mesmo sistema de coordenadas do exemplo anterior, mas agora seja
P = (x, y) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao
novo sistema de coordenadas.
As coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao novo sistema de coordenadas sa\u2dco dadas por
[P ]{O,U1,U2} = Q
t
[
x
y
]
=
[
U t1
U t2
] [
x
y
]
=
[ \u221a
3/2 1/2
\u22121/2 \u221a3/2
] [
x
y
]
=
[
(
\u221a
3 x + y)/2
(\u2212x +\u221a3 y)/2
]
.
Exemplo 5.33. Vamos agora considerar um problema inverso a`queles apresentados nos exemplos
anteriores. Suponha que sejam va´lidas as seguintes equac¸o\u2dces{
x = 1\u221a
5
x\u2032 + 2\u221a
5
y\u2032
y = 2\u221a
5
x\u2032 \u2212 1\u221a
5
y\u2032
,
ou equivalentemente [
x
y
]
=
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
] [
x\u2032
y\u2032
]
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5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 387
x\u2018
y\u2018
x
y
P
x
y
E1
E2
x
\u2032
U1U2
y
\u2032
Figura 5.32: Coordenadas de um ponto P em dois sistemas
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388 Espac¸os Rn
entre as coordenadas
[
x\u2032
y\u2032
]
de um ponto P em relac¸a\u2dco a um sistema de coordenadas {O,U1, U2}
e as coordenadas de P ,
[
x
y
]
, em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas original
{O,E1 = (1, 0), E2 = (0, 1)}.
Queremos determinar quais sa\u2dco os vetores U1 e U2.
Os vetores U1 e U2 da nova base possuem coordenadas
[
1
0
]
e
[
0
1
]
, respectivamente, em
relac¸a\u2dco ao novo sistema de coordenadas, {O,U1, U2}. Pois,