Capacitância

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Cap. 26 Capacitância
Energia Potencial  Armazenar (mola, elástico, altura...)
Como podemos armazenar energia Potencial Elétrica (U)?
O Capacitor é um dispositivo usado para isso:
Acumula: Cargas (q) Campo Elétrico (E) Energia Associada
U = V·q
Eletrônica e da Microeletrônica Muitos Usos 
						além de Armazenar U
Flash fotográfico, sintonizadores (rádio e TV), (microcapacitores) 
banco de memória etc. 
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1. Capacitores e Capacitância (C)
Vários tipos de capacitores
Elementos básicos: 2 condutores isolados com formato 
			 qualquer (Placas, cilindro, esfera)
 Capacitor Placas Paralelas: Área A, ar, carga q, distância d
 Placas  Superfícies equipotenciais,
 Existe uma ddp (V) entre as placas 
 onde (V  q)
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A capacitância é uma medida da quantidade de cargas que tem que ser colocada sobre as placas para produzir uma certa ddp entre elas; quanto maior a capacitância, maior é a carga exigida.
 C (cte) é a capacitância do capacitor
“Depende apenas da geometria do capacitor”
Unidades: 1 Farad = 1 F = 1Coulomb por volt = 1C/V
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CARREGANDO UM CAPACITOR
Circuito Elétrico: - bateria (dispositivo p/manter uma ddp) 
		 - forças elétricas sobre as cargas (trabalho)
 - cargas fluem (corrente elétrica). 
 Terminal Positivo: Potencial + alto (+).
 Terminal Negativo: Potencial + baixo (-).
 Ligando S as cargas (elétrons) fluem através do fio (E da bateria)
Capacitor Completamente Carregado Vi = 0 e Vf = Vbateria
						 q = CVbat
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2. Calculo da Capacitância (C)
 Para cada geometria temos uma C;
 Para Qualquer Geometria
	(1) supor uma q sobre as placas, 
	(2) calcular E entre as placas, 
	(3) Calcular V a partir de E, 
	(4) Calcular C (q = C·V).
CALCULANDO O CAMPO ELÉTRICO
Relação entre E entre as placas e a carga q sobre elas 
(Lei de Gauss)
Hipóteses: 
	E sempre Uniforme e paralelo a dA
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CALCULANDO A DIFERENÇA DE POTENCIAL
A ddp entre as placas está relacionada ao E por:	
(Integramos sempre no sentido oposto ao campo E)
A) Capacitor de Placas Paralelas
 Placas Grandes >> d  Desprezar Efeito de Bordas 
 (E uniforme),
 (Gauss) q = o E A (A = área da placa),
(Capacitor de Placas Paralelas)
Só depende de 
fatores geométricos 
Unidade mais Apropriada de o  F/m
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B) Capacitor Cilíndrico
 Comprimento L,
 2 Cilindros Co-axiais, a < b, carga q,
 Suponha L>>b (efeito da borda),
 S. G.  Cilíndrica (Compr. L e raio r),
 A carga dentro da SG é 
	q = o E A = o E (2 r L) E = q / (2o·L·r)
 Substituindo na equação do potencial e considerando (ds = - dr)
(Capacitor Cilíndrico) 
(Também depende apenas de fatores geométricos.)
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C) Capacitor Esférico
 Usando o mesmo procedimento,
 2 esferas concêntricas, raios a e b, 
 SG esférica raio r concêntricas
 Então, a carga será q = o E(4 r2) e o campo elétrico será:
 
 			(E para uma distribuição esférica de cargas)
 - O potencial será dado por:
(Capacitor Esférico)
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D) Esfera Isolada
 a = R e b = 
 Usando a equação anterior teremos:
3. Capacitores em Paralelo e em Série
 Capacitor Equivalente (mesma capacitância),
 Simplificar o circuito,
 Avaliar a carga (q) e a ddp (V) entre as placas,
						 de cada capacitor.
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CAPACITORES EM PARALELO
 Diretamente ligados a bateria,
 3 capacitores (C1, C2, C3) em paralelo c/a bateria (V),
 V1 = V2 = V3  q1 , q2 e q3 de modo que,			
 q = q1 + q2 + q3  C1V + C2V + C3V = CeqV,
 Portanto, Ceq = C1 + C2 + C3,
Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente que possui a mesma carga total q e a mesma ddp V que os capacitores reais
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CAPACITORES EM SÉRIE
 Uma após o outro, entre os terminais da bateria,
 Uma ddp (V) é aplicada entre as 2 extremidades,
 q é a mesma para todos os capacitores (indução),
 para C1  C 2  C3  V1  V 2  V3 pois,
 Vbat = V1 + V 2 + V3  q/Ceq = q/C1 + q/C 2 + q/C3,
 Portanto, para capacitores em série:
Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente que possui a mesma carga total q e a mesma ddp total V que os capacitores em série
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4. Energia Armazenada em um Campo Elétrico
 A bateria realiza trabalho (W) p/levar cargas as placas do Capacitor
 As q geram um E em sentido oposto (ao da bateria)  W maior,
 O W é armazenado na forma de E. Potencial U no E entre as placas
 Descarregar o Capacitor  Recuperar a Energia Armazenada.
Qual é a U no capacitor quando uma carga q final for atingida?
Uma carga q’ no Capacitor Estabelece uma ddp V’
Incremento de dq’ Necessita dW (Até q final)
(Trabalho Necessário) 
(Energia Potencial)
“Para qualquer capacitor” 
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Densidade de Energia
Considere um Capacitor de Placas Paralelas:
 E uniforme entre as placas  Energia/Volume tbém é uniforme,
 Portanto, a Densidade de Energia (u) entre as placas é Uniforme. 
Apesar de partir do Capacitor de Placas, vale para qualquer fonte de Campo Elétrico
5. Capacitor com um Dielétrico
 Material Isolante
 Aumenta a Capacitância de um Fator  (> 1)
 Cdiel = .Car 
(óleo mineral, plástico, papel, cerâmica, etc..)
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- Limita a ddp entre as placas a um valor máximo Vmax
- Chamado de Potencial de Ruptura
- Rigidez Dielétrica  Valor Máximo de E que ele pode tolerar
“Em todas as equações eletrostáticas a constante de permissividade o deve ser substituído por o“
O efeito do Dielétrico ao ser colocado entre as placas é diminuir o E, portanto mais carga pode ser colocada no mesmo capacitor
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6. DIELÉTRICOS: Uma Visão Atômica
O que acontece, em termos atômicos e moleculares, quando colocamos um dielétrico em um campo elétrico?
Resp: 2 Possibilidades (depende da natureza das moléculas):
1a) Dielétricos Polares: (Ex. água)
Os dipolos elétricos se alinham no campo elétrico aplicado, produzindo um campo elétrico (mais fraco) em sentido contrário ao campo externo,
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2a) Dielétricos Não-polares: 	
- As moléculas adquirem momento de dipolo por indução, quando colocadas num campo externo, produzindo um campo mais fraco em sentido contrário ao campo externo;
Assim o efeito do dielétrico, tanto polar quanto não-polar,é enfraquecer qualquer campo aplicado no interior deles, como entre as placas de um capacitor. 
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7. DIELÉTRICOS E A LEI DE GAUSS
 Lei de Gauss (Cargas no Vácuo),
 Temos carga q na placa e campo Eo entre as placas,
 Aplicando Gauss acharemos o valor de Eo.
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Aplicando agora para a placa com dielétrico teremos:
 A S. G. abrange as cargas q na placa e q’ no dielétrico,
(A carga livre na placa condutora e a carga induzida no dielétrico)
 Como q > q’, a carga resultante envolvida pela S. G. é (q – q’)
 Calculando E para esse caso teremos:
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Como o efeito do dielétrico é enfraquecer o Campo original por um fator  , podemos escrever:
Comparando com a equação do Campo Elétrico para o Capacitor com Dielétrico teremos:
Ela mostra que q’ < q e que, se tirarmos o dielétrico (=1), q’=0.
Lei de Gauss com Dielétrico: 
Esta é a forma mais geral da Lei de Gauss