gaalt0
706 pág.

gaalt0


DisciplinaGeometria Analítica15.284 materiais389.791 seguidores
Pré-visualização50 páginas
de A.
Exemplo 6.3. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz
A =
[
1 \u22121
\u22124 1
]
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 413
Para esta matriz o polino\u2c6mio caracter\u131´stico e´
p(t) = det(A\u2212 tI2) = det
[
1\u2212 t \u22121
\u22124 1\u2212 t
]
= (1\u2212 t)2 \u2212 4 = t2 \u2212 2t\u2212 3 .
Como os autovalores de A sa\u2dco as ra\u131´zes de p(t), enta\u2dco os autovalores de A sa\u2dco \u3bb1 = 3 e \u3bb2 = \u22121.
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores \u3bb1 = 3 e \u3bb2 = \u22121. Para
isto vamos resolver os sistemas (A\u2212 \u3bb1I2)X = 0¯ e (A\u2212 \u3bb2I2)X = 0¯.
(A\u2212 \u3bb1I2)X = 0¯
e´ [ \u22122 \u22121
\u22124 \u22122
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
ou
{ \u22122x \u2212 y = 0
\u22124x \u2212 2y = 0
cuja soluc¸a\u2dco geral e´
W1 = {(\u3b1,\u22122\u3b1) | \u3b1 \u2208 R}.
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a \u3bb1 = 3 acrescentado o vetor nulo. Agora,
(A\u2212 \u3bb2I2)X = 0¯
e´ [
2 \u22121
\u22124 2
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
cuja soluc¸a\u2dco geral e´
W2 = {(\u3b1, 2\u3b1) | \u3b1 \u2208 R},
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a \u3bb2 = \u22121 acrescentado o vetor nulo.
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
414 Diagonalizac¸a\u2dco
Para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as ra\u131´zes reais do
seu polino\u2c6mio caracter\u131´stico, que tem a forma p(t) = (\u22121)ntn +an\u22121tn\u22121 + . . .+a1t+a0. (por que?)
Um resultado sobre polino\u2c6mios que muitas vezes e´ u´til, e´ o seguinte
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 415
Proposic¸a\u2dco 6.2. Se a0, a1, . . . , an\u22121 sa\u2dco inteiros, enta\u2dco as ra\u131´zes racionais (se existirem) de
p(t) = (\u22121)ntn + an\u22121tn\u22121 + . . . + a1t + a0.
sa\u2dco nu´meros inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero a0.
Demonstrac¸a\u2dco. Seja p
q
raiz de p(t), com p e q primos entre si, enta\u2dco
(\u22121)n p
n
qn
+ an\u22121
pn\u22121
qn\u22121
+ · · ·+ a1 p
q
+ a0 = 0 (6.8)
multiplicando-se por qn obtemos
(\u22121)npn = \u2212an\u22121pn\u22121q \u2212 · · · \u2212 a1pqn\u22121 \u2212 a0qn = \u2212q(an\u22121pn\u22121 + · · ·+ a1pqn\u22122 + a0qn\u22121).
Como p e q sa\u2dco primos entre si, enta\u2dco q = 1. Substituindo-se q = 1 na equac¸a\u2dco (6.8) obtemos
(\u22121)npn + an\u22121pn\u22121 + · · ·+ a1p = \u2212a0
colocando-se p em evide\u2c6ncia obtemos
p[(\u22121)npn\u22121 + an\u22121pn\u22122 + · · ·+ a1] = \u2212a0,
o que prova o que quer\u131´amos. \ufffd
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
416 Diagonalizac¸a\u2dco
Por exemplo, se p(t) = \u2212t3 + 6t2 \u2212 11t + 6, enta\u2dco as poss\u131´veis ra\u131´zes racionais sa\u2dco ±1,±2,±3
e ±6. Substituindo estes valores de t em p(t), vemos que p(1) = 0, ou seja, 1 e´ uma ra\u131´z de p(t).
Dividindo p(t) por t\u2212 1, obtemos
p(t)
t\u2212 1 = \u2212t
2 + 5t\u2212 6,
ou seja, p(t) = (t\u2212 1)(\u2212t2 + 5t\u2212 6). Como as ra\u131´zes de \u2212t2 + 5t\u2212 6 sa\u2dco 2 e 3, enta\u2dco as ra\u131´zes de
p(t), sa\u2dco 1, 2 e 3.
Exemplo 6.4. Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz
A =
\uf8ee
\uf8f0 4 2 22 4 2
2 2 4
\uf8f9
\uf8fb
Para esta matriz o polino\u2c6mio caracter\u131´stico e´
p(t) = det(A\u2212 t I3) = det
\uf8ee
\uf8f0 4\u2212 t 2 22 4\u2212 t 2
2 2 4\u2212 t
\uf8f9
\uf8fb
= (4\u2212 t) det
[
4\u2212 t 2
2 4\u2212 t
]
\u2212 2 det
[
2 2
2 4\u2212 t
]
+ 2 det
[
2 4\u2212 t
2 2
]
= (4\u2212 t) det
[
4\u2212 t 2
2 4\u2212 t
]
\u2212 4 det
[
2 2
2 4\u2212 t
]
= (4\u2212 t)[(4\u2212 t)2 \u2212 4]\u2212 8(2\u2212 t) = \u2212t3 + 12t2 \u2212 36t + 32
Como na\u2dco fatoramos o polino\u2c6mio caracter\u131´stico (neste caso ate´ e´ poss\u131´vel!), sabemos que se ele
tem ra\u131´zes racionais, enta\u2dco elas sa\u2dco nu´meros inteiros e sa\u2dco divisores de 32, ou seja, podem ser
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 417
±1,±2,±4,±8,±16,±32. Substituindo-se t = ±1 obtemos
p(1) = \u22121 + 12\u2212 36 + 32 > 0, p(\u22121) = 1 + 12 + 36 + 32 > 0.
Substituindo-se t = 2 obtemos p(2) = 0. Dividindo-se p(t) por t\u2212 2 obtemos
p(t)
t\u2212 2 = \u2212t
2 + 10t\u2212 16
ou seja, p(t) = (t\u2212 2)(\u2212t2 + 10t\u2212 16) = (t\u2212 2)2(8\u2212 t). Portanto os autovalores de A sa\u2dco \u3bb1 = 2
e \u3bb2 = 8. Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores \u3bb1 e \u3bb2. Para isto
vamos resolver os sistemas (A\u2212 \u3bb1I3)X = 0¯ e (A\u2212 \u3bb2I3)X = 0¯. Como
(A\u2212 \u3bb1I3)X = 0¯ e´
\uf8ee
\uf8f0 2 2 22 2 2
2 2 2
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 00
0
\uf8f9
\uf8fb
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´\uf8ee
\uf8f0 1 1 1 00 0 0 0
0 0 0 0
\uf8f9
\uf8fb
Assim, a soluc¸a\u2dco geral do sistema (A\u2212 \u3bb1I3)X = 0¯ e´
W1 = {(\u2212\u3b1\u2212 \u3b2, \u3b2, \u3b1) | \u3b1, \u3b2 \u2208 R} ,
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a \u3bb1 = 2 acrescentado o vetor nulo.
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
418 Diagonalizac¸a\u2dco
Com relac¸a\u2dco ao autovalor \u3bb2 = 8, o sistema (A\u2212 \u3bb2I3)X = 0¯ e´\uf8ee
\uf8f0 \u22124 2 22 \u22124 2
2 2 \u22124
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 xy
z
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 00
0
\uf8f9
\uf8fb
A forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema e´\uf8ee
\uf8f0 1 0 \u22121 00 1 \u22121 0
0 0 0 0
\uf8f9
\uf8fb
Assim, a soluc¸a\u2dco geral do sistema (A\u2212 \u3bb2I3)X = 0¯ e´
W2 = {(\u3b1, \u3b1, \u3b1) | \u3b1 \u2208 R}.
Para cada autovalor \u3bb, o conjunto dos autovetores associados a ele acrescentado o vetor nulo
e´ o conjunto soluc¸a\u2dco do sistema linear homoge\u2c6neo (A \u2212 \u3bbIn)X = 0¯ e e´ chamado de autoespac¸o
associado ao autovalor \u3bb.
6.1.3 Diagonalizac¸a\u2dco
Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal deste cap\u131´tulo. Ja´ vimos que se uma matriz A
e´ diagonaliza´vel, enta\u2dco as colunas da matriz P , que faz a diagonalizac¸a\u2dco, sa\u2dco autovetores associados
a autovalores, que por sua vez sa\u2dco elementos da matriz diagonal D. Como a matriz P e´ invert\u131´vel,
estes n autovetores sa\u2dco L.I. Vamos mostrar, a seguir, que se a matriz A tem n autovetores L.I., enta\u2dco
ela e´ diagonaliza´vel.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 419
\u22126 \u22124 \u22122 0 2 4 6
\u22126
\u22124
\u22122
0
2
4
6
x
y
W2
W1
\u22126 \u22124 \u22122 0 2 4 6
\u22126
\u22124
\u22122
0
2
4
6
x
y
AW
AV
V = (1,\u22122)
W = (1, 2)
Figura 6.1: Autovetores associados a \u3bb1 = 3 e a \u3bb2 = \u22121 da matriz do Exemplo 6.3
$phi=50.7^o$
$	heta=-60.41^o$
z
x
y
4
4
-4
4
W1
W2
Figura 6.2: Autoespac¸os do Exemplo 6.4
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
420 Diagonalizac¸a\u2dco
Teorema 6.3. Seja A uma matriz n×n que tem n autovetores L.I. V1, . . . , Vn associados a \u3bb1, . . . , \u3bbn,
respectivamente. Enta\u2dco as matrizes
P =
[
V1 V2 . . . Vn
]
e D =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
sa\u2dco tais que
A = PDP\u22121,
ou seja A e´ diagonaliza´vel. Reciprocamente, se A e´ diagonaliza´vel, enta\u2dco ela possui n autovetores
linearmente independentes.
Demonstrac¸a\u2dco. Suponha que V1, . . . , Vn sa\u2dco n autovetores linearmente independentes associados
a \u3bb1, . . . , \u3bbn, respectivamente. Vamos definir as matrizes
P =
[
V1 V2 . . . Vn
]
e D =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 421
Como AVj = \u3bbjVj , para j = 1, . . . , n, enta\u2dco
AP = A
[
V1 V2 . . . Vn
]
=
[
AV1 AV2 . . . AVn
]
=
[
\u3bb1V1 \u3bb2V2 . . . \u3bbnVn
]
=
[
V1 V2 . . . Vn
]
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb = PD.
Como V1, . . . , Vn sa\u2dco L.I., a matriz P e´ invert\u131´vel. Assim, multiplicando a equac¸a\u2dco anterior por P\u22121 a`
direita obtemos
A = PDP\u22121.
Ou seja, a matriz A e´ diagonaliza´vel.
Vamos, agora, provar que se A e´ diagonaliza´vel, enta\u2dco ela possui n autovetores L.I. Se a matriz
A e´ diagonaliza´vel, enta\u2dco existe uma matriz P tal que
A = PDP\u22121 , (6.9)
em que D e´ uma matriz diagonal. Multiplicando a` direita por P ambos os membros da equac¸a\u2dco
anterior, obtemos
AP = PD . (6.10)
Sejam
D =
\uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb e P = [ V1 V2 . . . Vn ] ,
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
422 Diagonalizac¸a\u2dco
em que Vj e´ a coluna j de P . Usando as