Buscar

Provas Calculo Numerico Professor Vicente Helano UFCA

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

2015-1/Engenharia Civil/prova-finalA.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
03 de julho de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 4,0 2,0 2,0 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Final – Prova A
Questão 1 (2,0 pontos). Considere a matriz:
A=
 4 −1 −1−1 4 −1
−1 −1 4
 .
a) Determine a fatoração LU de A usando pivotamento parcial escalado.
b) Determine a fatoração de Cholesky de A.
Questão 2 (2,0 pontos). Determine a menor raíz positiva de f (x)= x2+10cos(x) usando o método
do ponto fixo, para uma função de iteração apropriada g, com precisão de 10−2.
Questão 3 (4,0 pontos). Considere a função f (x) = 1x+4 definida sobre o intervalo [0,2].
a) Obtenha o polinômio de grau máximo 2 que melhor aproxima a função f (x) segundo o
método dos mínimos quadrados. (1,0 ponto)
b) Determine o número de sub-intervalos n e o tamanho do passo h necessários para aproximar
a integral
∫ 2
0 f (x)dx com precisão de 10
−2. (0,7 pontos)
c) Aproxime
∫ 2
0 f (x)dx trocando f na integral pelo polinômio obtido no item (a). (1,0 ponto)
d) Aproxime
∫ 2
0 f (x)dx usando a regra do trapézio composta com os parâmetros obtidos no
item (b). (1,0 ponto)
e) Qual foi a melhor aproximação para
∫ 2
0 f (x)dx? A aproximação do item (c) ou a do item
(d)? (0,3 pontos)
Questão 4 (2,0 pontos). Considere o seguinte problema de valor inicial:
y′′+2ty′− y= 5t
y(0) = 1
y′(1) = 4
Calcule y(1) usando h= 0,25 com o método de Taylor de 2a ordem.
1 de 1
2015-1/Engenharia Civil/prova-finalB.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
06 de julho de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Final – Prova B
Questão 1 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=
α 1 0β 2 1
0 1 2
 .
a) Determine todos os valores de α e β para os quais a matriz A (i) é diagonal estritamente
dominante, (ii) satisfaz o critério de Sassenfeld, (iii) é positiva definida. (1,25 pontos)
b) Determine a fatoração de Cholesky de A usando os menores valores inteiros positivos pos-
síveis para alpha e beta. (1,25 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função escalar real f (x) = 3x2− ex.
a) Determine um intervalo [a,b], a,b > 0, no qual o método do ponto fixo convirja. (1,25
pontos)
b) Aplique o método do ponto fixo no intervalo obtido no item (a) para determinar uma raiz ξ
de f com precisão de 10−2. (1,25 pontos)
Questão 3 (2,5 pontos). Dada a função f (x) = sen(3x) definida sobre o intervalo [0,2pi], deter-
mine:
a) O polinômio de grau 4 que melhor aproxima a função f (x) usando o método das diferenças
divididas de Newton. Justifique a escolha dos pontos amostrais. (1,25 pontos)
b) A projeção projW f (x), onde W = [1,cos(x),sen(x)], sem recorrer ao processo de ortogona-
lização de Gram-Schmidt. (1,25 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
06 de julho de 2015
Questão 4 (2,5 pontos). A função erro é, normalmente, definida como:
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt,
mas esta também pode ser dada por meio do seguinte problema de valor inicial:
y′(x) =
2√
pi
e−x
2
,
y(0) = 0.
a) Calcule y(1) usando h= 0,25 com o método de Taylor de 3a ordem. (1,25 pontos)
b) Determine um limite superior para o módulo do erro absoluto cometido pelo truncamento
da série de Taylor. (1,25 pontos)
2 de 2
2015-1/Engenharia Civil/prova1-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia Civil
ECI0019 – Métodos Numéricos
Prof. Vicente Helano
8 de maio de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da 1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico decimal que usa representação nor-
malizada de ponto flutuante com três dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e expoentes
variando entre -3 e 4. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e
que seus valores extremos são reservados para indicar exceções (por exemplo, o zero e ±∞). Este
formato possui números subnormais.
a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos)
b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos)
c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos)
d) Dados x = 1,00 e y = 0,555, defina x0 = y e xi = (xi−1	 y)⊕ y, para 1 ≤ i ≤ 5. Calcule o
valor de x5 e determine o erro relativo associado. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). O algoritmo a seguir supostamente realiza o escalonamento de Gauss
usando pivotamento parcial escalado.
1 for k = 1 to n−1
2 rmax = 0
3 for i = k to n
4 r = |aσi,k/sσi |
5 if r > rmax
6 rmax = r
7 j = i
8 trocar(σ j,σk)
9 for i= k+1 to n
10 ` = aσi,k/aσk,k
11 for j = k+1 to n
12 aσi, j = aσi, j− `aσk, j
13 bσi = bσi− `bσk
a) Determine e corrija o erro do algoritmo. (0,5 pontos)
b) Calcule o número exato de operações em ponto flutuante realizadas pelo algoritmo. (2,0
pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia Civil
ECI0019 – Métodos Numéricos
Prof. Vicente Helano
8 de maio de 2015
Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 1 2 0−2 1 5
0 −5 1
x1x2
x3
=
 12
−1
 .
a) Determine a decomposição LU de A usando pivotamento parcial simples. (1,0 ponto)
b) Calcule o determinante de A usando a decomposição LU obtida anteriormente. (0,5 pontos)
c) Resolva o sistema acima utilizando a decomposição LU. (1,0 ponto)
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 2 a −1a 2 1
−1 1 4
x1x2
x3
=
30
2
 , a ∈ R.
a) Determine todos os valores de a para os quais a matriz A é definida positiva. (1,0 ponto)
b) Determine a decomposição de Cholesky de A. (1,0 ponto)
c) Usando a decomposição obtida anteriormente, resolva o sistema acima. (1,0 ponto)
2 de 2
2015-1/Engenharia Civil/prova1.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
23 de abril de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico decimal que usa representação norma-
lizada de ponto flutuante com três dígitos na mantissa e expoentes variando entre -3 e 4. Suponha
que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são
reservados para indicar exceções (por exemplo, o zero e ±∞). Este formato possui números sub-
normais.
a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos)
b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos)
c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos)
d) Usando esta representação, calcule
√
9,01−3,00 e o erro relativo associado. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). O algoritmo a seguir calcula a decomposição LDLᵀ de uma matriz simé-
trica definida positiva A.
1 for i = 1 to n
2 `ii = 1
3 s = aii
4 for j = 1 to i−1
5 s = s−d j j`2i j
6 dii = s
7 for j = i+1 to n
8 `i j = 0
9 s = a ji
10 for k = 1 to i−1
11 s = s− ` jkdkk`ik
12 ` ji = s/dii
a) Aplique o algoritmo para determinar a decomposição de: (1,0 ponto)
A=
4 2 12 4 1
1 1 1

b) Calcule o número exato de operações em ponto flutuante realizadas pelo algoritmo. (1,5
pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
23 de abril de 2015
Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo:1 2 −11 2 3
2 −1 4
x1x2
x3
=
 2−1
2
 .
a) Determine a decomposição LU de A usando pivotamento parcial escalado. (1,5 pontos)
b) Resolva o sistema acima utilizando a decomposição LU obtida. (1,0 ponto)
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo:a 1 0b 2 1
0 1 2
x1x2
x3
=
 12
−1
 , a ∈ R.
a) Determine todos os valores de a e b para os quais a matriz A é definida positiva. (1,0 ponto)
b) Determine a decomposição de Cholesky de A quando a= 2 e b= 1. (1,0 ponto)
c) Usando a decomposição obtida anteriormente, resolva o sistema acima. (1,0 ponto)
2 de 2
2015-1/Engenharia Civil/prova2-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
26 de junho de 2015
Questão 1 2 3 TOTAL
Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da 2a Avaliação Progressiva
Questão 1 (3,0 pontos). Considere o polinômio:
P(x) = 16x4+88x3+159x2+76x−240.
a) Sem esboçar o gráfico de P, determine quantas raízes reais, negativas e positivas, P possui.
(1,0 ponto)
b) Determine intervalos que contenham uma única raiz real positiva ξ1 e uma única raiz real
negativa ξ2. Não esqueça de justificar a unicidade. (1,0 ponto)
c) Use o método de Newton para determinar ξ1 e ξ2 com precisão de 10−2? (1,0 ponto)
1 de 3
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
26 de junho de 2015
Questão 2 (3,0 pontos). Considere a função:
f (x) = x− log(x+1)−3,
onde log denota o logarítmo na base 10.
a) Mostre que f (x) possui ao menos uma raiz no intervalo [0,9]. (0,5 pontos)
b) Analisando f ′(x), mostre que f (x) possui uma única raiz no intervalo [0,9]. (1,0 ponto)
c) Defina uma função de iteração para o método de ponto fixo e a função de iteração do método
de Newton. (0,5 pontos)
d) Realize três iterações dos métodos de ponto fixo e de Newton utilizando as funções definidas
no item (c) e partindo de x0 = 3,7. Os métodos convergem? (1,0 ponto)
2 de 3
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
26 de junho de 2015
Questão 3 (4,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo:3 1 11 a 0
0 a 3
x1x2
x3
=
12
3

a) Determine o menor número inteiro a de modo que o sistema acima possa ser resolvido pelos
métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. (1,0 ponto)
b) Realize três iterações do método de Gauss-Seidel com x(0) = (0,1,0), usando três dígitos
significativos e arredondamento para o mais próximo. (1,5 pontos)
c) Calcule uma estimativa para o número de condição da matriz A usando a fórmula:
κ(A)≈ ‖e˜‖∞‖x˜‖∞ 10
t ,
com t = 3 e onde x˜ é a solução obtida no item (b). (1,5 pontos)
3 de 3
2015-1/Engenharia Civil/prova2.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
2 de junho de 2015
Questão 1 2 3 TOTAL
Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0
Pontuação obtida
2a Avaliação Progressiva
Questão 1 (3,0 pontos). Considere o sistema linear Ax= b a seguir.−1 4 3−5 −3 8
−6 2 3
x1x2
x3
=
 4−3
3

a) A matriz A satisfaz o critério das linhas para alguma permutação de suas linhas? (1,0 ponto)
b) Existe alguma permutação das linhas de A a qual satisfaz o critério de Sassenfeld?
(1,0 ponto)
c) Realize uma iteração do método de Gauss-Seidel a partir de x(0) = (1,0,0). (1,0 ponto)
Questão 2 (3,0 pontos). Considere o polinômio:
P(x) = 230x4 +18x3 +9x2−221x−9.
a) Sem esboçar o gráfico de P, conclua que este possui ao menos duas raízes reais, uma nega-
tiva e uma positiva. (1,0 ponto)
b) Determine intervalos que contenham uma única raiz real positiva ξ1 e uma única raiz real
negativa ξ2. Não esqueça de justificar a unicidade. (1,0 ponto)
c) Usando o método da bisseção a partir dos intervalos que você determinou no item (b), quan-
tas iterações seriam suficientes para determinar ξ1 e ξ2 com precisão de 10−8? (1,0 ponto)
Questão 3 (4,0 pontos). A função f (x) = 4x2− ex− e−x possui dois zeros positivos ξ1 e ξ2.
a) Aplique o método de Newton para aproximar ξ1 com precisão de 10−2 usando x0 = 0.
(1,0 ponto)
b) Aproxime ξ2 com precisão de 10−2 usando o método de Newton com x0 = 5. (1,0 ponto)
c) O método de ponto fixo para a função de iteração xk+1 = 12
√
exk + e−xk poderia ser aplicado
para determinar ξ1 e ξ2 com garantia de convergência? (2,0 pontos)
Fórmulas auxiliares:
cosh(x) =
ex+ e−x
2
sinh(x) =
ex− e−x
2
cosh2(x)− sinh2(x) = 1
1 de 1
2015-1/Engenharia Civil/prova3-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Curso de Engenharia Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
03 de julho de 2015
Questão 1 2 TOTAL
Pontuação máxima 3,0 7,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da Avaliação Progressiva 3
Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os
seus cálculos.
Questão 1 (3,0 pontos). Considere o seguinte problema de valor inicial:
y′′+2ty′− y= 5t
y(0) = 1
y′(1) = 4
Calcule y(1) usando h= 0,25 com o método de Taylor de 3a ordem.
Questão 2 (7,0 pontos). Considere a função f (x) = 1x+4 definida sobre o intervalo [0,2].
a) Obtenha o polinômio de grau máximo 2 que melhor aproxima a função f (x) segundo o
método dos mínimos quadrados discreto para quatro amostras espaçadas uniformemente
em [0,2]. (1,5 pontos)
b) Obtenha o polinômio de grau máximo 2 que melhor aproxima a função f (x) segundo o
método dos mínimos quadrados contínuo. (1,5 pontos)
c) Determine o número de sub-intervalos n e o tamanho do passo h necessários para aproximar
a integral
∫ 2
0 f (x)dx com precisão de 10
−2. (0,7 pontos)
d) Aproxime
∫ 2
0 f (x)dx trocando f na integral pelo polinômio obtido no item (a). (1,0 ponto)
e) Aproxime
∫ 2
0 f (x)dx trocando f na integral pelo polinômio obtido no item (b). (1,0 ponto)
f) Aproxime
∫ 2
0 f (x)dx usando a regra do trapézio composta com os parâmetros obtidos no
item (c). (1,0 ponto)
g) Qual foi a melhor aproximação para
∫ 2
0 f (x)dx? A aproximação do item (d), (e) ou a do
item (f)? (0,3 pontos)
1 de 1
2015-1/Engenharia Civil/prova3.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Curso de Engenharia Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
29 de junho de 2015
Questão 1 2 3 TOTAL
Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Progressiva 3
Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os
seus cálculos.
Questão 1 (3,0 pontos).
Considere o problema de valor inicial:
y′ = cos(t)− sen(y)+ t2
y(−1) = 3
a) Calcule y(0) utilizando o método de Euler melhorado com h= 1. (1,5 pontos)
b) Aplique o método de Taylor de 4a ordem com h = 0,5 para determinar y(1), iniciando em
x= 0 e partindo dos valores obtidos no item anterior. (1,5 pontos)
Questão 2 (3,0 pontos). Dada a integral:
I =
∫ 2
0
e2x sen(3x)dx,
determine:
a) O valor aproximado para I dado pela regra de Simpson repetida com 4 sub-intervalos. (1,5
pontos)
b) A quantidade n e o tamanho h dos sub-intervalos necessários para aproximar I com precisão
de 10−4 usando a regra do trapézio repetida. (1,5 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Curso de Engenharia Civil
ECI0019 – Mét. Num. Aplic. à Eng. Civil
Prof. Vicente Helano
29 de junho de 2015
Questão 3 (4,0 pontos). Considere a função y= f (x) = 3x3− ex definida sobre o intervalo [0,1].
x 0 0,25 0,5 0,75 1,0
y
a) Sabendo que a única raiz positiva de f (x) é ξ ≈ 0,952446, construa o polinômio de Newton
PN(x) de grau 2 que melhor aproxime f (x) em torno de ξ . (1,0 ponto)
b) Ajuste PD(x) = a0+a1x+a2x2 aos valores da tabela acima empregando o método dos mín-
imos quadrados discreto. (1,0 ponto)
c) Defina o produto interno:
〈 f ,g〉=
∫ 1
0
f (x)g(x)dx, f ,g ∈ C [0,1],
e calcule PC = projW f (x), onde W = [1,x,x
2]. (1,5 pontos)
d) Qual das três aproximações para f melhor a aproxima em ξ? (0,5 pontos)
Fórmulas
[xi] = yi
[xi,xi+1] =
[xi+1]− [xi]
xi+1− xi
...
[xi,xi+1, . . . ,xi+k] =
[xi+1,xi+2, . . . ,xi+k]− [xi,xi+1, . . . ,xi+k−1]
xi+k− xi
Pn(x) = [x0]+
n
∑
k=1
[x0,x1, . . . ,xk](x− x0)(x− x1) · · ·(x− xk−1)
AᵀA= Aᵀb∫ b
a
f (x)dx≈ h
2
[
f (x0)+2 f (x1)+2 f (x2)+2 f (x3)+ ...+2 f (xn−1)+ f (xn)
]
∫ b
a
f (x)dx≈ h
3
[
f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+ ...+4 f (xn−1)+ f (xn)
]
EnT =−
h2
12
(b−a) f ′′(ξ ), ξ ∈ [a,b]
EnS =−
h4
180
(b−a) f (4)(ξ ), ξ ∈ [a,b]
y˜k+1 = yk+h f (tk,yk)
yk+1 = yk+
h
2
[
f (tk,yk)+ f (tk+1, y˜k+1)
]
y(tk+1) = y(tk)+hy′(tk)+
h2
2!
y′′(tk)+ · · ·
2 de 2
2015-1/Engenharia de Materiais/prova-final.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia de Materiais
EM0010 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
06 de julho de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Final
Questão 1 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=
α 1 0β 2 1
0 1 2
 .
a) Determine todos os valores de α e β para os quais a matriz A (i) é diagonal estritamente
dominante, (ii) satisfaz o critério de Sassenfeld, (iii) é positiva definida. (1,25 pontos)
b) Determine a fatoração de Cholesky de A usando os menores valores inteiros positivos pos-
síveis para alpha e beta. (1,25 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função escalar real f (x) = 3x2− ex.
a) Determine um intervalo [a,b], a,b > 0, no qual o método do ponto fixo convirja. (1,25
pontos)
b) Aplique o método do ponto fixo no intervalo obtido no item (a) para determinar uma raiz ξ
de f com precisão de 10−2. (1,25 pontos)
Questão 3 (2,5 pontos). Dada a função f (x) = sen(3x) definida sobre o intervalo [0,2pi], deter-
mine:
a) O polinômio de grau 4 que melhor aproxima a função f (x) usando o método das diferenças
divididas de Newton. Justifique a escolha dos pontos amostrais. (1,25 pontos)
b) A projeção projW f (x), onde W = [1,cos(x),sen(x)], sem recorrer ao processo de ortogona-
lização de Gram-Schmidt. (1,25 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia de Materiais
EM0010 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
06 de julho de 2015
Questão 4 (2,5 pontos). A função erro é, normalmente, definida como:
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt,
a) Determine uma aproximação para erf(1) usando a regra de Simpson repetida com quatro
sub-intervalos. (1,25 pontos)
b) Determine um limite superior para o módulo do erro absoluto cometido pela aproximação
calculada no item (a). (1,25 pontos)
2 de 2
2015-1/Engenharia de Materiais/prova-final.tex~
2015-1/Engenharia de Materiais/prova-finalB.tex~
2015-1/Engenharia de Materiais/prova1.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Materiais
EM0010 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
22 de abril de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico decimal que usa representação nor-
malizada de ponto flutuante com três dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e expoentes
variando entre -3 e 4. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e
que seus valores extremos são reservados para indicar exceções (por exemplo, o zero e ±∞). Este
formato possui números subnormais.
a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos)
b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos)
c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos)
d) Dados x = 1,00 e y = 0,555, defina x0 = y e xi = (xi−1	 y)⊕ y, para 1 ≤ i ≤ 5. Calcule o
valor de x5 e determine o erro relativo associado. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). O algoritmo a seguir supostamente realiza o escalonamento de Gauss
usando pivotamento parcial escalado.
1 for k = 1 to n−1
2 rmax = 0
3 for i = k to n
4 r = |aσi,k/sσi |
5 if r > rmax
6 rmax = r
7 j = i
8 trocar(σ j,σk)
9 for i= k+1 to n
10 ` = aσi,k/aσk,k
11 for j = k+1 to n
12 aσi, j = aσi, j− `aσk, j
13 bσi = bσi− `bσk
a) Determine e corrija o erro do algoritmo. (0,5 pontos)
b) Calcule o número exato de operações em ponto flutuante realizadas pelo algoritmo. (2,0
pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Engenharia de Materiais
EM0010 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
22 de abril de 2015
Questão 3 (2,5 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 1 2 0−2 1 5
0 −5 1
x1x2
x3
=
 12
−1
 .
a) Determine a decomposição LU de A usando pivotamento parcial simples. (1,0 ponto)
b) Calcule o determinante de A usando a decomposição LU obtida anteriormente. (0,5 pontos)
c) Resolva o sistema acima utilizando a decomposição LU. (1,0 ponto)
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema Ax= b abaixo: 2 a −1a 2 1
−1 1 4
x1x2
x3
=
30
2
 , a ∈ R.
a) Determine todos os valores de a para os quais a matriz A é definida positiva. (1,0 ponto)
b) Determine a decomposição de Cholesky de A. (1,0 ponto)
c) Usando a decomposição obtida anteriormente, resolva o sistema acima. (1,0 ponto)
2 de 2
2015-1/Engenharia de Materiais/prova1.tex~
2015-1/Engenharia de Materiais/prova1b.tex~
2015-1/Engenharia de Materiais/prova2.tex~
2015-1/Engenharia de Materiais/prova3.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Curso de Engenharia de Materiais
EM0010 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
29 de junho de 2015
Questão 1 2 3 TOTAL
Pontuação máxima 3,0 3,0 4,0 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Progressiva 3
Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os
seus cálculos.
Questão 1 (3,0 pontos). Dada a função y= f (x) = e−
x2
2 definida sobre o intervalo [0,2], preencha
a tabela abaixo.
x 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
y
a) Construa a tabela de diferenças divididas com os dados acima. (1,5 pontos)
b) Com base nesta tabela, determine o polinômio de Newton PN que melhor aproxima f (x) em
[0,2]. Justifique a escolha do grau. (1,5 pontos)
Questão 2 (3,0 pontos).
a) Ajuste um polinômio PQ de grau 2 aos pontos da tabela da Questão 1. (2,0 pontos)
b) Qual aproximação da função f da Questão 1 possui menor erro absoluto em x= 1,2, PQ ou
PN? (1,0 ponto)
Questão 3 (4,0 pontos). Considere a integral:
I =
∫ 2
0
e−
x2
2 dx.
a) Calcule I usando a regra do trapézio repetida com 4 subintervalos. (1,0 ponto)
b) Calcule I usando a regra de Simpson repetida com 4 subintervalos. (1,0 ponto)
c) Determine o número de subintervalos necessários para garantir um erro menor do que 10−3
em ambos os métodos. (2,0 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Curso de Engenharia de Materiais
EM0010 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
29 de junho de 2015
Fórmulas
AᵀA= Aᵀb
[xi] = yi
[xi,xi+1] =
[xi+1]− [xi]
xi+1− xi
...
[xi,xi+1, . . . ,xi+k] =
[xi+1,xi+2, . . . ,xi+k]− [xi,xi+1, . . . ,xi+k−1]
xi+k− xi
Pn(x) = [x0]+
n
∑
k=1
[x0,x1, . . . ,xk](x− x0)(x− x1) · · ·(x− xk−1)∫ b
a
f (x)dx≈ h
2
[
f (x0)+2 f (x1)+2 f (x2)+2 f (x3)+ ...+2 f (xn−1)+ f (xn)
]
∫ b
a
f (x)dx≈ h
3
[
f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+ ...+4 f (xn−1)+ f (xn)
]
EnT =−
h2
12
(b−a) f ′′(ξ ), ξ ∈ [a,b]
EnS =−
h4
180
(b−a) f (4)(ξ ), ξ ∈ [a,b]
2 de 2
2015-1/Engenharia de Materiais/prova3.tex~
2015-1/prova-final.tex~
2015-1/prova-finalA.tex~
2015-1/prova-finalB.tex~
2015-1/prova1-segunda-chamada.tex~
2015-1/prova1.tex~
2015-1/prova2.tex~
2015-1/prova2b.tex~
2015-1/prova3-segunda-chamada.tex~
2015-2/Engenharia Civil/prova1-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
8 de dezembro de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da 1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto
flutuante com 3 bits na mantissa (incluindo o bit implícito), 3 bits para o expoente e 1 bit para o
sinal. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores
extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais.
a) Determine a precisão de máquina ε . (0,5 pontos)
b) Determine um número real x para o qual fl(x) resultará no maior erro absoluto de arredon-
damento. (0,5 pontos)
c) Qual é o menor real positivo não nulo que pode ser representado de modo exato neste for-
mato? (0,5 pontos)
d) Represente x= (0,1101101)2×26 neste formato. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Determine uma raiz real positiva de x2−4xsenx+(2senx)2 = 0 usando
(a) o método gráfico, (b) cinco iterações do método da bisseção, com tolerância de 10−2. Quantas
iterações seriam necessárias para que atingíssemos a precisão de 10−10 para esta raiz?
Questão 3 (2,5 pontos). Desejamos aproximar (21)1/3 usando o método do ponto fixo. Estabeleça
duas funções de iteração de ponto fixo e analise a convergência de cada uma. Qual das duas
funções convergirá mais rapidamente?
Questão 4 (3,0 pontos). Você projetou um tanque esférico para armazenar petróleo para uma
pequena refinaria. O volume ocupado por uma certa quantidade de petróleo pode ser calculado
usando:
V = pih2
(3R−h)
3
,
onde V é o volume, h é a altura máxima de uma coluna de petróleo no interior do tanque e R
é o raio do tanque. Assumindo R = 3 m, desejamos determinar a altura h necessária para que
tenhamos 30 m3 de petróleo.
a) Expresse o problema acima como um problema de zero de função ( f (h) = 0) e determine,
pelo método gráfico, um intervalo que contenha o zero procurado. (1,0 ponto)
b) Mostre que f (h) possui uma única raiz no intervalo obtido no item (a). (1,0 ponto)
c) Calcule a raiz de f com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no má-
ximo 5 iterações. (1,0 ponto)
1 de 1
2015-2/Engenharia Civil/prova1.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
18 de novembro de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto
flutuante com 4 dígitos na mantissa (incluindo o bit implícito) e 3 dígitos para o expoente. Suponha
que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são
reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais.
a) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,5 pontos)
b) Determine o maior e o menor número normal positivo deste formato. (0,5 pontos)
c) Determine o maior e o menor número subnormal positivo. (0,5 pontos)
d) Usando este formato, calcule (5,01)10� (2,5)10 e o erro relativo associado. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Seja f (x) = (x+2)(x+1)x(x−1)3(x−2). Indique para quais raízes de
f o método da bisseção converge quando aplicado aos intervalos:
a) [−3;2,5]
b) [−2,5;3]
c) [−1,75;1,5]
d) [−1,5;1,75]
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a seguinte função de iteração de ponto fixo:
g(x) =
2− ex+ x2
3
.
a) Determine um intervalo [a,b] para o qual o método do ponto fixo é convergente.
b) Sabendo que:
|pn− p| ≤ cn max{p0−a,b− p0} ,
onde c é tal que |g′(x)| ≤ c < 1, x ∈ [a,b], estime o número de iterações necessárias para
obtermos uma aproximação com precisão de 10−10 para a raiz do item (a).
Questão 4 (3,0 pontos). Um projétil é lançado com velocidade v0 e ângulo α em um túnel de
altura h e atinge seu alcance máximo quando α é tal que sen(α) =
√
2gh/v02, onde g= 9,8 m/s2
é a aceleração da gravidade. Tomando v0 = 10 m/s e h= 1 m, responda o que se pede.
a) Mostre que f (x) possui ao menos uma raiz no intervalo (0,pi/2). (1,0 ponto)
b) Mostre que f (x) possui uma única raiz no intervalo (0,pi/2). (1,0 ponto)
c) Calcule α com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no máximo 5
iterações. (1,0 ponto)
1 de 1
2015-2/Engenharia Civil/prova2-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
3 de fevereiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da 2a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Seja função f (x) = e−x− sen(x). Encontre, se existir, a raiz aproximada
de f (x) mais próxima da origem no primeiro quadrante, utilizando para isso, interpolação inversa
com o polinômio interpolador de Lagrange. Considere um tabelamento com 3 pontos, utilizando
quatro casas decimais de precisão e arredondamento para o mais próximo.
Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função y= f (x) definida pela tabela:
x −2 0 2 4 6
y 16 4 0 4 16
Usando 3 casas decimais e arredondamento para o mais próximo, faça:
a) Obtenha, usando todos os pontos do tabelamento, um polinômio interpolador P(x) que apro-
xima a função f . (1,0 ponto)
b) Obtenha o polinômio de grau 2, Q(x), que melhor aproxima f . (1,0 ponto)
c) Qual dos dois polinômios, P(x) ou Q(x), melhor aproxima os zeros de f no intervalo
[−2,6]?
(0,5 pontos)
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=

1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 3 1
1 1 1 7
 .
a) Calcule a decomposição LU de A. (1,0 ponto)
b) Usando a decomposição obtida no item anterior, calule a decomposição de Cholesky de A.
(1,0 ponto)
c) Obtenha um limitante para o número de condição κ∞(A) por intermédio da decomposição
obtida no item anterior. (0,5 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
3 de fevereiro de 2016
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema5 1 21 4 0
2 0 2
x0x1
x2
=
1012
12

a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema.
(1,0 ponto)
b) Para a condição inicial x(0) =
[
0 0 0
]ᵀ, determine o número de iterações k suficiente para
que ‖e(k)‖< 10−10. (Dica: use o fato de que e(k) =Ge(k−1) e e(0) = Vc, onde G é a matriz
de iteração de Gauss-Seidel, e(k) = x−x(k) e V é a matrix de autovetores de G). (2,0 pontos)
2 de 2
2015-2/Engenharia Civil/prova2.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
22 de janeiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
2a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Seja f (x) = x3 +2x2 + x+1.
a) Determine o polinômio P(x) de grau 4 que interpola f nos pontos {−2,−1,0,1,2}. (1,0
ponto)
b) Determine o polinômio Q(x) de grau 2 que interpola f nos pontos {−1,0,1}. (1,0 ponto)
Questão 2 (2,5 pontos). Ajuste a função f (x) = a0 +a1 cos(x)+a2 sen(x) aos pontos da tabela:
x 0 1 2 3 4
y 0.0 1.0 5.5 13.0 23.5
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=
1 1 21 4 2
2 2 6
 .
a) Calcule a decomposição de Cholesky da matriz A. (1,0 ponto)
b) Resolva a equação AA−1 = I para calcular a inversa de A usando a decomposição obtida no
item anterior. (1,5 pontos)
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema:2 1 11 3 0
1 0 4
x0x1
x2
=
 510
10

a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema.
(0,5 pontos)
b) Para um mesmo valor inicial x(0), qual dos dois métodos convergirá mais rápido: Jordan
ou Gauss-Seidel? (Aviso: as soluções que serão aceitas para esta questão devem utilizar o
conceito do raio espectral). (2,5 pontos)
1 de 1
2015-2/Engenharia Civil/prova3-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
17 de fevereiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da 3a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,5 pontos). Aplique a regra do Trapézio para calcular a integral:∫ 1
0
cos(x)dx
3
√
x2
usando 4 subintervalos.
Questão 2 (2,5 pontos). Determine constantes w1, w2, x1 e x2 para a quadratura:∫ 1
0
f (x) log
(
1
x
)
dx≈ w1 f (x1)+w2 f (x2).
Questão 3 (2,5 pontos). Resolva, numericamente, o PVI:{(
y′
)2−2ty′− ycos(t) = 0, 0≤ t ≤ 1,
y(0) = 0.
Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:{
y′(t) = 11+t2 −2y2, 0≤ t ≤ 1,
y(0) = 0.
Calcule y(1) usando o método de Taylor de ordem 2 e h= 0,5.
1 de 1
2015-2/Engenharia Civil/prova3.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
12 de fevereiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0
Pontuação obtida
3a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,5 pontos). Determine quantos pontos são suficientes para que possamos calcular:
Z pi
0
esen(x)dx
com erro menor do que 0;01 usando a regra do Trapézio composta.
Questão 2 (2,5 pontos). Determine constantes w1 e x1 tais que a quadratura:
Z 1
0
p
x f (x)dx� w1 f (x1)
seja exata para qualquer polinômio linear.
Questão 3 (2,5 pontos). Considere o PVI:
8
<
:
y0(t) =
1
t2
�
y
t
� y2, 1� t � 2,
y(1) =�1,
cuja solução exata é y(t) =�1=t. Use o método de Euler regressivo com h= 0;5 para determinar
um valor aproximado para y(0;5) e calcule o erro absoluto desta aproximação.
Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:
(
y0(t) = λy(t), t > 0,
y(0) = α ,
e um método iterativo definido pela equação:
yk+1 = yk+h f (tk+1;yk+h f (tk+1;yk)),
com Re(λ )< 0 e tk = kh, k = 0;1; : : : .
a) Mostre que yn = α
h
1+λh+(λh)2
in
, para n 2 N.
b) Determine a região de estabilidade do método acima.
c) Mostre que o método não é A-estável.
1 de 1
2015-2/Engenharia de Materiais/prova-final.tex~
2015-2/Engenharia de Materiais/prova-finalB.tex~
2015-2/Engenharia de Materiais/prova1.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
18 de novembro de 2015
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto
flutuante com 3 bits na mantissa (incluindo o bit implícito), 3 bits para o expoente e 1 bit para o
sinal. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores
extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais.
a) Determine a precisão de máquina ε . (0,5 pontos)
b) Determine um número real x para o qual fl(x) resultará no maior erro absoluto de arredon-
damento. (0,5 pontos)
c) Qual é o menor real positivo não nulo que pode ser representado de modo exato neste for-
mato? (0,5 pontos)
d) Represente x= (0,1101101)2×2−4 neste formato. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Determine aproximações para a raiz real positiva de ln(x4) = 0,7 usando
(a) o método gráfico, (b) cinco iterações do método da bisseção. Quantas iterações seriam neces-
sárias para que atingíssemos a precisão de 10−10 para esta raiz?
Questão 3 (2,5 pontos). Desejamos aproximar (21)1/3 usando o método do ponto fixo. Estabeleça
duas funções de iteração de ponto fixo e analise a convergência de cada uma. Qual das duas
funções convergirá mais rapidamente?
Questão 4 (3,0 pontos). Você projetou um tanque esférico para armazenar petróleo para uma
pequena refinaria. O volume ocupado por uma certa quantidade de petróleo pode ser calculado
usando:
V = pih2
(3R−h)
3
,
onde V é o volume, h é a altura máxima de uma coluna de petróleo no interior do tanque e R
é o raio do tanque. Assumindo R = 3 m, desejamos determinar a altura h necessária para que
tenhamos 30 m3 de petróleo.
a) Expresse o problema acima como um problema de zero de função ( f (h) = 0) e determine,
pelo método gráfico, um intervalo que contenha o zero procurado. (1,0 ponto)
b) Mostre que f (h) possui uma única raiz no intervalo obtido no item (a). (1,0 ponto)
c) Calcule a raiz de f com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no má-
ximo 5 iterações. (1,0 ponto)
1 de 1
2015-2/Engenharia de Materiais/prova1.tex~
2015-2/Engenharia de Materiais/prova1b.tex~
2015-2/Engenharia de Materiais/prova2-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia de Materiais
EM0014 –
Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
12 de fevereiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da Avaliação Progressiva 2
Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os
seus cálculos.
Questão 1 (2,0 pontos). Seja função f (x) = e−x− sen(x). Encontre, se existir, a raiz aproximada
de f (x) mais próxima da origem no primeiro quadrante, utilizando para isso, interpolação inversa
com o polinômio interpolador de Lagrange. Considere um tabelamento com 3 pontos, utilizando
quatro casas decimais de precisão e arredondamento para o mais próximo.
Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função y= f (x) definida pela tabela:
x −2 0 2 4 6
y 16 4 0 4 16
Usando 3 casas decimais e arredondamento para o mais próximo, faça:
a) Obtenha, usando todos os pontos do tabelamento, um polinômio interpolador P(x) que apro-
xima a função f . (1,0 ponto)
b) Obtenha o polinômio de grau 2, Q(x), que melhor aproxima f . (1,0 ponto)
c) Qual dos dois polinômios, P(x) ou Q(x), melhor aproxima os zeros de f no intervalo [−2,6]?
(0,5 pontos)
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=

1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 3 1
1 1 1 7
 .
a) Calcule a decomposição LU de A usando pivotamento parcial escalado. (1,25 pontos)
b) Usando a decomposição obtida no item anterior, calule a decomposição de Cholesky de A.
(1,25 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia de Materiais
EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
12 de fevereiro de 2016
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema5 1 21 4 0
2 0 2
x0x1
x2
=
1012
12

a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema.
(1,0 ponto)
b) Para a condição inicial x(0) =
[
0 0 0
]ᵀ, qual dos dois métodos convergirá mais rapida-
mente para a solução exata? (2,0 pontos)
2 de 2
2015-2/Engenharia de Materiais/prova2-segunda-chamada.tex~
2015-2/Engenharia de Materiais/prova2.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
20 de janeiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
2a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere a tabela:
x −2 −1 0 1 2
y 2 14 4 2 2
a) Determine um polinômio P(x) que assuma os valores acima. (1,0 ponto)
b) Determine um polinômio Q(x) que, além de assumir os valores acima, satisfaça Q(3) = 10.
(1,0 ponto)
Questão 2 (2,5 pontos). Dado o produto interno:
〈 f ,g〉=
∫ 2
−2
f (x)g(x)dx,
determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxima f (x) = x1/3. Qual é o erro cometido por
este polinômio em x= 1?
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=

1 1 1 1
1 2 0 0
1 0 3 0
1 0 0 7
 .
a) Calcule a decomposição LU de A. (0,75 pontos)
b) Mostre que A é definida positiva. (0,5 pontos)
c) Usando a decomposição obtida no item anterior, calule a decomposição de Cholesky de A.
(0,75 pontos)
d) Obtenha um limitante para o número de condição κ∞(A) por intermédio da decomposição
obtida no item anterior. (0,5 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
20 de janeiro de 2016
Questão 4 (3,0 pontos). Considere o sistema5 1 10 4 1
0 0 3
x0x1
x2
=
1012
12

a) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema.
(0,75 pontos)
b) Usando x(0) =
[
0 0 0
]
, realize 3 iterações do método de Gauss-Seidel. (0,75 pontos)
c) Para a condição inicial do item anterior, determine um número de iterações k suficiente para
que ‖e(k)‖< 10−10. (Dica: use o fato de que e(k) =Ge(k−1) e e(0) = Vc, onde G é a matriz
de iteração de Gauss-Seidel, e(k) = x−x(k) e V é a matrix de autovetores de G). (1,5 pontos)
2 de 2
2015-2/Engenharia de Materiais/prova2.tex~
2015-2/Engenharia de Materiais/prova3.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
5 de fevereiro de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0
Pontuação obtida
3a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,5 pontos). Determine quantos pontos são suficientes para que possamos calcular:∫ 2
1
ex
x
dx
com erro menor do que 0,01 usando a regra do Trapézio composta.
Questão 2 (2,5 pontos). Determine constantes x2, w1 e w2 tais que a quadratura:∫ 1
0
f (x)dx≈ w1 f (0)+w2 f (x2)
seja exata para polinômios com o maior grau possível.
Questão 3 (2,5 pontos). Considere o PVI:{
y′(t) = 2t y(t)+ t
2et , 1≤ t ≤ 2,
y(1) = 0,
cuja solução exata é y(t) = t2 (et − e). Use o método de Taylor de segunda ordem com h= 0,5 para
resolver numericamente o PVI acima e calcule o erro absoluto em cada ponto de sua aproximação.
Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:{
y′(t) = λy(t), t > 0,
y(0) = 1.
Determine a região de estabilidade do método de Euler quando aplicado ao PVI acima com λ =
−1+ i.
1 de 1
2015-2/Engenharia de Materiais/prova3.tex~
2015-2/prova-final.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080/EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
19 de fevereiro de 2016
Questão 1 2 3 4 5 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Final
Questão 1 (2,0 pontos). Considere a função f (x) = 2x� cos(x).
a) Prove que f possui um único zero real ξ em I = [0;pi=4].
b) Prove que existe x0 2 I, x0 6= ξ , para o qual o método do ponto fixo converge para ξ .
Questão 2 (2,0 pontos). Considere o sistema:
2
4
1 2 �2
1 1 1
2 2 1
3
5
2
4
x0
x1
x2
3
5
=
2
4
7
2
5
3
5
a) A matriz dos coeficientes é mal condicionada? (1,0 ponto)
b) Verifique se os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser usados para resolver o sistema
dado. (1,0 ponto)
Questão 3 (2,0 pontos). Determine constantes a, b, c e d tais que a quadratura:
Z 1
�1
f (x)dx� a f (�1)+b f (1)+ c f 0(�1)+d f 0(1)
seja exata para polinômios cúbicos.
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080/EM0014 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
19 de fevereiro de 2016
Questão 4 (2,0 pontos). Considere a função f (x) = sen(x) restrita ao intervalo [0;1;6875].
a) Seja f 2 C (n+1)[a;b] satisfazendo j f (n+1)(x)j �M. Seja P(x) o polinômio de grau � n que
interpola f em n+1 pontos regularmente espaçados em [a;b], incluindo as extremidades do
intervalo. Então em [a;b],
j f (x)�P(x)j �
1
4(n+1)
Mhn+1
onde h= (b�a)=n é o espaçamento entre os pontos. Calcule o erro da interpolação quando
f (x) = sen(x) é substituída por um polinômio definido por 10 pontos espaçados regular-
mente em [0;1;6875].
b) Ajuste a função g(x) = a0+a1 cos(x) aos pontos da tabela abaixo:
x 0,5 1,0
f (x) 0,4794255 0,8414710
c) Qual aproximação é melhor para calcular f (0;7)? P(x) ou g(x)? Utilize o valor calculado
pela sua calculadora como referência exata.
Questão 5 (2,0 pontos). Considere o PVI:
(
y0 = t2et + y, t � 1,
y(0) = 1,
Use o método de Taylor de ordem
3 com h = 0;1 para determinar um valor aproximado para
y(0;1).
2 de 2
2015-2/prova-final.tex~
2015-2/prova1-segunda-chamada.tex~
2015-2/prova1.tex~
2015-2/prova2-segunda-chamada.tex~
2015-2/prova2.tex~
2015-2/prova3-segunda-chamada.tex~
2015-2/prova3.tex~
2016-1/Engenharia Civil/prova-final.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
21 de julho de 2016
Questão 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Pontuação máxima 1,0 2,0 2,25 2,0 1,5 1,25 10,0
Pontuação obtida
Avaliação Final
Questão 1 (1,0 ponto). Considere um formato numérico binário de ponto flutuante com 4 dígitos
na mantissa (incluindo o bit implícito) e 3 dígitos para o expoente. Suponha que o expoente
é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para
indicar exceções. Este formato possui números subnormais e o arredondamento é realizado sempre
para o mais próximo, com empates resolvidos segundo a regra do par mais próximo.
(a) Quantos números distintos são representados de modo exato neste formato? (0,25 pontos)
(b) Determine o maior e o menor número positivo deste formato. (0,25 pontos)
(c) Determine a precisão de máquina ε deste formato. (0,25 pontos)
(d) Usando este formato, determine fl(3,4). (0,25 pontos)
1 de 6
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
21 de julho de 2016
Questão 2 (2,0 pontos). Considere o problema de calcular 3
√
3 resolvendo a equação:
f (x) = x3−3 = 0
(a) Aplique o método da bissecção para obter uma solução de f (x) = 0 com precisão de 10−3,
iniciando com o intervalo [1,2;1,6]. (0,75 pontos)
(b) Construa uma função g(x) de modo que 3
√
3 seja um ponto fixo de g(x) e mostre que o
método do ponto fixo converge para a função de iteração obtida. (1,25 pontos)
2 de 6
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
21 de julho de 2016
Questão 3 (2,25 pontos). Considere a função f (x) = xe2x , x ∈ [−1,1], e o produto interno
〈 f ,g〉=
∫ 1
−1
f (x)g(x)dx.
(a) Usando diferenças divididas, obtenha uma aproximação para a função f (x) usando 4 pontos.
(1,0 ponto)
(b) Obtenha a melhor aproximação da função f (x) em P3 segundo o método dos mínimos qua-
drados. (1,0 ponto)
(c) Calcule o erro absoluto exato de ambas as aproximações nos pontos −1, 0 e 1. Qual delas
melhor aproxima f (x) nestes pontos? (0,25 pontos)
3 de 6
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
21 de julho de 2016
Questão 4 (2,0 pontos). Uma quadratura usando 3 pontos para aproximar a integral:
I( f ) =
∫ 1
−1
f (x)dx
possui a forma:
I3( f ) = w1 f (−1/2)+w2 f (0)+w3 f (1).
(a) Determine os coeficientes w1, w2 e w3. (0,75 pontos)
(b) Use a regra obtida para aproximar a integral:
I( f ) =
∫ 1
−1
xe2x dx. (0,5 pontos)
(c) Sabendo que o erro exato desta quadratura é dado por:
I( f )− I3( f ) =− f
(3)(ξ )
18
, ξ ∈ [−1,1],
calcule o erro absoluto exato e um limitante superior usando a fórmula acima. (0,75 pontos)
4 de 6
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
21 de julho de 2016
Questão 5 (1,5 pontos). Considere a matriz
A=
4 a 1b 4 1
1 1 1
 , a,b ∈ R.
(a) Determine condições sobre os valores de a e b de modo que a matriz A possua uma decom-
posição de Cholesky. (0,5 pontos)
(b) Faça a= 1 e b= 0 e resolva o sistema Ax= [1 0 −1]ᵀ usando a decomposição LU com
pivotamento parcial escalado. (1,0 ponto)
5 de 6
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia Civil
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
21 de julho de 2016
Questão 6 (1,25 pontos). Considere o seguinte problema de valor inicial:
y′ =
1
1+ t2
−2y2
y(0) = 0
(a) Verifique que a solução exata é Y (t) = t/(1+ t2). (0,25 pontos)
(b) Aplique o método de Taylor de segunda ordem com h = 0,5 e h = 0,2. Exiba os valores
aproximados de y j e os erros e j = Y (t j)− y j, para j = 0,1, . . . ,1/h. (1,0 ponto)
6 de 6
2016-1/Engenharia Civil/prova1-segunda-chamada.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
11 de maio de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
Segunda Chamada da 1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário que usa representação de ponto
flutuante com 3 bits na mantissa (incluindo o bit implícito), 3 bits para o expoente e 1 bit para o
sinal. Suponha que o expoente é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores
extremos são reservados para indicar exceções. Este formato possui números subnormais.
a) Determine a precisão de máquina ε . (0,5 pontos)
b) Determine um número real x para o qual fl(x) resultará no maior erro absoluto de arredon-
damento. (0,5 pontos)
c) Qual é o menor real positivo não nulo que pode ser representado de modo exato neste for-
mato? (0,5 pontos)
d) Represente x= (0,1101101)2×26 neste formato. (0,5 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Determine uma raiz real positiva de x2−4xsenx+(2senx)2 = 0 usando
(a) o método gráfico, (b) cinco iterações do método da bisseção, com tolerância de 10−2. Quantas
iterações seriam necessárias para que atingíssemos a precisão de 10−10 para esta raiz?
Questão 3 (2,5 pontos). Desejamos aproximar (7)1/3 usando o método do ponto fixo. Estabeleça
duas funções de iteração de ponto fixo e analise a convergência de cada uma. Qual das duas
funções convergirá mais rapidamente?
Questão 4 (3,0 pontos). Considere a função:
f (x) = e−x− x
a) Determine um intervalo [a,b] que contenha a menor raiz positiva ξ de f (x). (1,0 ponto)
b) Analisando f ′(x), mostre que f (x) possui uma única raiz no intervalo [a,b]. Caso contrário,
reduza o tamanho de seu intervalo de modo a garantir a unicidade de ξ . (1,0 ponto)
c) Defina uma função de iteração de ponto fixo e mostre que esta converge para ξ . (1,0 ponto)
d) Determine ξ , com precisão de 10−3, utilizando a função de iteração definida no item anterior
quando (i) x0 = 0 e (ii) x0 = 0,5. Utilize no máximo seis iterações. (1,0 ponto)
1 de 1
2016-1/Engenharia Civil/prova1.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
27 de abril de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,0 2,5 2,5 3,0 10,0
Pontuação obtida
1a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,0 pontos). Considere um formato numérico binário de ponto flutuante com 3 dígitos
na mantissa (incluindo o bit implícito) e 3 dígitos para o expoente. Suponha que o expoente
é armazenado usando a técnica de polarização e que seus valores extremos são reservados para
indicar exceções. Este formato possui números subnormais e o arredondamento é realizado sempre
para o mais próximo, com empates resolvidos segundo a regra do par mais próximo.
a) Determine a precisão de máquina ε deste
formato. (0,25 pontos)
b) Determine o maior e o menor número positivo deste formato. (0,5 pontos)
c) Quantos números em ponto flutuante distintos são representados neste formato? (0,5 pontos)
d) Usando este formato, represente os reais: −4; −1,58; 10−5; 2,1; 17. (0,75 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Seja P(x) = x4+ x3−7x2− x+6.
a) Sabendo que ±1 são raízes de P(x), determine o número total de raízes reais de P(x). (0,5
pontos)
b) Determine limites inferiores e superiores para as raízes reais de P(x). (0,75 pontos)
c) Aplique o método da bissecção para determinar a menor raiz negativa de P(x) com precisão
de 10−1. (0,75 pontos)
d) Para qual raiz de P(x) o método da bissecção convergirá quando aplicado ao intervalo
[−1;2,5]. (0,5 pontos)
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a seguinte função de iteração de ponto fixo:
g(x) = pi+
1
2
sen
x
2
.
a) Mostre que g(x) possui um único ponto fixo em [2,4]. (0,75 pontos)
b) Sabendo que:
|pn− p| ≤ cn max{p0−a,b− p0} ,
onde c é tal que |g′(x)| ≤ c < 1, x ∈ [2,4], estime o número de iterações necessárias para
obtermos uma aproximação com precisão de 10−2 para a raiz do item (a). (1,0 ponto)
c) Aplique o método do ponto fixo para obter uma aproximação para o ponto fixo de g(x) com
precisão de 10−2. No teste de convergência, utilize o erro absoluto. Compare o número de
iterações realizadas com o valor estimado no item (b). (0,75 pontos)
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
27 de abril de 2016
Questão 4 (3,0 pontos). Você projetou um tanque esférico para armazenar petróleo para uma
pequena refinaria. O volume ocupado por uma certa quantidade de petróleo pode ser calculado
usando:
V = pih2
(3R−h)
3
,
onde V é o volume, h é a altura máxima de uma coluna de petróleo no interior do tanque e R
é o raio do tanque. Assumindo R = 3 m, desejamos determinar a altura h necessária para que
tenhamos 30 m3 de petróleo.
a) Expresse o problema acima como um problema de zero de função ( f (h) = 0) e determine,
pelo método gráfico, um intervalo que contenha o zero procurado. (1,0 ponto)
b) Mostre que f (h) possui uma única raiz no intervalo obtido no item (a). (1,0 ponto)
c) Calcule a raiz de f com precisão de 10−5 usando o método de Newton, utilizando no má-
ximo 5 iterações. (1,0 ponto)
2 de 2
2016-1/Engenharia Civil/prova2.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Centro de Ciências e Tecnologia
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
10 de junho de 2016
Questão 1 2 3 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 3,0 4,5 10,0
Pontuação obtida
2a Avaliação Progressiva
Questão 1 (2,5 pontos). Considere a matriz:
A=
1 −1 −10 1 −1
0 0 −1
 .
a) Calcule o número de condição κ∞(A). (1,25 pontos)
b) Supondo que x˜= [−0.1 −3.15 −3.14]ᵀ foi a solução aproximada obtida ao aplicarmos
o escalonamento de Gauss no sistemaAx= [2pi 0 pi]ᵀ, calcule um limitante superior para
o erro relativo associado a x˜. (1,25 pontos)
Questão 2 (3,0 pontos). Considere o sistema1 2 −21 1 1
2 2 1
x0x1
x2
=
72
5

a) Calcule as matrizes de iteração de Jacobi J e Gauss-Seidel G. (1,0 ponto)
b) Determine o raio espectral de J e G. (1,0 ponto)
c) Realize duas iterações dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com x(0) = 0. O que você
pode dizer sobre a velocidade de convergência dos métodos? (1,0 ponto)
Questão 3 (4,5 pontos). Considere a matriz:
A=
 2 3 0−1 2 −1
3 0 2
 .
a) Calcule a decomposição PA= LU usando pivotamento parcial escalado. (1,5 pontos)
b) Determine a decomposição de Cholesky de AᵀA, caso ela exista. (1,5 pontos)
c) Prove que se A é uma matriz não singular n×n arbitrária e M = AᵀA, então M é definida
positiva. (1,5 pontos)
1 de 1
2016-1/Engenharia Civil/prova3.pdf
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia de Materiais
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
15 de julho de 2016
Questão 1 2 3 4 TOTAL
Pontuação máxima 2,5 2,5 2,5 2,5 10,0
Pontuação obtida
3a Avaliação Progressiva
Aviso: use quatro casas decimais e arredondamento para o mais próximo em todos os
seus cálculos.
Questão 1 (2,5 pontos). Dada a função y = cos(x2) definida sobre o intervalo [1,2], com x em
radianos, preencha a tabela abaixo.
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
y
a) Construa a tabela de diferenças divididas com os dados acima. (1,25 pontos)
b) Com base nesta tabela, determine o polinômio interpolador de Newton de grau no máximo
2 que melhor aproxime a raiz ξ da função y no intervalo [1,2]. (1,25 pontos)
Questão 2 (2,5 pontos). Considere a função y da Questão 1 e a seguinte função de ajuste:
z= abx, a,b ∈ R.
a) Ajuste z aos pontos da tabela da Questão 1. (1,5 pontos)
b) Qual aproximação de y possui menor erro na raiz ξ , z ou o polinômio interpolador de New-
ton calculado na Questão 1? (1,0 ponto)
Questão 3 (2,5 pontos). Considere a integral:
I =
∫ 1
0
x2e−x dx.
Determine o número de subintervalos necessários para garantir um erro menor do que 10−3 usando
o método de Simpson.
1 de 2
Campus de Juazeiro do Norte
Universidade
Federal do Cariri
Nome: Matrícula:
Bacharelado em Engenharia de Materiais
ECI0080 – Cálculo Numérico
Prof. Vicente Helano
15 de julho de 2016
Questão 4 (2,5 pontos). Considere o PVI:{
y′ = t2et + y, t ≥ 1,
y(0) = 1,
Use o método de Taylor de ordem 3 com h = 0,1 para determinar um valor aproximado para
y(0,1).
Fórmulas
[xi] = yi
[xi,xi+1] =
[xi+1]− [xi]
xi+1− xi
...
[xi,xi+1, . . . ,xi+k] =
[xi+1,xi+2, . . . ,xi+k]− [xi,xi+1, . . . ,xi+k−1]
xi+k− xi
Pn(x) = [x0]+
n
∑
k=1
[x0,x1, . . . ,xk](x− x0)(x− x1) · · ·(x− xk−1)∫ b
a
f (x)dx≈ h
3
[
f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+4 f (x3)+ ...+4 f (xn−1)+ f (xn)
]
ESn (I) =−
h4
180
(b−a) f (4)(ξ ), ξ ∈ [a,b]
2 de 2
2016-1/prova-final.tex~
2016-1/prova1-segunda-chamada.tex~
2016-1/prova1.tex~
2016-1/prova2.tex~
2016-1/prova3.tex~

Teste o Premium para desbloquear

Aproveite todos os benefícios por 3 dias sem pagar! 😉
Já tem cadastro?

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Perguntas Recentes