gaalt0
706 pág.

gaalt0


DisciplinaGeometria Analítica15.201 materiais388.827 seguidores
Pré-visualização50 páginas
U1 = 1 U1 + 0 U2 e U2 = 0 U1 +
1 U2. Queremos saber quais as coordenadas destes vetores em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas
original, {O,E1 = (1, 0), E2 = (0, 1)}. Logo,
U1 =
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
] [
1
0
]
=
[
1\u221a
5
2\u221a
5
]
U2 =
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
] [
0
1
]
=
[
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
]
Ou seja, U1 e U2 sa\u2dco as colunas da matriz Q =
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
]
.
5.4.1 Rotac¸a\u2dco
Suponha que o novo sistema de coordenadas {O,U1, U2} seja obtido do sistema original
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 389
x\u2018
y\u2018
x
y
E1
E2
U1
U2
\u3b8
\u3b8
cos \u3b8
se
n
\u3b8
co
s
\u3b8
\u2212sen \u3b8
Figura 5.33: Rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \u3b8
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
390 Espac¸os Rn
{O,E1 = (1, 0), E2 = (0, 1)} por uma rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \u3b8. Observando a Figura 5.33, ob-
temos
U1 = (cos \u3b8, sen \u3b8)
U2 = (\u2212sen \u3b8, cos \u3b8)
seja P = (x, y) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de P em relac¸a\u2dco
ao novo sistema de coordenadas.
A matriz
Q = [ U1 U2 ] =
[
cos \u3b8 \u2212sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
]
= R\u3b8
e´ chamada matriz de rotac¸a\u2dco.
As coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao novo sistema de coordenadas sa\u2dco dadas por[
x\u2032
y\u2032
]
= Rt\u3b8
[
x
y
]
=
[
cos \u3b8 sen \u3b8
\u2212sen \u3b8 cos \u3b8
] [
x
y
]
.
O sistema de coordenadas que aparece nos dois primeiros exemplos desta sec¸a\u2dco podem ser
obtidos por uma rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \u3b8 = pi/6 em relac¸a\u2dco ao sistema original.
5.4.2 Translac¸a\u2dco
Vamos considerar, agora, o caso em que O\u2032 6= O, ou seja, em que ocorre uma translac¸a\u2dco dos
eixos coordenados.
Observando a Figura 5.34, obtemos
\u2212\u2192
O\u2032P=
\u2212\u2192
OP \u2212
\u2212\u2192
OO\u2032 . (5.22)
Assim, se
\u2212\u2192
OO\u2032= (h, k), enta\u2dco
\u2212\u2192
O\u2032P= (x\u2032, y\u2032) = (x, y)\u2212 (h, k) = (x\u2212 h, y \u2212 k)
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 391
x\u2018
y\u2018
x
y
x
P
O
O\u2032 x
\u2032
y\u2032y
Figura 5.34: Coordenadas de um ponto P em dois sistemas (translac¸a\u2dco)
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
392 Espac¸os Rn
Logo, as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao novo sistema sa\u2dco dadas por
[P ]{O\u2032,E1,E2} =
[
x\u2032
y\u2032
]
=
[
x\u2212 h
y \u2212 k
]
. (5.23)
O eixo x\u2032 tem equac¸a\u2dco y\u2032 = 0, ou seja, y = k e o eixo y\u2032, x\u2032 = 0, ou seja, x = h.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 393
5.4.3 Aplicac¸a\u2dco: Computac¸a\u2dco Gra´fica - Projec¸a\u2dco Ortogra´fica
Esta projec¸a\u2dco e´ usada para fazer desenhos de objetos tridimensionais no papel ou na tela do
computador. Com esta projec¸a\u2dco os pontos no espac¸o sa\u2dco projetados ortogonalmente ao plano do
desenho.
Para encontrar a projec¸a\u2dco de um ponto P podemos encontrar as coordenadas de P em relac¸a\u2dco
ao sistema S\u2032 = {O\u2032, U1, U2, U3} e tomar as duas primeiras coordenadas.
Como a projec¸a\u2dco em qualquer plano paralelo ao plano do desenho fornece as mesmas coordena-
das podemos supor que O\u2032 = O, ou seja, que os dois sistemas te\u2c6m a mesma origem.
A relac¸a\u2dco entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas
S
\u2032 = {O,U1, U2, U3} e S = {O,~i,~j,~k}
e´ dada por
X \u2032 = QtX, em que Q = [ U1 U2 U3 ]
Vamos encontrar os vetores U1, U2 e U3 em func¸a\u2dco dos a\u2c6ngulos \u3b8 e \u3c6. O vetor U1 e´ paralelo ao plano
xy e e´ perpendicular ao vetor (cos \u3b8, sen \u3b8, 0), ou seja,
U1 = (\u2212 sen \u3b8, cos \u3b8, 0).
Os vetores U2 e U3 esta\u2dco no plano definido por ~k e (cos \u3b8, sen \u3b8, 0).
U2 = \u2212 cos \u3c6(cos \u3b8, sen \u3b8, 0) + sen \u3c6~k = (\u2212 cos \u3c6 cos \u3b8,\u2212 cos \u3c6 sen \u3b8, sen \u3c6)
U3 = cos \u3c6~k + sen \u3c6(cos \u3b8, sen \u3b8, 0) = (sen \u3c6 cos \u3b8, sen \u3c6 sen \u3b8, cos \u3c6)
Assim a relac¸a\u2dco entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas
S
\u2032 = {O,U1, U2, U3} e S = {O,~i,~j,~k}
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
394 Espac¸os Rn
x\u2032
y\u2032
Figura 5.35: Projec¸a\u2dco ortogra´fica de um cubo
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 395
~k
~i
~j
O\u2032
U1
U2
U3
\u3b8
\u3c6
Figura 5.36: sistemas de coordenadas relacionados a` projec¸a\u2dco ortogra´fica
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
396 Espac¸os Rn
~k
~i
~j
U2
U1
U3
(cos \u3b8, sen \u3b8, 0)
\u3b8
\u3c6
Figura 5.37: Bases relacionadas a` projec¸a\u2dco ortogra´fica
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 397
(cos \u3b8, sen \u3b8, 0)
~k~j
~i
U3
(cos \u3b8, sen \u3b8, 0)
\u3c6
\u3b8
U2
U1
Figura 5.38: Relac¸a\u2dco entre os vetores das bases {U1, U2, U3} e {~i,~j,~k}
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
398 Espac¸os Rn
e´ dada por \uf8ee
\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 \u2212 sen \u3b8 cos \u3b8 0\u2212 cos \u3c6 cos \u3b8 \u2212 cos \u3c6 sen \u3b8 sen \u3c6
sen \u3c6 cos \u3b8 sen \u3c6 sen \u3b8 cos \u3c6
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb
e a projec¸a\u2dco e´ dada por
[
x\u2032
y\u2032
]
=
[ \u2212 sen \u3b8 cos \u3b8 0
\u2212 cos \u3c6 cos \u3b8 \u2212 cos \u3c6 sen \u3b8 sen \u3c6
]\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb .
Por exemplo para \u3b8 = 30\u25e6 e \u3c6 = 60\u25e6 temos que
[
x\u2032
y\u2032
]
=
[
\u22121
2
\u221a
3
2
0
\u2212
\u221a
3
4
\u22121
4
\u221a
3
2
]\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb \u2248 [ \u22120.50 0.87 0\u22120.43 \u22120.25 0.87
]\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb .
Usando esta projec¸a\u2dco os vetores~i, ~j e ~k sa\u2dco desenhados como na figura abaixo.
Experimente desenhar o cubo que tem a origem O = (0, 0, 0) como um dos ve´rtices e como
ve´rtices adjacentes a` origem (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Observe que na\u2dco e´ necessa´rio calcular a
projec¸a\u2dco dos outros pontos (por que?)
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 399
\u22121 \u22120.8 \u22120.6 \u22120.4 \u22120.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
\u22121
\u22120.8
\u22120.6
\u22120.4
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 5.39: Vetores~i, ~j e ~k desenhados usando projec¸a\u2dco ortogra´fica
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
400 Espac¸os Rn
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 623)
5.4.1. Encontre as coordenadas do ponto P com relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas S, nos seguintes
casos:
(a) S = {O, (1/\u221a2,\u22121/\u221a2), (1/\u221a2, 1/\u221a2)} e P = (1, 3);
(b) S = {O, (1/\u221a2,\u22121/\u221a2, 0), (0, 0, 1), (1/\u221a2, 1/\u221a2, 0)} e P = (2,\u22121, 2);
5.4.2. Encontre o ponto P , se as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas S, [P ]S,
sa\u2dco:
(a) [P ]S =
[
2
1
]
, em que S = {O, (\u22121/\u221a2, 1/\u221a2), (1/\u221a2, 1/\u221a2)}. (b) [P ]S =
\uf8ee
\uf8f0 \u221211
2
\uf8f9
\uf8fb, em
que S = {O, (0, 1/\u221a2,\u22121/\u221a2), (1, 0, 0), (0, 1/\u221a2, 1/\u221a2)};
5.4.3. Sejam [P ]R =
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb as coordenadas de um ponto P em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas
R = {O,~i,~j,~k} e [P ]S =
\uf8ee
\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9
\uf8fb, em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas S = {O,U1, U2, U3}.
Suponha que temos a seguinte relac¸a\u2dco:
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 1 0 00 1/2 \u2212\u221a3/2
0
\u221a
3/2 1/2
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9
\uf8fb .
Quais sa\u2dco os vetores U1, U2 e U3?
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 401
5.4.4. Determine qual a rotac¸a\u2dco do plano em que as coordenadas do ponto P = (
\u221a
3, 1) sa\u2dco
[ \u221a
3
\u22121
]
.
5.4.5. Considere o plano pi : 3x\u2212\u221a3y + 2z = 0.
(a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano xy.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal {U1, U2, U3} de R3.
(c) Determine as coordenadas dos vetores~i, ~j e ~k no sistema {O,U1, U2, U3}.
5.4.6. Considere dois sistemas de coordenadas R = {O,~i,~j,~k} e S = {O,~i, U2, U3}, em que o
sistema S e´ obtido do sistema R por uma rotac¸a\u2dco do a\u2c6ngulo \u3b8 em torno do eixo x. Determine
a relac¸a\u2dco entre as coordenadas, (x\u2032, y\u2032, z\u2032), em relac¸a\u2dco ao sistema S e (x, y, z), em relac¸a\u2dco ao
sistema R
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
402 Espac¸os Rn
Exerc\u131´cios Teo´ricos
5.4.7. Mostre que
(a) R\u3b81R\u3b82 = R\u3b81+\u3b82 .
(b) R\u22121\u3b8 = R\u2212\u3b8.
5.4.8. Seja B uma matriz quadrada 2× 2.
(a) Verifique que R\u3b8B e´ a matriz obtida girando as colunas de B de \u3b8.
(b) Verifique