ângulo entre dois veores e distância

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.
Ângulo de dois vetores
	Dados dois vetores e não nulos, de um espaço vetorial V, a desigualdade de Schwarz pode ser escrita assim;
	
ou
	
o que implica:
	1 0
Problemas Resolvidos
	Nos problemas 1 e 2, considerando o produto interno usual no e no respectivamente, calcular o ângulo entre os vetores dados em cada um deles.
 e
 	Solução
 	
	
 		= 2(5) + 1(0) –5(2) = 10 + 0 –10 = 0
 	
 	
 = (1,-1,2,3) e = (2,0,1,-2)
 	Solução
 	
	
 		= 1(2) –1(0) +2(1)+3(-2) = 2 – 0 + 2 – 6 = -2 
 	
 	
Sendo V um espaço vetorial euclidiano e V, calcular o coseno do ângulo entre os vetores , sabendo que 
Solução
	
No espaço vetorial das matrizes quadradas V= M, dadas duas matrizes qualquer
 e , o numero real
define um produto interno em M.
Sabendo que: e 
Calcular:
o ângulo entre e 
Solução:
 
DISTÂNCIA ENTRE VETORES
Chama-se distância entre dois vetores (ou pontos) e , o número real, representado por d( ,), definido por:
d( ,) = 
Se são vetores (ou pontos) do , com produto interno usual, tem-se:
 d
ou:
d(
Exemplo
Calcular a distância entre os vetores (ou pontos) e .
Solução
d( ,)=
VETORES ORTOGONAIS
	Dado um espaço euclidiano V, diz-se que dois vetoresde V são ortogonais, e se representa por , se, e somente se, .
O vetor 0 é ortogonal a qualquer vetor 
Se , então 
Se e , então 
Exemplos
Os vetores de , munido do produto interno usual, são ortogonais. De fato:
=-14+14=0
Os vetores são ortogonais no espaço vetorial V = em relação ao produto interno . De fato:
CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES
	Dado um espaço vetorial euclidiano V, diz-se que um conjunto de vetores é ortogonal, se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, para ij. Exemplo:
No, o conjunto {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} é ortogonal em relação ao produto interno usual. De fato:
(1,2,-3) . (3,0,1) = 1(3)+2(0)-3(1) = 3+0-3 = 0
(1,2,-3) . (1,-5,-3) = 1(1)+2(-5)-3(-3) = 1-10+9 = 0
(3,0,1) . (1,-5,-3) = 3(1)+0(-5)+1(-3)=3+0-3 = 0
Conjunto Ortogonal e Independência Linear
	Um conjunto ortogonal de vetores não nulos A=de um espaço vetorial euclidiano V é linearmente independente (LI). De fato , efetuando, em ambos os membros da igualdade 
a1v1 + a2v2 + ... +an vn = 0
o produto interno por , vem:
 (a1v1 + a2v2 + ... +an vn ) . = 0 . 
ou
 a1(v1 . vi) + ai(vi . vi) + ... + an (vn . vi) = 0 
Tendo em vista que A é ortogonal, vj . vi = 0 para j i, vi . vj 0 , pois vi 0:
a1(0) + ... + ai (vi . vi) + an (0) = 0,
ou
ai (vi . vi) = 0 
o que implica ai = 0 para i = 1, 2, ..., n . Logo, A = {v1 , v2, ...,vn} é LI.
Exercícios TED 17:
Nos problemas 1 a 3, calcular a distância entre os vetores dados em cada um deles.
 = (5,6) e υ = (-10,7)
 = (-3,1,9) e υ = (8,14,6)
 = (4,1,7,9) e υ = (2,-3,-5,-11)
Nos problemas 4 a 7, considerando o produto interno usual no , no e no , calcular o ângulo entre os pares de vetores dados em cada um deles.
 = (10,-3) e v = (3,10)
 = (, ) e v = (,)
 = (3,1,-7) e v = (0,1,3)
 = (1,2,-1,-2) e v = (0,2,-1,-2)
Dadas duas matrizes quaisquer
 = e v = 
do espaço vetorial V = M2 , munido do produto interno
 . υ = a1 a2 + b1 b2 +c1 c2 +d1 d2, e dados os vetores
 = e v = 
calcular:
 
d (,v) = 
o ângulo entre e v.