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2015-1/Engenharia Civil/prova-finalA.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil Prof. Vicente Helano 03 de julho de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 4,0 2,0 2,0 10,0 Pontuação obtida Avaliação Final – Prova A Questão 1 (2,0 pontos). Considere a matriz: A= 4 −1 −1−1 4 −1 −1 −1 4 . a) Determine a fatoração LU de A usando pivotamento parcial escalado. b) Determine a fatoração de Cholesky de A. Questão 2 (2,0 pontos). Determine a menor raíz positiva de f (x)= x2+10cos(x) usando o método do ponto fixo, para uma função de iteração apropriada g, com precisão de 10−2. Questão 3 (4,0 pontos). Considere a função f (x) = 1x+4 definida sobre o intervalo [0,2]. a) Obtenha o polinômio de grau máximo 2 que melhor aproxima a função f (x) segundo o método dos mínimos quadrados. (1,0 ponto) b) Determine o número de sub-intervalos n e o tamanho do passo h necessários para aproximar a integral ∫ 2 0 f (x)dx com precisão de 10 −2. (0,7 pontos) c) Aproxime ∫ 2 0 f (x)dx trocando f na integral pelo polinômio obtido no item (a). (1,0 ponto) d) Aproxime ∫ 2 0 f (x)dx usando a regra do trapézio composta com os parâmetros obtidos no item (b). (1,0 ponto) e) Qual foi a melhor aproximação para ∫ 2 0 f (x)dx? A aproximação do item (c) ou a do item (d)? (0,3 pontos) Questão 4 (2,0 pontos). Considere o seguinte problema de valor inicial: y′′+2ty′− y= 5t y(0) = 1 y′(1) = 4 Calcule y(1) usando h= 0,25 com o método de Taylor de 2a ordem. 1 de 1 2015-1/Engenharia Civil/prova-finalB.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil Prof. Vicente Helano 06 de julho de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0 Pontuação obtida Avaliação Final – Prova B Questão 1 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= α 1 0β 2 1 0 1 2 . a) Determine todos os valores de α e β para os quais a matriz A (i) é diagonal estritamente dominante, (ii) satisfaz o critério de Sassenfeld, (iii) é positiva definida. (1,25 pontos) b) Determine a fatoração de Cholesky de A usando os menores valores inteiros positivos pos- síveis para alpha e beta. (1,25 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função escalar real f (x) = 3x2− ex. a) Determine um intervalo [a,b], a,b > 0, no qual o método do ponto fixo convirja. (1,25 pontos) b) Aplique o método do ponto fixo no intervalo obtido no item (a) para determinar uma raiz ξ de f com precisão de 10−2. (1,25 pontos) Questão 3 (2,5 pontos). Dada a função f (x) = sen(3x) definida sobre o intervalo [0,2pi], deter- mine: a) O polinômio de grau 4 que melhor aproxima a função f (x) usando o método das diferenças divididas de Newton. Justifique a escolha dos pontos amostrais. (1,25 pontos) b) A projeção projW f (x), onde W = [1,cos(x),sen(x)], sem recorrer ao processo de ortogona- lização de Gram-Schmidt. (1,25 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil Prof. Vicente Helano 06 de julho de 2015 Questão 4 (2,5 pontos). A função erro é, normalmente, definida como: erf(x) = 2√ pi ∫ x 0 e−t 2 dt, mas esta também pode ser dada por meio do seguinte problema de valor inicial: y′(x) = 2√ pi e−x 2 , y(0) = 0. a) Calcule y(1) usando h= 0,25 com o método de Taylor de 3a ordem. (1,25 pontos) b) Determine um limite superior para o módulo do erro absoluto cometido pelo truncamento da série de Taylor. (1,25 pontos) 2 de 2 2015-1/Engenharia Civil/prova1-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia Civil ECI0019 – Métodos Numéricos Prof. Vicente Helano 8 de maio de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico decimal que usa representação nor- malizada de ponto flutuante com três dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e expoentes variando entre -3 e 4. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções (por exemplo, o zero e ±∞). Este formato possui números subnormais. a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos) b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos) c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos) d) Dados x = 1,00 e y = 0,555, defina x0 = y e xi = (xi−1 y)⊕ y, para 1 ≤ i ≤ 5. Calcule o valor de x5 e determine o erro relativo associado. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). O algoritmo a seguir supostamente realiza o escalonamento de Gauss usando pivotamento parcial escalado. 1 for k = 1 to n−1 2 rmax = 0 3 for i = k to n 4 r = |aσi,k/sσi | 5 if r > rmax 6 rmax = r 7 j = i 8 trocar(σ j,σk) 9 for i= k+1 to n 10 ` = aσi,k/aσk,k 11 for j = k+1 to n 12 aσi, j = aσi, j− `aσk, j 13 bσi = bσi− `bσk a) Determine e corrija o erro do algoritmo. (0,5 pontos) b) Calcule o número exato de operações em ponto flutuante realizadas pelo algoritmo. (2,0 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia Civil ECI0019 – Métodos Numéricos Prof. Vicente Helano 8 de maio de 2015 Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 1 2 0−2 1 5 0 −5 1 x1x2 x3 = 12 −1 . a) Determine a decomposição LU de A usando pivotamento parcial simples. (1,0 ponto) b) Calcule o determinante de A usando a decomposição LU obtida anteriormente. (0,5 pontos) c) Resolva o sistema acima utilizando a decomposição LU. (1,0 ponto) Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 2 a −1a 2 1 −1 1 4 x1x2 x3 = 30 2 , a ∈ R. a) Determine todos os valores de a para os quais a matriz A é definida positiva. (1,0 ponto) b) Determine a decomposição de Cholesky de A. (1,0 ponto) c) Usando a decomposição obtida anteriormente, resolva o sistema acima. (1,0 ponto) 2 de 2 2015-1/Engenharia Civil/prova1.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil Prof. Vicente Helano 23 de abril de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico decimal que usa representação norma- lizada de ponto flutuante com três dígitos na mantissa e expoentes variando entre -3 e 4. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções (por exemplo, o zero e ±∞). Este formato possui números sub- normais. a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos) b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos) c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos) d) Usando esta representação, calcule √ 9,01−3,00 e o erro relativo associado. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). O algoritmo a seguir calcula a decomposição LDLᵀ de uma matriz simé- trica definida positiva A. 1 for i = 1 to n 2 `ii = 1 3 s = aii 4 for j = 1 to i−1 5 s = s−d j j`2i j 6 dii = s 7 for j = i+1 to n 8 `i j = 0 9 s = a ji 10 for k = 1 to i−1 11 s = s− ` jkdkk`ik 12 ` ji = s/dii a) Aplique o algoritmo para determinar a decomposição de: (1,0 ponto) A= 4 2 12 4 1 1 1 1 b) Calcule o número exato de operações em ponto flutuante realizadas pelo algoritmo. (1,5 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil Prof. Vicente Helano 23 de abril de 2015 Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo:1 2 −11 2 3 2 −1 4 x1x2 x3 = 2−1 2 . a) Determine a decomposição LU de A usando pivotamento parcial escalado. (1,5 pontos) b) Resolva o sistema acima utilizando a decomposição LU obtida. (1,0 ponto) Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo:a 1 0b 2 1 0 1 2 x1x2 x3 = 12 −1 , a ∈ R. a) Determine todos os valores de a e b para os quais a matriz A é definida positiva. (1,0 ponto) b) Determine a decomposição de Cholesky de A quando a= 2 e b= 1. (1,0 ponto) c) Usando a decomposição obtida anteriormente, resolva o sistema acima. (1,0 ponto) 2 de 2 2015-1/Engenharia Civil/prova2-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil Prof. Vicente Helano 26 de junho de 2015 Questão 1 2 3 TOTAL Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da 2a Avaliação Progressiva Questão 1 (3,0 pontos). Considere o polinômio: P(x) = 16x4+88x3+159x2+76x−240. a) Sem esboçar o gráfico de P, determine quantas raízes reais, negativas e positivas, P possui. (1,0 ponto) b) Determine intervalos que contenham uma única raiz real positiva ξ1 e uma única raiz real negativa ξ2. Não esqueça de justificar a unicidade. (1,0 ponto) c) Use o método de Newton para determinar ξ1 e ξ2 com precisão de 10−2? (1,0 ponto) 1 de 3 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil Prof. Vicente Helano 26 de junho de 2015 Questão 2 (3,0 pontos). Considere a função: f (x) = x− log(x+1)−3, onde log denota o logarítmo na base 10. a) Mostre que f (x) possui ao menos uma raiz no intervalo [0,9]. (0,5 pontos) b) Analisando f ′(x), mostre que f (x) possui uma única raiz no intervalo [0,9]. (1,0 ponto) c) Defina uma função de iteração para o método de ponto fixo e a função de iteração do método de Newton. (0,5 pontos) d) Realize três iterações dos métodos de ponto fixo e de Newton utilizando as funções definidas no item (c) e partindo de x0 = 3,7. Os métodos convergem? (1,0 ponto) 2 de 3 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil Prof. Vicente Helano 26 de junho de 2015 Questão 3 (4,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo:3 1 11 a 0 0 a 3 x1x2 x3 = 12 3 a) Determine o menor número inteiro a de modo que o sistema acima possa ser resolvido pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. (1,0 ponto) b) Realize três iterações do método de Gauss-Seidel com x(0) = (0,1,0), usando três dígitos significativos e arredondamento para o mais próximo. (1,5 pontos) c) Calcule uma estimativa para o número de condição da matriz A usando a fórmula: κ(A)≈ ‖e˜‖∞‖x˜‖∞ 10 t , com t = 3 e onde x˜ é a solução obtida no item (b). (1,5 pontos) 3 de 3 2015-1/Engenharia Civil/prova2.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil Prof. Vicente Helano 2 de junho de 2015 Questão 1 2 3 TOTAL Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0 Pontuação obtida 2a Avaliação Progressiva Questão 1 (3,0 pontos). Considere o sistema linear Ax= b a seguir.−1 4 3−5 −3 8 −6 2 3 x1x2 x3 = 4−3 3 a) A matriz A satisfaz o critério das linhas para alguma permutação de suas linhas? (1,0 ponto) b) Existe alguma permutação das linhas de A a qual satisfaz o critério de Sassenfeld? (1,0 ponto) c) Realize uma iteração do método de Gauss-Seidel a partir de x(0) = (1,0,0). (1,0 ponto) Questão 2 (3,0 pontos). Considere o polinômio: P(x) = 230x4 +18x3 +9x2−221x−9. a) Sem esboçar o gráfico de P, conclua que este possui ao menos duas raízes reais, uma nega- tiva e uma positiva. (1,0 ponto) b) Determine intervalos que contenham uma única raiz real positiva ξ1 e uma única raiz real negativa ξ2. Não esqueça de justificar a unicidade. (1,0 ponto) c) Usando o método da bisseção a partir dos intervalos que você determinou no item (b), quan- tas iterações seriam suficientes para determinar ξ1 e ξ2 com precisão de 10−8? (1,0 ponto) Questão 3 (4,0 pontos). A função f (x) = 4x2− ex− e−x possui dois zeros positivos ξ1 e ξ2. a) Aplique o método de Newton para aproximar ξ1 com precisão de 10−2 usando x0 = 0. (1,0 ponto) b) Aproxime ξ2 com precisão de 10−2 usando o método de Newton com x0 = 5. (1,0 ponto) c) O método de ponto fixo para a função de iteração xk+1 = 12 √ exk + e−xk poderia ser aplicado para determinar ξ1 e ξ2 com garantia de convergência? (2,0 pontos) Fórmulas auxiliares: cosh(x) = ex+ e−x 2 sinh(x) = ex− e−x 2 cosh2(x)− sinh2(x) = 1 1 de 1 2015-1/Engenharia Civil/prova3-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Curso de Engenharia Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil Prof. Vicente Helano 03 de julho de 2015 Questão 1 2 TOTAL Pontuação máxima 3,0 7,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da Avaliação Progressiva 3 Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os seus cálculos. Questão 1 (3,0 pontos). Considere o seguinte problema de valor inicial: y′′+2ty′− y= 5t y(0) = 1 y′(1) = 4 Calcule y(1) usando h= 0,25 com o método de Taylor de 3a ordem. Questão 2 (7,0 pontos). Considere a função f (x) = 1x+4 definida sobre o intervalo [0,2]. a) Obtenha o polinômio de grau máximo 2 que melhor aproxima a função f (x) segundo o método dos mínimos quadrados discreto para quatro amostras espaçadas uniformemente em [0,2]. (1,5 pontos) b) Obtenha o polinômio de grau máximo 2 que melhor aproxima a função f (x) segundo o método dos mínimos quadrados contínuo. (1,5 pontos) c) Determine o número de sub-intervalos n e o tamanho do passo h necessários para aproximar a integral ∫ 2 0 f (x)dx com precisão de 10 −2. (0,7 pontos) d) Aproxime ∫ 2 0 f (x)dx trocando f na integral pelo polinômio obtido no item (a). (1,0 ponto) e) Aproxime ∫ 2 0 f (x)dx trocando f na integral pelo polinômio obtido no item (b). (1,0 ponto) f) Aproxime ∫ 2 0 f (x)dx usando a regra do trapézio composta com os parâmetros obtidos no item (c). (1,0 ponto) g) Qual foi a melhor aproximação para ∫ 2 0 f (x)dx? A aproximação do item (d), (e) ou a do item (f)? (0,3 pontos) 1 de 1 2015-1/Engenharia Civil/prova3.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Curso de Engenharia Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil Prof. Vicente Helano 29 de junho de 2015 Questão 1 2 3 TOTAL Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0 Pontuação obtida Avaliação Progressiva 3 Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os seus cálculos. Questão 1 (3,0 pontos). Considere o problema de valor inicial: y′ = cos(t)− sen(y)+ t2 y(−1) = 3 a) Calcule y(0) utilizando o método de Euler melhorado com h= 1. (1,5 pontos) b) Aplique o método de Taylor de 4a ordem com h = 0,5 para determinar y(1), iniciando em x= 0 e partindo dos valores obtidos no item anterior. (1,5 pontos) Questão 2 (3,0 pontos). Dada a integral: I = ∫ 2 0 e2x sen(3x)dx, determine: a) O valor aproximado para I dado pela regra de Simpson repetida com 4 sub-intervalos. (1,5 pontos) b) A quantidade n e o tamanho h dos sub-intervalos necessários para aproximar I com precisão de 10−4 usando a regra do trapézio repetida. (1,5 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Curso de Engenharia Civil ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil Prof. Vicente Helano 29 de junho de 2015 Questão 3 (4,0 pontos). Considere a função y= f (x) = 3x3− ex definida sobre o intervalo [0,1]. x 0 0,25 0,5 0,75 1,0 y a) Sabendo que a única raiz positiva de f (x) é ξ ≈ 0,952446, construa o polinômio de Newton PN(x) de grau 2 que melhor aproxime f (x) em torno de ξ . (1,0 ponto) b) Ajuste PD(x) = a0+a1x+a2x2 aos valores da tabela acima empregando o método dos mín- imos quadrados discreto. (1,0 ponto) c) Defina o produto interno: 〈 f ,g〉= ∫ 1 0 f (x)g(x)dx, f ,g ∈ C [0,1], e calcule PC = projW f (x), onde W = [1,x,x 2]. (1,5 pontos) d) Qual das três aproximações para f melhor a aproxima em ξ? (0,5 pontos) Fórmulas [xi] = yi [xi,xi+1] = [xi+1]− [xi] xi+1− xi ... [xi,xi+1, . . . ,xi+k] = [xi+1,xi+2, . . . ,xi+k]− [xi,xi+1, . . . ,xi+k−1] xi+k− xi Pn(x) = [x0]+ n ∑ k=1 [x0,x1, . . . ,xk](x− x0)(x− x1) · · ·(x− xk−1) AᵀA= Aᵀb∫ b a f (x)dx≈ h 2 [ f (x0)+2 f (x1)+2 f (x2)+2 f (x3)+ ...+2 f (xn−1)+ f (xn) ] ∫ b a f (x)dx≈ h 3 [ f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+ ...+4 f (xn−1)+ f (xn) ] EnT =− h2 12 (b−a) f ′′(ξ ), ξ ∈ [a,b] EnS =− h4 180 (b−a) f (4)(ξ ), ξ ∈ [a,b] y˜k+1 = yk+h f (tk,yk) yk+1 = yk+ h 2 [ f (tk,yk)+ f (tk+1, y˜k+1) ] y(tk+1) = y(tk)+hy′(tk)+ h2 2! y′′(tk)+ · · · 2 de 2 2015-1/Engenharia de Materiais/prova-final.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia de Materiais EM0010 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 06 de julho de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0 Pontuação obtida Avaliação Final Questão 1 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= α 1 0β 2 1 0 1 2 . a) Determine todos os valores de α e β para os quais a matriz A (i) é diagonal estritamente dominante, (ii) satisfaz o critério de Sassenfeld, (iii) é positiva definida. (1,25 pontos) b) Determine a fatoração de Cholesky de A usando os menores valores inteiros positivos pos- síveis para alpha e beta. (1,25 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função escalar real f (x) = 3x2− ex. a) Determine um intervalo [a,b], a,b > 0, no qual o método do ponto fixo convirja. (1,25 pontos) b) Aplique o método do ponto fixo no intervalo obtido no item (a) para determinar uma raiz ξ de f com precisão de 10−2. (1,25 pontos) Questão 3 (2,5 pontos). Dada a função f (x) = sen(3x) definida sobre o intervalo [0,2pi], deter- mine: a) O polinômio de grau 4 que melhor aproxima a função f (x) usando o método das diferenças divididas de Newton. Justifique a escolha dos pontos amostrais. (1,25 pontos) b) A projeção projW f (x), onde W = [1,cos(x),sen(x)], sem recorrer ao processo de ortogona- lização de Gram-Schmidt. (1,25 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia de Materiais EM0010 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 06 de julho de 2015 Questão 4 (2,5 pontos). A função erro é, normalmente, definida como: erf(x) = 2√ pi ∫ x 0 e−t 2 dt, a) Determine uma aproximação para erf(1) usando a regra de Simpson repetida com quatro sub-intervalos. (1,25 pontos) b) Determine um limite superior para o módulo do erro absoluto cometido pela aproximação calculada no item (a). (1,25 pontos) 2 de 2 2015-1/Engenharia de Materiais/prova-final.tex~ 2015-1/Engenharia de Materiais/prova-finalB.tex~ 2015-1/Engenharia de Materiais/prova1.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Materiais EM0010 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 22 de abril de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico decimal que usa representação nor- malizada de ponto flutuante com três dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e expoentes variando entre -3 e 4. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções (por exemplo, o zero e ±∞). Este formato possui números subnormais. a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos) b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos) c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos) d) Dados x = 1,00 e y = 0,555, defina x0 = y e xi = (xi−1 y)⊕ y, para 1 ≤ i ≤ 5. Calcule o valor de x5 e determine o erro relativo associado. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). O algoritmo a seguir supostamente realiza o escalonamento de Gauss usando pivotamento parcial escalado. 1 for k = 1 to n−1 2 rmax = 0 3 for i = k to n 4 r = |aσi,k/sσi | 5 if r > rmax 6 rmax = r 7 j = i 8 trocar(σ j,σk) 9 for i= k+1 to n 10 ` = aσi,k/aσk,k 11 for j = k+1 to n 12 aσi, j = aσi, j− `aσk, j 13 bσi = bσi− `bσk a) Determine e corrija o erro do algoritmo. (0,5 pontos) b) Calcule o número exato de operações em ponto flutuante realizadas pelo algoritmo. (2,0 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Engenharia de Materiais EM0010 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 22 de abril de 2015 Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 1 2 0−2 1 5 0 −5 1 x1x2 x3 = 12 −1 . a) Determine a decomposição LU de A usando pivotamento parcial simples. (1,0 ponto) b) Calcule o determinante de A usando a decomposição LU obtida anteriormente. (0,5 pontos) c) Resolva o sistema acima utilizando a decomposição LU. (1,0 ponto) Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 2 a −1a 2 1 −1 1 4 x1x2 x3 = 30 2 , a ∈ R. a) Determine todos os valores de a para os quais a matriz A é definida positiva. (1,0 ponto) b) Determine a decomposição de Cholesky de A. (1,0 ponto) c) Usando a decomposição obtida anteriormente, resolva o sistema acima. (1,0 ponto) 2 de 2 2015-1/Engenharia de Materiais/prova1.tex~ 2015-1/Engenharia de Materiais/prova1b.tex~ 2015-1/Engenharia de Materiais/prova2.tex~ 2015-1/Engenharia de Materiais/prova3.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Curso de Engenharia de Materiais EM0010 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 29 de junho de 2015 Questão 1 2 3 TOTAL Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0 Pontuação obtida Avaliação Progressiva 3 Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os seus cálculos. Questão 1 (3,0 pontos). Dada a função y= f (x) = e− x2 2 definida sobre o intervalo [0,2], preencha a tabela abaixo. x 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 y a) Construa a tabela de diferenças divididas com os dados acima. (1,5 pontos) b) Com base nesta tabela, determine o polinômio de Newton PN que melhor aproxima f (x) em [0,2]. Justifique a escolha do grau. (1,5 pontos) Questão 2 (3,0 pontos). a) Ajuste um polinômio PQ de grau 2 aos pontos da tabela da Questão 1. (2,0 pontos) b) Qual aproximação da função f da Questão 1 possui menor erro absoluto em x= 1,2, PQ ou PN? (1,0 ponto) Questão 3 (4,0 pontos). Considere a integral: I = ∫ 2 0 e− x2 2 dx. a) Calcule I usando a regra do trapézio repetida com 4 subintervalos. (1,0 ponto) b) Calcule I usando a regra de Simpson repetida com 4 subintervalos. (1,0 ponto) c) Determine o número de subintervalos necessários para garantir um erro menor do que 10−3 em ambos os métodos. (2,0 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Curso de Engenharia de Materiais EM0010 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 29 de junho de 2015 Fórmulas AᵀA= Aᵀb [xi] = yi [xi,xi+1] = [xi+1]− [xi] xi+1− xi ... [xi,xi+1, . . . ,xi+k] = [xi+1,xi+2, . . . ,xi+k]− [xi,xi+1, . . . ,xi+k−1] xi+k− xi Pn(x) = [x0]+ n ∑ k=1 [x0,x1, . . . ,xk](x− x0)(x− x1) · · ·(x− xk−1)∫ b a f (x)dx≈ h 2 [ f (x0)+2 f (x1)+2 f (x2)+2 f (x3)+ ...+2 f (xn−1)+ f (xn) ] ∫ b a f (x)dx≈ h 3 [ f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+ ...+4 f (xn−1)+ f (xn) ] EnT =− h2 12 (b−a) f ′′(ξ ), ξ ∈ [a,b] EnS =− h4 180 (b−a) f (4)(ξ ), ξ ∈ [a,b] 2 de 2 2015-1/Engenharia de Materiais/prova3.tex~ 2015-1/prova-final.tex~ 2015-1/prova-finalA.tex~ 2015-1/prova-finalB.tex~ 2015-1/prova1-segunda-chamada.tex~ 2015-1/prova1.tex~ 2015-1/prova2.tex~ 2015-1/prova2b.tex~ 2015-1/prova3-segunda-chamada.tex~ 2015-2/Engenharia Civil/prova1-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 8 de dezembro de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto flutuante com 3 bits na mantissa (incluindo o bit implícito), 3 bits para o expoente e 1 bit para o sinal. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais. a) Determine a precisão de máquina ε . (0,5 pontos) b) Determine um número real x para o qual fl(x) resultará no maior erro absoluto de arredon- damento. (0,5 pontos) c) Qual é o menor real positivo não nulo que pode ser representado de modo exato neste for- mato? (0,5 pontos) d) Represente x= (0,1101101)2×26 neste formato. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Determine uma raiz real positiva de x2−4xsenx+(2senx)2 = 0 usando (a) o método gráfico, (b) cinco iterações do método da bisseção, com tolerância de 10−2. Quantas iterações seriam necessárias para que atingíssemos a precisão de 10−10 para esta raiz? Questão 3 (2,5 pontos). Desejamos aproximar (21)1/3 usando o método do ponto fixo. Estabeleça duas funções de iteração de ponto fixo e analise a convergência de cada uma. Qual das duas funções convergirá mais rapidamente? Questão 4 (3,0 pontos). Você projetou um tanque esférico para armazenar petróleo para uma pequena refinaria. O volume ocupado por uma certa quantidade de petróleo pode ser calculado usando: V = pih2 (3R−h) 3 , onde V é o volume, h é a altura máxima de uma coluna de petróleo no interior do tanque e R é o raio do tanque. Assumindo R = 3 m, desejamos determinar a altura h necessária para que tenhamos 30 m3 de petróleo. a) Expresse o problema acima como um problema de zero de função ( f (h) = 0) e determine, pelo método gráfico, um intervalo que contenha o zero procurado. (1,0 ponto) b) Mostre que f (h) possui uma única raiz no intervalo obtido no item (a). (1,0 ponto) c) Calcule a raiz de f com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no má- ximo 5 iterações. (1,0 ponto) 1 de 1 2015-2/Engenharia Civil/prova1.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 18 de novembro de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e 3 dígitos para o expoente. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais. a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos) b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos) c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos) d) Usando este formato, calcule (5,01)10� (2,5)10 e o erro relativo associado. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Seja f (x) = (x+2)(x+1)x(x−1)3(x−2). Indique para quais raízes de f o método da bisseção converge quando aplicado aos intervalos: a) [−3;2,5] b) [−2,5;3] c) [−1,75;1,5] d) [−1,5;1,75] Questão 3 (2,5 pontos). Considere a seguinte função de iteração de ponto fixo: g(x) = 2− ex+ x2 3 . a) Determine um intervalo [a,b] para o qual o método do ponto fixo é convergente. b) Sabendo que: |pn− p| ≤ cn max{p0−a,b− p0} , onde c é tal que |g′(x)| ≤ c < 1, x ∈ [a,b], estime o número de iterações necessárias para obtermos uma aproximação com precisão de 10−10 para a raiz do item (a). Questão 4 (3,0 pontos). Um projétil é lançado com velocidade v0 e ângulo α em um túnel de altura h e atinge seu alcance máximo quando α é tal que sen(α) = √ 2gh/v02, onde g= 9,8 m/s2 é a aceleração da gravidade. Tomando v0 = 10 m/s e h= 1 m, responda o que se pede. a) Mostre que f (x) possui ao menos uma raiz no intervalo (0,pi/2). (1,0 ponto) b) Mostre que f (x) possui uma única raiz no intervalo (0,pi/2). (1,0 ponto) c) Calcule α com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no máximo 5 iterações. (1,0 ponto) 1 de 1 2015-2/Engenharia Civil/prova2-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 3 de fevereiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da 2a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Seja função f (x) = e−x− sen(x). Encontre, se existir, a raiz aproximada de f (x) mais próxima da origem no primeiro quadrante, utilizando para isso, interpolação inversa com o polinômio interpolador de Lagrange. Considere um tabelamento com 3 pontos, utilizando quatro casas decimais de precisão e arredondamento para o mais próximo. Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função y= f (x) definida pela tabela: x −2 0 2 4 6 y 16 4 0 4 16 Usando 3 casas decimais e arredondamento para o mais próximo, faça: a) Obtenha, usando todos os pontos do tabelamento, um polinômio interpolador P(x) que apro- xima a função f . (1,0 ponto) b) Obtenha o polinômio de grau 2, Q(x), que melhor aproxima f . (1,0 ponto) c) Qual dos dois polinômios, P(x) ou Q(x), melhor aproxima os zeros de f no intervalo [−2,6]? (0,5 pontos) Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 1 1 1 1 7 . a) Calcule a decomposição LU de A. (1,0 ponto) b) Usando a decomposição obtida no item anterior, calule a decomposição de Cholesky de A. (1,0 ponto) c) Obtenha um limitante para o número de condição κ∞(A) por intermédio da decomposição obtida no item anterior. (0,5 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 3 de fevereiro de 2016 Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema5 1 21 4 0 2 0 2 x0x1 x2 = 1012 12 a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema. (1,0 ponto) b) Para a condição inicial x(0) = [ 0 0 0 ]ᵀ, determine o número de iterações k suficiente para que ‖e(k)‖< 10−10. (Dica: use o fato de que e(k) =Ge(k−1) e e(0) = Vc, onde G é a matriz de iteração de Gauss-Seidel, e(k) = x−x(k) e V é a matrix de autovetores de G). (2,0 pontos) 2 de 2 2015-2/Engenharia Civil/prova2.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 22 de janeiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 2a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Seja f (x) = x3 +2x2 + x+1. a) Determine o polinômio P(x) de grau 4 que interpola f nos pontos {−2,−1,0,1,2}. (1,0 ponto) b) Determine o polinômio Q(x) de grau 2 que interpola f nos pontos {−1,0,1}. (1,0 ponto) Questão 2 (2,5 pontos). Ajuste a função f (x) = a0 +a1 cos(x)+a2 sen(x) aos pontos da tabela: x 0 1 2 3 4 y 0.0 1.0 5.5 13.0 23.5 Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= 1 1 21 4 2 2 2 6 . a) Calcule a decomposição de Cholesky da matriz A. (1,0 ponto) b) Resolva a equação AA−1 = I para calcular a inversa de A usando a decomposição obtida no item anterior. (1,5 pontos) Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema:2 1 11 3 0 1 0 4 x0x1 x2 = 510 10 a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema. (0,5 pontos) b) Para um mesmo valor inicial x(0), qual dos dois métodos convergirá mais rápido: Jordan ou Gauss-Seidel? (Aviso: as soluções que serão aceitas para esta questão devem utilizar o conceito do raio espectral). (2,5 pontos) 1 de 1 2015-2/Engenharia Civil/prova3-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 17 de fevereiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da 3a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,5 pontos). Aplique a regra do Trapézio para calcular a integral:∫ 1 0 cos(x)dx 3 √ x2 usando 4 subintervalos. Questão 2 (2,5 pontos). Determine constantes w1, w2, x1 e x2 para a quadratura:∫ 1 0 f (x) log ( 1 x ) dx≈ w1 f (x1)+w2 f (x2). Questão 3 (2,5 pontos). Resolva, numericamente, o PVI:{( y′ )2−2ty′− ycos(t) = 0, 0≤ t ≤ 1, y(0) = 0. Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:{ y′(t) = 11+t2 −2y2, 0≤ t ≤ 1, y(0) = 0. Calcule y(1) usando o método de Taylor de ordem 2 e h= 0,5. 1 de 1 2015-2/Engenharia Civil/prova3.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 12 de fevereiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0 Pontuação obtida 3a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,5 pontos). Determine quantos pontos são suficientes para que possamos calcular: Z pi 0 esen(x)dx com erro menor do que 0;01 usando a regra do Trapézio composta. Questão 2 (2,5 pontos). Determine constantes w1 e x1 tais que a quadratura: Z 1 0 p x f (x)dx� w1 f (x1) seja exata para qualquer polinômio linear. Questão 3 (2,5 pontos). Considere o PVI: 8 < : y0(t) = 1 t2 � y t � y2, 1� t � 2, y(1) =�1, cuja solução exata é y(t) =�1=t. Use o método de Euler regressivo com h= 0;5 para determinar um valor aproximado para y(0;5) e calcule o erro absoluto desta aproximação. Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI: ( y0(t) = λy(t), t > 0, y(0) = α , e um método iterativo definido pela equação: yk+1 = yk+h f (tk+1;yk+h f (tk+1;yk)), com Re(λ )< 0 e tk = kh, k = 0;1; : : : . a) Mostre que yn = α h 1+λh+(λh)2 in , para n 2 N. b) Determine a região de estabilidade do método acima. c) Mostre que o método não é A-estável. 1 de 1 2015-2/Engenharia de Materiais/prova-final.tex~ 2015-2/Engenharia de Materiais/prova-finalB.tex~ 2015-2/Engenharia de Materiais/prova1.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 18 de novembro de 2015 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto flutuante com 3 bits na mantissa (incluindo o bit implícito), 3 bits para o expoente e 1 bit para o sinal. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais. a) Determine a precisão de máquina ε . (0,5 pontos) b) Determine um número real x para o qual fl(x) resultará no maior erro absoluto de arredon- damento. (0,5 pontos) c) Qual é o menor real positivo não nulo que pode ser representado de modo exato neste for- mato? (0,5 pontos) d) Represente x= (0,1101101)2×2−4 neste formato. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Determine aproximações para a raiz real positiva de ln(x4) = 0,7 usando (a) o método gráfico, (b) cinco iterações do método da bisseção. Quantas iterações seriam neces- sárias para que atingíssemos a precisão de 10−10 para esta raiz? Questão 3 (2,5 pontos). Desejamos aproximar (21)1/3 usando o método do ponto fixo. Estabeleça duas funções de iteração de ponto fixo e analise a convergência de cada uma. Qual das duas funções convergirá mais rapidamente? Questão 4 (3,0 pontos). Você projetou um tanque esférico para armazenar petróleo para uma pequena refinaria. O volume ocupado por uma certa quantidade de petróleo pode ser calculado usando: V = pih2 (3R−h) 3 , onde V é o volume, h é a altura máxima de uma coluna de petróleo no interior do tanque e R é o raio do tanque. Assumindo R = 3 m, desejamos determinar a altura h necessária para que tenhamos 30 m3 de petróleo. a) Expresse o problema acima como um problema de zero de função ( f (h) = 0) e determine, pelo método gráfico, um intervalo que contenha o zero procurado. (1,0 ponto) b) Mostre que f (h) possui uma única raiz no intervalo obtido no item (a). (1,0 ponto) c) Calcule a raiz de f com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no má- ximo 5 iterações. (1,0 ponto) 1 de 1 2015-2/Engenharia de Materiais/prova1.tex~ 2015-2/Engenharia de Materiais/prova1b.tex~ 2015-2/Engenharia de Materiais/prova2-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia de Materiais EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 12 de fevereiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da Avaliação Progressiva 2 Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os seus cálculos. Questão 1 (2,0 pontos). Seja função f (x) = e−x− sen(x). Encontre, se existir, a raiz aproximada de f (x) mais próxima da origem no primeiro quadrante, utilizando para isso, interpolação inversa com o polinômio interpolador de Lagrange. Considere um tabelamento com 3 pontos, utilizando quatro casas decimais de precisão e arredondamento para o mais próximo. Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função y= f (x) definida pela tabela: x −2 0 2 4 6 y 16 4 0 4 16 Usando 3 casas decimais e arredondamento para o mais próximo, faça: a) Obtenha, usando todos os pontos do tabelamento, um polinômio interpolador P(x) que apro- xima a função f . (1,0 ponto) b) Obtenha o polinômio de grau 2, Q(x), que melhor aproxima f . (1,0 ponto) c) Qual dos dois polinômios, P(x) ou Q(x), melhor aproxima os zeros de f no intervalo [−2,6]? (0,5 pontos) Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 1 1 1 1 7 . a) Calcule a decomposição LU de A usando pivotamento parcial escalado. (1,25 pontos) b) Usando a decomposição obtida no item anterior, calule a decomposição de Cholesky de A. (1,25 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia de Materiais EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 12 de fevereiro de 2016 Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema5 1 21 4 0 2 0 2 x0x1 x2 = 1012 12 a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema. (1,0 ponto) b) Para a condição inicial x(0) = [ 0 0 0 ]ᵀ, qual dos dois métodos convergirá mais rapida- mente para a solução exata? (2,0 pontos) 2 de 2 2015-2/Engenharia de Materiais/prova2-segunda-chamada.tex~ 2015-2/Engenharia de Materiais/prova2.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 20 de janeiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 2a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere a tabela: x −2 −1 0 1 2 y 2 14 4 2 2 a) Determine um polinômio P(x) que assuma os valores acima. (1,0 ponto) b) Determine um polinômio Q(x) que, além de assumir os valores acima, satisfaça Q(3) = 10. (1,0 ponto) Questão 2 (2,5 pontos). Dado o produto interno: 〈 f ,g〉= ∫ 2 −2 f (x)g(x)dx, determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxima f (x) = x1/3. Qual é o erro cometido por este polinômio em x= 1? Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 7 . a) Calcule a decomposição LU de A. (0,75 pontos) b) Mostre que A é definida positiva. (0,5 pontos) c) Usando a decomposição obtida no item anterior, calule a decomposição de Cholesky de A. (0,75 pontos) d) Obtenha um limitante para o número de condição κ∞(A) por intermédio da decomposição obtida no item anterior. (0,5 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 20 de janeiro de 2016 Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema5 1 10 4 1 0 0 3 x0x1 x2 = 1012 12 a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema. (0,75 pontos) b) Usando x(0) = [ 0 0 0 ] , realize 3 iterações do método de Gauss-Seidel. (0,75 pontos) c) Para a condição inicial do item anterior, determine um número de iterações k suficiente para que ‖e(k)‖< 10−10. (Dica: use o fato de que e(k) =Ge(k−1) e e(0) = Vc, onde G é a matriz de iteração de Gauss-Seidel, e(k) = x−x(k) e V é a matrix de autovetores de G). (1,5 pontos) 2 de 2 2015-2/Engenharia de Materiais/prova2.tex~ 2015-2/Engenharia de Materiais/prova3.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 5 de fevereiro de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0 Pontuação obtida 3a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,5 pontos). Determine quantos pontos são suficientes para que possamos calcular:∫ 2 1 ex x dx com erro menor do que 0,01 usando a regra do Trapézio composta. Questão 2 (2,5 pontos). Determine constantes x2, w1 e w2 tais que a quadratura:∫ 1 0 f (x)dx≈ w1 f (0)+w2 f (x2) seja exata para polinômios com o maior grau possível. Questão 3 (2,5 pontos). Considere o PVI:{ y′(t) = 2t y(t)+ t 2et , 1≤ t ≤ 2, y(1) = 0, cuja solução exata é y(t) = t2 (et − e). Use o método de Taylor de segunda ordem com h= 0,5 para resolver numericamente o PVI acima e calcule o erro absoluto em cada ponto de sua aproximação. Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:{ y′(t) = λy(t), t > 0, y(0) = 1. Determine a região de estabilidade do método de Euler quando aplicado ao PVI acima com λ = −1+ i. 1 de 1 2015-2/Engenharia de Materiais/prova3.tex~ 2015-2/prova-final.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080/EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 19 de fevereiro de 2016 Questão 1 2 3 4 5 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 10,0 Pontuação obtida Avaliação Final Questão 1 (2,0 pontos). Considere a função f (x) = 2x� cos(x). a) Prove que f possui um único zero real ξ em I = [0;pi=4]. b) Prove que existe x0 2 I, x0 6= ξ , para o qual o método do ponto fixo converge para ξ . Questão 2 (2,0 pontos). Considere o sistema: 2 4 1 2 �2 1 1 1 2 2 1 3 5 2 4 x0 x1 x2 3 5 = 2 4 7 2 5 3 5 a) A matriz dos coeficientes é mal condicionada? (1,0 ponto) b) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema dado. (1,0 ponto) Questão 3 (2,0 pontos). Determine constantes a, b, c e d tais que a quadratura: Z 1 �1 f (x)dx� a f (�1)+b f (1)+ c f 0(�1)+d f 0(1) seja exata para polinômios cúbicos. 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080/EM0014 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 19 de fevereiro de 2016 Questão 4 (2,0 pontos). Considere a função f (x) = sen(x) restrita ao intervalo [0;1;6875]. a) Seja f 2 C (n+1)[a;b] satisfazendo j f (n+1)(x)j �M. Seja P(x) o polinômio de grau � n que interpola f em n+1 pontos regularmente espaçados em [a;b], incluindo as extremidades do intervalo. Então em [a;b], j f (x)�P(x)j � 1 4(n+1) Mhn+1 onde h= (b�a)=n é o espaçamento entre os pontos. Calcule o erro da interpolação quando f (x) = sen(x) é substituída por um polinômio definido por 10 pontos espaçados regular- mente em [0;1;6875]. b) Ajuste a função g(x) = a0+a1 cos(x) aos pontos da tabela abaixo: x 0,5 1,0 f (x) 0,4794255 0,8414710 c) Qual aproximação é melhor para calcular f (0;7)? P(x) ou g(x)? Utilize o valor calculado pela sua calculadora como referência exata. Questão 5 (2,0 pontos). Considere o PVI: ( y0 = t2et + y, t � 1, y(0) = 1, Use o método de Taylor de ordem 3 com h = 0;1 para determinar um valor aproximado para y(0;1). 2 de 2 2015-2/prova-final.tex~ 2015-2/prova1-segunda-chamada.tex~ 2015-2/prova1.tex~ 2015-2/prova2-segunda-chamada.tex~ 2015-2/prova2.tex~ 2015-2/prova3-segunda-chamada.tex~ 2015-2/prova3.tex~ 2016-1/Engenharia Civil/prova-final.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 21 de julho de 2016 Questão 1 2 3 4 5 6 TOTAL Pontuação máxima 1,0 2,0 2,25 2,0 1,5 1,25 10,0 Pontuação obtida Avaliação Final Questão 1 (1,0 ponto). Considere um formato numérico binário de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e 3 dígitos para o expoente. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais e o arredondamento é realizado sempre para o mais próximo, com empates resolvidos segundo a regra do par mais próximo. (a) Quantos números distintos são representados de modo exato neste formato? (0,25 pontos) (b) Determine o maior e o menor número positivo deste formato. (0,25 pontos) (c) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,25 pontos) (d) Usando este formato, determine fl(3,4). (0,25 pontos) 1 de 6 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 21 de julho de 2016 Questão 2 (2,0 pontos). Considere o problema de calcular 3 √ 3 resolvendo a equação: f (x) = x3−3 = 0 (a) Aplique o método da bissecção para obter uma solução de f (x) = 0 com precisão de 10−3, iniciando com o intervalo [1,2;1,6]. (0,75 pontos) (b) Construa uma função g(x) de modo que 3 √ 3 seja um ponto fixo de g(x) e mostre que o método do ponto fixo converge para a função de iteração obtida. (1,25 pontos) 2 de 6 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 21 de julho de 2016 Questão 3 (2,25 pontos). Considere a função f (x) = xe2x , x ∈ [−1,1], e o produto interno 〈 f ,g〉= ∫ 1 −1 f (x)g(x)dx. (a) Usando diferenças divididas, obtenha uma aproximação para a função f (x) usando 4 pontos. (1,0 ponto) (b) Obtenha a melhor aproximação da função f (x) em P3 segundo o método dos mínimos qua- drados. (1,0 ponto) (c) Calcule o erro absoluto exato de ambas as aproximações nos pontos −1, 0 e 1. Qual delas melhor aproxima f (x) nestes pontos? (0,25 pontos) 3 de 6 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 21 de julho de 2016 Questão 4 (2,0 pontos). Uma quadratura usando 3 pontos para aproximar a integral: I( f ) = ∫ 1 −1 f (x)dx possui a forma: I3( f ) = w1 f (−1/2)+w2 f (0)+w3 f (1). (a) Determine os coeficientes w1, w2 e w3. (0,75 pontos) (b) Use a regra obtida para aproximar a integral: I( f ) = ∫ 1 −1 xe2x dx. (0,5 pontos) (c) Sabendo que o erro exato desta quadratura é dado por: I( f )− I3( f ) =− f (3)(ξ ) 18 , ξ ∈ [−1,1], calcule o erro absoluto exato e um limitante superior usando a fórmula acima. (0,75 pontos) 4 de 6 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 21 de julho de 2016 Questão 5 (1,5 pontos). Considere a matriz A= 4 a 1b 4 1 1 1 1 , a,b ∈ R. (a) Determine condições sobre os valores de a e b de modo que a matriz A possua uma decom- posição de Cholesky. (0,5 pontos) (b) Faça a= 1 e b= 0 e resolva o sistema Ax= [1 0 −1]ᵀ usando a decomposição LU com pivotamento parcial escalado. (1,0 ponto) 5 de 6 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia Civil ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 21 de julho de 2016 Questão 6 (1,25 pontos). Considere o seguinte problema de valor inicial: y′ = 1 1+ t2 −2y2 y(0) = 0 (a) Verifique que a solução exata é Y (t) = t/(1+ t2). (0,25 pontos) (b) Aplique o método de Taylor de segunda ordem com h = 0,5 e h = 0,2. Exiba os valores aproximados de y j e os erros e j = Y (t j)− y j, para j = 0,1, . . . ,1/h. (1,0 ponto) 6 de 6 2016-1/Engenharia Civil/prova1-segunda-chamada.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 11 de maio de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida Segunda Chamada da 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto flutuante com 3 bits na mantissa (incluindo o bit implícito), 3 bits para o expoente e 1 bit para o sinal. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais. a) Determine a precisão de máquina ε . (0,5 pontos) b) Determine um número real x para o qual fl(x) resultará no maior erro absoluto de arredon- damento. (0,5 pontos) c) Qual é o menor real positivo não nulo que pode ser representado de modo exato neste for- mato? (0,5 pontos) d) Represente x= (0,1101101)2×26 neste formato. (0,5 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Determine uma raiz real positiva de x2−4xsenx+(2senx)2 = 0 usando (a) o método gráfico, (b) cinco iterações do método da bisseção, com tolerância de 10−2. Quantas iterações seriam necessárias para que atingíssemos a precisão de 10−10 para esta raiz? Questão 3 (2,5 pontos). Desejamos aproximar (7)1/3 usando o método do ponto fixo. Estabeleça duas funções de iteração de ponto fixo e analise a convergência de cada uma. Qual das duas funções convergirá mais rapidamente? Questão 4 (3,0 pontos). Considere a função: f (x) = e−x− x a) Determine um intervalo [a,b] que contenha a menor raiz positiva ξ de f (x). (1,0 ponto) b) Analisando f ′(x), mostre que f (x) possui uma única raiz no intervalo [a,b]. Caso contrário, reduza o tamanho de seu intervalo de modo a garantir a unicidade de ξ . (1,0 ponto) c) Defina uma função de iteração de ponto fixo e mostre que esta converge para ξ . (1,0 ponto) d) Determine ξ , com precisão de 10−3, utilizando a função de iteração definida no item anterior quando (i) x0 = 0 e (ii) x0 = 0,5. Utilize no máximo seis iterações. (1,0 ponto) 1 de 1 2016-1/Engenharia Civil/prova1.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 27 de abril de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0 Pontuação obtida 1a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário de ponto flutuante com 3 dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e 3 dígitos para o expoente. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais e o arredondamento é realizado sempre para o mais próximo, com empates resolvidos segundo a regra do par mais próximo. a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,25 pontos) b) Determine o maior e o menor número positivo deste formato. (0,5 pontos) c) Quantos números em ponto flutuante distintos são representados neste formato? (0,5 pontos) d) Usando este formato, represente os reais: −4; −1,58; 10−5; 2,1; 17. (0,75 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Seja P(x) = x4+ x3−7x2− x+6. a) Sabendo que ±1 são raízes de P(x), determine o número total de raízes reais de P(x). (0,5 pontos) b) Determine limites inferiores e superiores para as raízes reais de P(x). (0,75 pontos) c) Aplique o método da bissecção para determinar a menor raiz negativa de P(x) com precisão de 10−1. (0,75 pontos) d) Para qual raiz de P(x) o método da bissecção convergirá quando aplicado ao intervalo [−1;2,5]. (0,5 pontos) Questão 3 (2,5 pontos). Considere a seguinte função de iteração de ponto fixo: g(x) = pi+ 1 2 sen x 2 . a) Mostre que g(x) possui um único ponto fixo em [2,4]. (0,75 pontos) b) Sabendo que: |pn− p| ≤ cn max{p0−a,b− p0} , onde c é tal que |g′(x)| ≤ c < 1, x ∈ [2,4], estime o número de iterações necessárias para obtermos uma aproximação com precisão de 10−2 para a raiz do item (a). (1,0 ponto) c) Aplique o método do ponto fixo para obter uma aproximação para o ponto fixo de g(x) com precisão de 10−2. No teste de convergência, utilize o erro absoluto. Compare o número de iterações realizadas com o valor estimado no item (b). (0,75 pontos) 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 27 de abril de 2016 Questão 4 (3,0 pontos). Você projetou um tanque esférico para armazenar petróleo para uma pequena refinaria. O volume ocupado por uma certa quantidade de petróleo pode ser calculado usando: V = pih2 (3R−h) 3 , onde V é o volume, h é a altura máxima de uma coluna de petróleo no interior do tanque e R é o raio do tanque. Assumindo R = 3 m, desejamos determinar a altura h necessária para que tenhamos 30 m3 de petróleo. a) Expresse o problema acima como um problema de zero de função ( f (h) = 0) e determine, pelo método gráfico, um intervalo que contenha o zero procurado. (1,0 ponto) b) Mostre que f (h) possui uma única raiz no intervalo obtido no item (a). (1,0 ponto) c) Calcule a raiz de f com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no má- ximo 5 iterações. (1,0 ponto) 2 de 2 2016-1/Engenharia Civil/prova2.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Centro de Ciências e Tecnologia ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 10 de junho de 2016 Questão 1 2 3 TOTAL Pontuação máxima 2,5 3,0 4,5 10,0 Pontuação obtida 2a Avaliação Progressiva Questão 1 (2,5 pontos). Considere a matriz: A= 1 −1 −10 1 −1 0 0 −1 . a) Calcule o número de condição κ∞(A). (1,25 pontos) b) Supondo que x˜= [−0.1 −3.15 −3.14]ᵀ foi a solução aproximada obtida ao aplicarmos o escalonamento de Gauss no sistemaAx= [2pi 0 pi]ᵀ, calcule um limitante superior para o erro relativo associado a x˜. (1,25 pontos) Questão 2 (3,0 pontos). Considere o sistema1 2 −21 1 1 2 2 1 x0x1 x2 = 72 5 a) Calcule as matrizes de iteração de Jacobi J e Gauss-Seidel G. (1,0 ponto) b) Determine o raio espectral de J e G. (1,0 ponto) c) Realize duas iterações dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com x(0) = 0. O que você pode dizer sobre a velocidade de convergência dos métodos? (1,0 ponto) Questão 3 (4,5 pontos). Considere a matriz: A= 2 3 0−1 2 −1 3 0 2 . a) Calcule a decomposição PA= LU usando pivotamento parcial escalado. (1,5 pontos) b) Determine a decomposição de Cholesky de AᵀA, caso ela exista. (1,5 pontos) c) Prove que se A é uma matriz não singular n×n arbitrária e M = AᵀA, então M é definida positiva. (1,5 pontos) 1 de 1 2016-1/Engenharia Civil/prova3.pdf Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia de Materiais ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 15 de julho de 2016 Questão 1 2 3 4 TOTAL Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0 Pontuação obtida 3a Avaliação Progressiva Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os seus cálculos. Questão 1 (2,5 pontos). Dada a função y = cos(x2) definida sobre o intervalo [1,2], com x em radianos, preencha a tabela abaixo. x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 y a) Construa a tabela de diferenças divididas com os dados acima. (1,25 pontos) b) Com base nesta tabela, determine o polinômio interpolador de Newton de grau no máximo 2 que melhor aproxime a raiz ξ da função y no intervalo [1,2]. (1,25 pontos) Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função y da Questão 1 e a seguinte função de ajuste: z= abx, a,b ∈ R. a) Ajuste z aos pontos da tabela da Questão 1. (1,5 pontos) b) Qual aproximação de y possui menor erro na raiz ξ , z ou o polinômio interpolador de New- ton calculado na Questão 1? (1,0 ponto) Questão 3 (2,5 pontos). Considere a integral: I = ∫ 1 0 x2e−x dx. Determine o número de subintervalos necessários para garantir um erro menor do que 10−3 usando o método de Simpson. 1 de 2 Campus de Juazeiro do Norte Universidade Federal do Cariri Nome: Matrícula: Bacharelado em Engenharia de Materiais ECI0080 – Cálculo Numérico Prof. Vicente Helano 15 de julho de 2016 Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:{ y′ = t2et + y, t ≥ 1, y(0) = 1, Use o método de Taylor de ordem 3 com h = 0,1 para determinar um valor aproximado para y(0,1). Fórmulas [xi] = yi [xi,xi+1] = [xi+1]− [xi] xi+1− xi ... [xi,xi+1, . . . ,xi+k] = [xi+1,xi+2, . . . ,xi+k]− [xi,xi+1, . . . ,xi+k−1] xi+k− xi Pn(x) = [x0]+ n ∑ k=1 [x0,x1, . . . ,xk](x− x0)(x− x1) · · ·(x− xk−1)∫ b a f (x)dx≈ h 3 [ f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+ ...+4 f (xn−1)+ f (xn) ] ESn (I) =− h4 180 (b−a) f (4)(ξ ), ξ ∈ [a,b] 2 de 2 2016-1/prova-final.tex~ 2016-1/prova1-segunda-chamada.tex~ 2016-1/prova1.tex~ 2016-1/prova2.tex~ 2016-1/prova3.tex~
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