Inversão de matrizes

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
INVERSÃO DE MATRIZES
	Matriz inversa de uma matriz
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça à condição
	AB = BA = I,
diz-se que B é inversa de A e se representa por A-1:
	AA-1 = A-1A = I
	
Quando uma matriz quadrada A tem inversa, diz-se que A é inversível. Exemplo: dadas as matrizes
A = e B= 
A é inversa de B (ou B é inversa de A). De fato:
. = . = 
Matriz singular é a matriz quadrada que tem determinante nulo. 
Exemplo: A matriz
A = 
É singular porque det A = 0. A matriz singular não tem inversa.
Matriz não-singular é a matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero.
	As matrizes A e B de A.22 são não singulares porque det A0 e det B 0. A matriz não-singular sempre tem inversa.
Propriedades da matriz inversa
l) (A + B)-1 = A-1 + B-1
ll) (A)-1 = A-1, e 
lll) (A-1)-1 = A
lV) I-1 = I
V) (AB)-1 = B-1 A-1 
Operações elementares de uma matriz são as seguintes:
l) Permutação de duas linhas (colunas).
 	ll) Multiplicação de todos os elementos de uma linha (coluna) por um número real diferente de zero.
lll) Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero.
Equivalência de matrizes
Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente à matriz A, se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares. Se B for equivalente a A, representa-se por B ~ A.
a) Quando se desejar permutar, por exemplo, a Segunda linha pela terceira de uma dada matriz A, escrever-se-á assim:
A = L23 : A1 = 
b) Quando se desejar multiplicar todos os elementos da Segunda linha, por exemplo, da matriz A1 por , escrever-se-á assim:
A1 = L2 : A2 = 
	c) Quando se desejar substituir os elementos da primeira linha, por exemplo, da matriz A2, pela som deles com os elementos correspondentes da Segunda linha previamente multiplicados por –3, escrever-se-á assim:
L
1
 – 
3L
2
 :A2 = 				A3 = 
	Examinando as operações elementares que formam efetuadas com a matriz A até obter a matriz equivalente A3, verifica-se que:
l) a operação L23 foi realizada para tirar um zero da diagonal principal e poder colocar em seu lugar, após outra operação, o número 1.
ll) A operação L2 foi efetuada para, em lugar do número 4 da diagonal principal, se obter o número1.
lll) A operação L1 – 3L2 foi efetuada para, em lugar do número 3, situado acima do número 1 da diagonal principal, se obter um zero.
Transformação de uma matriz na matriz unidade
Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, com det A 0, pode ser transformada na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão finita de operações elementares, isto é, I ~ A. Exemplo: Transformar a matriz quadrada A na matriz equivalente I.
½ L
1
 :
 L
3
 
- 2L
1A = 				A1 = L2 - 4 L1 :
A2 = L23 :	A3 =	 L3 :
-
L
3
 :
L
1
 - 
L
2
 :A4 = 			A5 = 
L
1
 -
L
3
 :A6 = 			A7 = 
	Como se vê, a matriz A, por meio de uma sucessão finita de operações elementares, foi transformada na matriz equivalente I.
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares
A mesma sucessão finita de operações elementares que transformam a matriz quadrada A na matriz unidade I, transforma uma matriz I, de mesma ordem, na matriz A-1, inversa de A. Para determinar , pois, a matriz inversa de A:
a) coloca-se ao lado da matriz A uma matriz I, separada por um traço vertical;
b) transforma-se por meio de operações elementares, a matriz A numa matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado de A, as mesmas operações elementares. Exemplos: Determinar a matriz inversa da matriz: 
A = 
Solução:
L
3
 +
1L
1
 : L2 + 2 L1 :
 L2 
L
3
 + 
1L
2
 :
L
1
 + 
3L
2
 :
-
3L
3
 :
L
2
 +
L
3
 :
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz
B = 
É a matriz A-1, inversa de A.
	O leitor pode fazer a verificação efetuando o produto AB, cujo resultado deve ser I.
	A.29.1 – Inversão de uma matriz de ordem 2 – Determinar a inversa da matriz:
A = 
Solução
L
2
 
 
- cL
1
L
1
 				
d - 		(1)
det A = = ad – bc
Fazendo : 		ad – bc = n		(2)
E substituindo (2) em (1), vem:
d - 	, então:
	
 , então:
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz
B = 
É a matriz A-1, inversa de A.
Regra Prática
Examinando o resultado do item anterior, verifica-se que se pode obter a matriz A-1, inversa da matriz A de ordem 2, permutando os dois elementos da diagonal principal, trocando os sinais dos dois elementos da diagonal secundária e dividindo os quatro elementos de A por det A = n. 
Problemas resolvidos
Nos problemas 1 a 3, determinar a matriz inversa de cada uma das matriz M,N e B, respectivamente, sendo:
M = , N = ,	B = 
Soluções
1) Det M = = 28 –18 = 10 e M-1 = 
2) Det N = = 16 - 15 = 1 e N-1 = 
3) Det B = = cos2 + sen2 = 1 e
B-1 = 
Matriz ortogonal é a matriz quadrada A cuja transposta At coincide com a inversa A-1. A matriz B do problema 3, é ortogonal. 
De fato:
B = e Bt = = B-1
Exercícios TED 4
Nos problemas 1 a 5, determinar a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
01) A = 
02) B = 
03) C = 
04) E = 
05) F = 
Dadas as matrizes A e C dos problemas 1 e 3:
Calcular (AC)-1
Verificar a igualdade (AC)-1 = C-1A-1