Determinantes

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
DETERMINANTES
	Termo principal e termo secundário
Dada uma matriz quadrada qualquer, ao produto dos elementos da diagonal principal, dá-se o nome de termo principal e ao produto dos elementos da diagonal secundária dá-se o nome de termo secundário. Assim, dadas as matrizes
A = e B = 
Na matriz A, o termo principal é a11 a22 e o termo secundário é a12 a21; na matriz B, o termo principal é a11 a22 a33 e o termo secundário é a13 a22 a31.
	
Determinante de uma matriz é a soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar.
	A utilização da definição e o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem 2 e de ordem 3 serão feitos nos itens seguintes.
Ordem de um determinante é a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Se a matriz é de ordem 3, por exemplo, o determinante será de ordem 3.
Representação de um determinante – A representação do determinantes de uma matriz A, que será designado por det A, faz-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais. Exemplos:
det A = ; det B = 
Linhas de colunas de um determinante – Embora o determinante de uma matriz A seja um número real, costuma-se, por comodidade, falar nas linhas e nas colunas do determinantes que são as mesmas linhas e colunas da matriz A.
Cálculo do determinante de 2.ª ordem
O determinante de 2.ª ordem é o que corresponde à matriz de ordem 2:
A = 
	O termo principal de det A é a11 a22 e os segundos índices são 1 e 2. O conjunto {1,2} admite duas permutações: 12 e 21, a primeira de classe par e a Segunda de classe ímpar, considerando 12 a permutação principal. De acordo com a definição, pode-se escrever:
det A = = a11 . a22 - (a12 . a21)
Exemplos:
det A = = 2 . 9 - [(-5) .3] = 18 + 15 = 33
Calculo do determinante de 3.ª ordem
O determinante de 3.ª ordem é o que corresponde à matriz de ordem 3:
A = 
	O termo principal do det A é a11 a22 a33 e os segundos índices são 1,2 e 3. O conjunto {1,2,3} admite seis permutações 123,231,312,132,213 e 321, as três primeiras de classe par e as três últimas de classe ímpar, considerando 123 a permutação principal. De acordo com a definição, pode-se escrever:
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 – a13 a22 a31 (1)
	Na prática, obtém-se essa fórmula de dois modos:
Desenvolvimento do determinante por uma linha – A fórmula (1) pode ser transformada na seguinte:
det A = + a11 (a22 a33 – a23 a32) – a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31) ou
det A = + a11 . - a12 . - a13 . 
isto é, o determinante da matriz A, de ordem 3, é igual à soma algébrica dos produtos de cada elemento da primeira linha pelo determinante menor que se obtém suprimindo a primeira linha e a coluna correspondente ao respectivo elemento dessa linha, fazendo-se preceder esses produtos, alternadamente, pelos sinais + e - , iniciando pelo sinal +. Essa maneira de escrever a fórmula (1) para calcular um determinante de 3.ª ordem é denominada desenvolvimento do determinante pela 1.ª linha. 
Exemplos:
det A = = + 2 . - 4 . + 3.
det A = 2 (-45 –56) –4 (9 + 21) + 3 (8 – 15)
det A = 2 (-101) – 4(30) + 3 (-7) = -202 – 120 – 21 = -343
Um determinante pode ser calculado desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquer coluna, cuidando-se a alternância dos sinais + e – que precedem os produtos. No caso do determinante de ordem 3, a alternância dos sinais + e -, por linha e por coluna, é a seguinte:
	+
	-
	+
	-
	+
	-
	+
	-
	+
Regra de Sarrus 
A fórmula (1) também pode ser obtida pela Regra de Sarrus, que consiste no seguinte:
1.º) repetem-se as duas primeiras colunas à direita do quadro dos elementos da matriz A;
2.º) multiplicam-se os três elementos da diagonal principal bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo preceder os produtos do sinal +;
3.º) multiplicam-se os três elementos da diagonal secundária bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo preceder os produtos do sinal -. Assim:
	det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 – a13 a22 a31 
Exemplo: Calcular
det A = 
Solução:
det A = + (-90) + (-84) + 24 – 45 – 112 – 36 = - 90 – 84 + 24 – 45 – 112 – 36 = -343
Problemas resolvidos
1) Resolver a equação
 = 0
Solução
(8-x) (7-x) – 20 = 0
56 – 8x – 7x + x2 – 20 = 0
x2 – 15x + 36 = 0,
equações cujas raízes são x1 = 12 e x2 = 3.
2) Resolva a equação
Solução
(3 – x) . 
Na equação do 3.º grau, as soluções inteiras, caso existam, são divisoras do termo independente –36. Com as devidas substituições na equação acima, verifica-se que x = 2 é uma delas. Consequentemente, x-2 é um fator de polinômio x3 – 11x2 + 36x. Dividindo o polinômio (x-2) a equação poderá ser apresentada assim:
(x-2) (x2-9x+18) = 0
ou
(x-2) (x-3) (x-6) = 0
As raízes dessa equação são x = 2, x = 3 e x = 6
Cálculo de um determinante de ordem maior do que 3
O cálculo de um determinante de ordem n>3, por envolver um número excessivamente elevado de operações, não é feito desenvolvendo-o por uma linha (ou coluna). Atualmente se calcula um determinante de ordem n>3 por outro processo com o auxílio de um computador. Entretanto, aqui esse assunto não será visto, uma vez que, na Introdução à Álgebra Linear, os problemas abordados exigem só o cálculo de determinantes de ordem 2 e de ordem 3.
Exercícios TED 2:
	Os problemas 1 a 8 se referem às matrizes: 
A = , B = C = 
01) Calcular det A.
02) Calcular det B.
03) Calcular det C.
04) Verificar se det (B+C) = det B + det C.
05) Verificar se det (BC) = det (B) x det (C)
06) Se trocar a primeira linha pela Segunda na matriz, o que acontece com det B?
07) Se se multiplicar a Segunda coluna de C por 2, o que acontece com det C?
08) Verificar se det B = det Bt.
Nos problemas 9 a 12, resolver as equações:
9) 			10) 
11) 			12)