Mudança de Base

Prévia do material em texto

Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.
MUDANÇA DE BASE
Dadas duas bases A e B de um espaço vetorial V, pretende-se estabelecer a relação entre as componentes de um vetor v em relação à base A e as componentes do mesmo vetor em relação à base B. Para facilitar, considere-se o caso em que dim V = 2. O problema para espaços vetoriais de dimensão n é análogo.
Sejam as bases A = {v1,v2} e B = {w1,w2} de V. Dado um vetor v V, este será combinação linear dos vetores das bases A e B:
	v = x1v1 + x2v2									 (1)
ou
	vA = (x1, x2) ou, ainda, vA=	 							 (1-1)
e
	V = y1 w1 + y2 w2									 (2)
ou
	vB = (y1, y2)	ou, ainda, vB = 						 (2-1)
Por outro lado, os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:
v1 = a11w1 + a21w2
v2 = a12w1 + a22w2										 (3)
Substituindo-se v1 e v2 de (3) em (1), vem:
v = x1(a11w1 + a21w2) + x2(a12w1 + a22w2)
 ou
v = (a11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2)w2 						 (4)
Comparando as igualdades (4) e (2) vem:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2 ou na forma matricial:
=.									 (5)
Tendo em vista as igualdades (2-1) e (1-1) e fazendo
M = ,
a equação matricial (5) pode ser escrita assim:
	vB = MvA								 (6)
A finalidade da matriz M, chamada matriz de mudança de base de A para B, é transformar as componentes de um vetor v na base A em componentes do mesmo vetor v na base B. Se se quiser, em lugar de transformar vA em vB transformar vB em vA, a igualdade (6)
MvA = vB
permite escrever
	vA = M-1vB									 (7)
uma vez que M é inversível. Assim, M transforma vA em vB e M-1 transforma vB em vA.
Exemplos juntos na próxima aula: