NB019 Capitulo 5 Integrais

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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de NB019 - Cálculo I 
 
1o Período 
 
 
 
Capítulo 5 
 
2o Semestre de 2014 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 148 
Capítulo 5 
INTEGRAIS 
 
5.1. Integral indefinida – primitivas 
 
O principal objetivo deste capítulo é calcular a função da qual se conhece a derivada. Se 
23x é a derivada de 3x , dizemos então que 3x é uma primitiva de 23x . Todavia, 53 +x , 
pi−3x , Cx +3 , em que ℜ∈C também são primitivas de 23x , pois ( ) ( ) ( ) 2333 35 xCxDxDxD xxx =+=−=+ pi . 
 
Continuando com a mesma análise, se )cos(x é a derivada de )(sen x , dizemos que 
)(sen x é uma primitiva de )cos(x . Mas, 7)(sen +x , 3)(sen −x , Cx +)(sen , em que 
ℜ∈C também são primitivas de )cos(x , pois 
( ) ( ) ( ) )cos()(sen3)(sen7)(sen xCxDxDxD xxx =+=−=+ . 
 
De forma geral, se tivermos [ ] )()( xfCxFDx =+ , dizemos que CxF +)( é um 
conjunto de primitivas de )(xf , escrevemos 
 
CxFdxxf +=∫ )()( 
 
e lemos: integral indefinida de )(xf em relação a x é igual a CxF +)( , em que: 
 
• )(xf é a função do integrando, 
• CxF +)( é a integral de dxxf )( , 
• C é a constante de integração e 
• ∫ é o símbolo da integral. 
 
Exemplo 01: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dxx78 
 
b) ∫ dxx)(sen 
 
c) ∫ − dxx 1 
 
Geometricamente, o resultado de uma integral indefinida gera uma família de curvas, 
chamadas de curvas integrais. 
 
Exemplo 02: Para a integral ∫ xdx2 , calcule seu resultado e esboce pelo menos 3 curvas 
integrais. 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 149 
5.2. Propriedades das integrais indefinidas 
 
P1) Derivada de uma integral 
 
)()( xfdxxf
dx
d
=∫ 
 
P2) Integral de uma função multiplicada por uma constante ℜ∈K 
 
∫∫ ⋅=⋅ dxxfKdxxfK )()( 
 
Exemplo 03: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dxx)cos(2 
 
b) ∫ dxx
5
 
 
 
P3) Integral de uma soma de funções 
 
[ ]∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
 
Exemplo 04: Calcule [ ]dxxx∫ + )cos(33 2 . 
 
 
5.3. Cálculo das integrais indefinidas imediatas 
 
Assim como fizemos no capítulo de derivadas, iremos construir agora uma tabela de 
diretivas de integrais. 
 
D1) ∫ += CKxKdx , em que ℜ∈K . 
 
Exemplo 05: Demonstre a diretiva acima. 
 
Exemplo 06: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dx3 
 
b) ∫ tdx2 
 
c) ∫ dy2e 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 150 
D2) ∫ ++=⋅
+
C
m
xfdxxfxf
m
m
1
)()(')(
1
 
 
Exemplo 07: Demonstre a diretiva acima. 
Exemplo 08: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dxx5 
 
b) ∫ 





−++− dx
x
x
xx 31
3
2 2
2
34
 
 
c) ∫ dxx3 2 
 
d) ∫ dx
x
1
 
 
e) ( )∫ + dxx 634 
 
f) ( )∫ − dxxx 3252 
 
g) dxxx )3cos()3(sen 2∫ 
 
h) ∫ dxx
xx
)(cos
)(tg
32
32
 
 
i) ∫ + dxbaxx )( 2 
 
j) ∫ dxx
x)ln(
 
 
 
D3) [ ] Cxfdx
xf
xf
+=∫ )(ln)(
)('
 
 
Exemplo 09: Demonstre a diretiva acima. 
 
Exemplo 10: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dxx
2
 
 
b) ∫
−
dx
x
x
3
2
1
 
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c) ∫ + dxx
x
2
2
e1
e
 
 
d) ∫ ⋅ dxxx )(tg 2 
 
e) dx
x
x
∫
+
)(tg
1)(tg2
 
 
f) dx
x
x
∫ + )3cos(4
)3(sen
 
 
g) dx
xx
x
∫
−
−
63
22
2 
 
h) ∫ 





−
+
+
dx
xx
x
2
1
31 2
 
 
D4) ∫ +=⋅ Ca
adxxfa
xf
xf
)ln()('
)(
)(
, }1{* −ℜ∈ +a 
 
Exemplo 11: Demonstre a diretiva acima. 
 
Exemplo 12: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dxx4 
 
b) ∫ dxxe 
 
c) ∫ − dxx8e 
 
d) ∫
⋅ dx
x
x
x
)sec(
3
2
)(sen 2
 
 
e) ∫ + dxbax7 
 
f) ∫
−
dx
x
x
4
e
e
5
4
 
 
g) ∫






−






dx
x
3
cos1
2
2
3
x
cotg
 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 152 
D5) [ ] [ ] Cxfdxxfxf +−=⋅∫ )(cos)(')(sen 
 
D6) [ ] [ ] Cxfdxxfxf +=⋅∫ )(sen)(')(cos 
 
Exemplo 13: Demonstre as diretivas acima. 
 
Exemplo 14: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) dxx∫ 





3
2
cos 
 
b) dxx∫ )7(sen 
 
c) ∫ − dxxx )38cos( 43 
 
d) dtt∫ 











−+
3
42sen31 
 
e) ∫ − dxx)1(sen 
 
f) dxx
x
x
x
x
∫ 





−+ )5(sen)2sec(
)2(sen
)(cossec
)(cos 32
 
 
g) [ ]dxxxxx )cos()cos()(sen 323∫ − 
 
 
D7) [ ] ( )[ ] Cxfdxxfxf +−=⋅∫ )(cosln)(')(tg 
 
D8) [ ] ( )[ ] Cxfdxxfxf +=⋅∫ )(senln)(')(cotg 
 
D9) [ ] [ ]∫ +=⋅ Cxfdxxfxf )(tg)(')(sec2 
 
D10) [ ] [ ]∫ +−=⋅ Cxfdxxfxf )(cotg)(')(cossec2 
 
 
Exemplo 15: Demonstre as diretivas acima. 
 
Exemplo 16: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) [ ]dx
x
(x)
∫
lntg
 
 
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b) [ ] dxxx 33 eecotg ⋅∫ 
 
c) ( )∫ ⋅ dxxx 322 cossec 
 
d) ∫ 











+










 dxxxx
2
sec
2
sec
2
tg 22 
 
e) ∫
− )2(sen1 2 t
dt
 
 
 
D11) [ ] [ ] [ ]∫ +=⋅⋅ Cxfdxxfxfxf )(sec)(')(tg)(sec 
 
D12) [ ] [ ] [ ]∫ +−=⋅⋅ Cxfdxxfxfxf )(cossec)(')(cotg)(cossec 
 
Exemplo 17: Demonstre as diretivas acima. 
 
Exemplo 18: Calcule as integrais a seguir. 
 
 a) dx
x
xx
∫
⋅
)2(cos
)2(sen
22
2
 
 
b) dx
x
x
∫












2
sen
2
cotg
 
 
c) ( )( )dxx
x
∫ 3sen
3cos
2 
 
d) ( )( )dxxx
x
∫
⋅
− cossece
esec
)cos(
)cos(2
 
 
e) ( )[ ]dxxxx x 2)12(sec2tg 13322∫ ++−−− 
 
f) dxxx∫ ⋅ )3(tg)3(sec3 
 
g) ∫ dtt)4sec( 
 
 
D13) C
a
xfdx
xfa
xf
+





=
−
∫
)(
arcsen
)(
)('
22
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 154 
D14) C
a
xf
a
dx
xfa
xf
+





=
+∫
)(
arctg1)(
)('
22 
 
D15) C
a
xf
a
dx
axfxf
xf
+





=
−
∫
)(
arcsec
1
)()(
)('
22
 
 
5.4. Problema de valor inicial 
 
É todo problema que envolve uma integração associada a uma condição inicial 
fornecida para seu resultado, do tipo 00 )( yxf = . Esta condição inicial permite calcular 
a constante de integração do problema. 
 
Exemplo 19: Sabendo que )2(sec3)(' 2 xxf = e que 
2
5
8
=




pif , determine )(xf . 
 
Exemplo 20: Qual é a curva que passa pelo ponto )1,1( −A , cuja inclinação em qualquer 
ponto é dada por 23x ? 
 
Exemplo 21: A aceleração de uma motocicleta é dada por 2120,05,1)( ttta −= [m/s2]. A 
motocicleta está em repouso na origem no instante t = 0s. 
 
a) Calcule sua velocidade e sua posição em função do tempo. 
b) Calcule a velocidade máxima que a motocicleta pode atingir. 
 
Exemplo 22: Um objeto move-se ao longo de uma trilha mantendo a velocidade de 
acordo com a equação: 
2812)( tttv +−= [m/s]. 
 
Inicialmente esse objeto encontrava-se na posição 50 m. Depois de 10 segundos de 
movimento qual a nova posição do objeto? (Lembre-se de que 
dt
ds
v = ) 
 
Exemplo 23: Uma pessoa dirige um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. No 
instante t = 0(s), quando está se movendo a 10(m/s) no sentido positivo do eixo Ox, ela 
passa por um poste de sinalização a uma distância x= 50(m). Sua aceleração em função 
do tempo é dada através do gráfico a seguir. Pede-se: 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 155 
a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo. 
b) Qual o instante que sua velocidade atinge o valor máximo? 
c) Qual a velocidade máxima? 
d) Onde está o carro quando a velocidade atinge seu valor máximo? 
 
 
5.5. Métodos de integração 
 
Algumas integrais, por não possuírem solução imediata, devem ser resolvidas através da 
utilização de um método de integração. Estudaremos a seguir alguns métodos. 
 
5.5.1. Integração por partes 
 
É baseada na derivada do produto de duas funções. Considere duas funções )(xf e 
)(xg , ambas deriváveis. Sabemos que 
 
[ ]
[ ] )()(')()()(')(
)(')()()(')()(
xgxfxgxfDxgxf
xgxfxgxfxgxfD
x
x
⋅−⋅=⋅
⋅+⋅=⋅
 
 
Integrando a equação anterior membro a membro em relação a x, encontramos 
 
 
∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( 
 
Fazendo 
 
dxxfdu
xf
dx
du
xfu
)('
)('
)(
=
=
=
 
dxxgdv
xg
dx
dv
xgv
)('
)('
)(
=
=
=
 
 
A integral anterior fica na forma 
 
∫∫ −= vduuvudv , que é a fórmula de integração por partes. Quando utilizá-la? 
 
• Quando o integrando for o produto de duas funções que não possui integral imediata. 
• Se ao multiplicarmos a derivada de uma das funções pela integral da outra função, 
obtivermos um resultado cuja integração é imediata. Para isso, devemos escolher 
convenientemente as funções u e dv para que vdu possua integração imediata. 
 
Exemplo 24: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ ⋅ dxx xe 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 156 
b) ∫ ⋅ dxxx )(sen 
 
c) ∫ dxx)3ln( 
 
d) ∫ −⋅ dxx x32 e 
 
e) ∫ dxx)(arctg 
 
f) ∫ ⋅ dxxx )(sene 
 
g) ∫ ⋅ dxxx )(arctg2 
 
h) ( )∫ ++ dxaxx 22ln 
 
i) ∫ − dxxx
3 35 1
 
 
j) ∫ + dxx
xex
2)1( 
 
 
5.5.2. Integrais de funções trigonométricas 
 
São integrais cujas soluções são possíveis mediante a utilização de relações 
trigonométricas, tais como: 
 
1) 1)(cos)(sen 22 =+ xx 
 
2) )(sec1)(tg 22 xx =+ 
 
3) )(cossec)(cotg1 22 xx =+ 
 
4) 
2
)2cos(1)(sen2 xx −= 
 
5) 
2
)2cos(1)(cos2 xx += 
6) [ ])(sen)(sen
2
1)cos()(sen bababa −++=⋅ 
7) [ ])cos()cos(
2
1)(sen)(sen bababa +−−=⋅ 
 
8) [ ])cos()cos(
2
1)cos()cos( bababa ++−=⋅ 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 157 
Exemplo 25: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ dxx)2(cos2 
 
b) ∫ dxxx )cos()3(sen 
 
c) ∫ dxxx )4(sen)(sen 
 
d) ∫ − dxx)cos(1 , onde [ ]pi,02 ∈
x
 
 
e) ∫ dxx)(tg2 
 
f) ∫ dxx)(tg4 
 
g) ∫ dxxx )(cos)(sen 23 
 
Existem três casos particulares de substituições trigonométricas, utilizadas em integrais 
cujos integrandos possuem uma das formas a seguir: 
 
22 xa +
 
22 xa −
 
22 ax −
 
 
a) Formato 22 xa + 
 
 
Neste caso, fazemos a substituição 
 
)(t θgax ×= 
 
θθ dadx )(sec2×= 
 
Exemplo 26: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
+ 24 x
dx
 
 
b) ∫
+
dt
t
t
9e
e
2
 
 
 
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b) Formato 22 xa − 
 
 
Neste caso, fazemos a substituição 
 
)(sen θ×= ax 
 
θθ dadx )cos(×= 
 
Exemplo 27: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
−
21 x
dx
 
 
b) ∫
−
dx
x
x
29
 
 
 
c) Formato 22 ax − 
 
 
Neste caso, fazemos a substituição 
 
)(sec θ×= ax 
 
θθθ dadx )(tg)sec(×= 
 
Exemplo 28: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
−
dx
x
x
12
 
 
b) ∫
− 425 2x
dx
 
 
 
 
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5.5.3. Integrais de funções racionais 
 
Algumas integrais de funções racionais são resolvidas através da decomposição das 
mesmas em uma soma de frações parciais. Uma função racional é definida por toda 
função dada por )(
)()(
xd
xD
xf = , onde )(xD e 0)( ≠xd são polinômios. 
Se o grau de )(xD é maior ou igual ao grau de )(xd , então )(xf é uma função racional 
imprópria, abreviada por FRI. 
 
Se o grau de )(xD é menos que o grau de )(xd , então )(xf é uma função racional 
própria, abreviada por FRP. 
 
Como vimos no assunto divisão de polinômios (Capítulo 1), toda função racional 
imprópria pode ser decomposta na soma de um polinômio (ou uma constante) com uma 
função racional própria. 
 
Exemplo 29: Classifique as funções racionais a seguir. Para as funções racionais 
impróprias, faça a divisão polinomial, representando as mesmas como uma soma de um 
polinômio (ou constante) com uma função racional própria. 
 
a) 
22
32)(
−
+
=
x
x
xf 
 
b) 
73
54)( 2 +−
−
=
xx
x
xf 
 
c) 
1
143)(
23
−
−+−
=
x
xxx
xf 
 
d) 
13
32)( 24
2
−+
++
=
xx
xx
xf 
 
e) 
22
2)( 2
2
++
−
=
xx
x
xf 
 
 
Todas as funções racionais próprias que apresentam mais de uma raiz no denominador 
podem ser decompostas em uma soma de frações parciais. O primeiro passo a ser 
tomado para decompor uma FRP em uma soma de frações parciais é fazer a fatoração 
do polinômio do denominador. Veremos três casos mais freqüentes de expansão em 
frações parciais. 
 
� 1o Caso: Para uma função racional própria, o polinômio )(xd do denominador 
possui todas as raízes reais e distintas nrrr ≠≠≠ L21 , assim, o mesmo é fatorável em 
um produto de vários fatores da forma )( nrx − . Neste caso, cada fator 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 160 
)( nrx − corresponde a uma fração parcial da forma 
n
n
rx
C
−
, nas quais as constantes 
nCCC ,,, 21 L devem ser determinadas. Assim: 
 
)()()()()()(
)(
)(
)(
2
2
1
1
21 n
n
n rx
C
rx
C
rx
C
rxrxrx
xD
xd
xD
−
++
−
+
−
=
−××−×−
= L
L
 
 
Exemplo 30: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫
−+
+ dx
xx
x
103
13
2 
 
b) ∫ ++
−− dx
xx
x
127
7
2 
 
c) ∫
−−+
−−+ dx
xxx
xxx
44
189
23
34
 
 
d) ∫
−
dx
x 4
1
2 
 
e) ∫
−−
−−− dx
xxx
xxx
82
166865
23
23
 
 
f) ∫
−−
− dx
xx
x
145
34
2 
 
g) ∫
−+−−
−+ dx
xxxx
xx
)65)(365(
87623581
22
2
 
 
 
� 2o Caso: Para uma função racional própria, o polinômio )(xd do denominador 
possui n raízes reais e iguais rrrr n ==== L21 , assim, o mesmo é fatorável na forma 
n
rxxd )()( −= . Neste caso, teremos n frações parciais, da forma: 
 
n
n
n
rx
C
rx
C
rx
C
rx
C
rx
xD
xd
xD
)()()()()(
)(
)(
)(
3
3
2
21
−
++
−
+
−
+
−
=
−
= L , 
 
 
nas quais as constantes nCCC ,,, 21 L devem ser determinadas. Podemos encontrar em 
uma mesma função racional própria a mistura entre o 1º caso e o 2º caso de expansão 
em frações parciais. 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 161 
Exemplo 31: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ +−
+ dx
xx
x
12
1
2 
 
b) ∫ +++ dxxxx
x
254
2
23 
 
c) ∫ +−++
+−− dx
xxxx
xx
)96)(12(
5143
22
2
 
 
d) ∫ +−
−+ dx
xx
xx
)2()1(
68
2
2
 
 
e) ∫
−−
++− dx
xx
xxx
22
23
)152(
42311599
 
 
f) ∫ +−
++− dx
xx
xxx
22
23
)12(
22
 
 
g) ∫ +−
−−+ dx
xx
xxx
8118453253
24
23
 
 
 
� 3o Caso: Para uma função racional própria, o polinômio )(xd do denominador é 
fatorável em um produto de fatores do 2o grau distintos, da forma cbxax ++2 , cujas 
raízes são complexas. Neste caso, cada fator deste tipo corresponde a uma fração parcial 
da forma: 
 
cbxax
CxC
++
+
2
21
, nas quais 1C e 2C são as constantes a serem determinadas. 
 
De forma geral, teremos: 
 
)()()(
)(
)(
)(
2
22
2
211
2
1 nnn cxbxacxbxacxbxa
xD
xd
xD
++××++×++
=
L
, 
 
onde todos os polinômios do 2º grau do denominador possuem raízes complexas. A 
expansão em frações parciais é feita da seguinte forma: 
 
nnn
nn
cxbxa
CxC
cxbxa
CxC
cxbxa
CxC
xd
xD
++
+
++
++
+
+
++
+
=
−
2
212
22
2
2
43
11
2
1
21
)(
)(
L , 
 
nas quais as constantes nCCC 221 ,,, L devem ser determinadas. 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 5 162 
Exemplo 32: Para a função dada a seguir, pede-se: 
 
4223
13
)4()42()2()5(
5)(
+×++×−×+
=
xxxxx
x
xf 
 
a) Quantas raízes existem no denomindador de )(xf ? 
b) Quais os formatos destas raízes? 
c) A função )(xf é racional própria ou racional imprópria? 
d) Indique todas as frações parciais da expansão de )(xf . Não há necessidade de 
calcular as constantes de cada fração parcial. 
 
Exemplo 33: Calcule as integrais a seguir. 
 
a) ∫ ++
− dx
xx
x
)2)(1(
3
22
2
 
 
b) ∫
−+− 123 xxx
dx
 
 
c) ∫ +++
++ dx
xxx
xx
44
2038
23
2
 
 
d) ∫
−
+ dx
x
x
1
2
3
2
 
 
e) ∫
−
−++++ dx
x
xxxxx
1
22
4
2345
 
 
f) ∫ +
− dx
x
x
1
1
2
2
 
 
g) ∫ +−++−
−+−+− dx
xxxxx
xxxxx
4444
361043
2234
2345
 
 
 
5.5.4. Algumas outras técnicas de integração 
 
Existem algumas outras técnicas de integração que podem ser utilizadas no cálculo das 
integrais indefinidas. São elas: 
 
� Substituição 
 
Exemplo 34: Utilizando a substituição 192 +−= xxu , resolva a integral 
∫
+−
− dx
xx
x
19
92
2
. 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 163 
� Completando o quadrado 
 
Tem como objetivo encontrar na função do integrando um trinômio quadrado perfeito, 
após algumas manipulações algébricas. 
 
Exemplo 35: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫ ++ 2582 xx
dx
 
 
b) ∫
+−− 34)2( 2 xxx
dx
 
 
c) ∫
−
28 xx
dx
 
 
� Reduzindo uma fração imprópria 
 
Como visto na técnica de expansão em frações parciais, todas as vezes que a função do 
integrando for uma FRI, a divisão polinomial deverá ser feita. 
 
Exemplo 36: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫ +
− dx
x
xx
23
73 2
 
 
b) ∫ + dxx
x
22
2
 
 
� Separando uma fração 
 
Uma separação simples da forma 
c
b
c
a
c
ba
+=
+
 pode auxiliar na solução de uma 
integral. 
 
Exemplo 37: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
−
+ dx
x
x
21
23
 
 
b) ∫
+ dx
x
x
)(cos
)(sen1
2 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 164 
5.6. Integrais definidas 
 
5.6.1. Introdução 
 
O conceito inicial de integrais definidas será dado através do exemplo a seguir. 
 
Exemplo 38: Um corpo se desloca em um plano segundo a equação 6)( 2 −+= ttts m, 
para t dado em segundos. Podemos calcular o deslocamento do corpo no intervalo 
[ ]3,1∈t fazendo 
 
=−=∆ )1()3( sss ________________________________________________ (calcule!) 
 
Sabemos também que a velocidade deste corpo para cada instante corresponde à taxa de 
variação instantânea de posição ao longo do tempo, ou seja, 
 
12)()( +== tts
dt
d
tv sm / . 
 
Supondo que tivéssemos como dado inicial do problema somente a equação da 
velocidade do corpo. Como calcular o deslocamento do mesmo no mesmo intervalo 
[ ]3,1∈t ? 
 
A solução deste problema é obtida através da utilização de uma integral definida. 
Assim: 
 
∫∫ =++−++=++=+==∆
=
∈
3
1
223
1
2
3
1
]3,1[ 10)11()33()()12()( mCCCttdttdttvs tt , 
 
que corresponde ao mesmo resultado calculado anteriormente. Uma integral definida é 
uma integral que possui dois limites de integração, um superior e um inferior. Esboce a 
seguir o gráfico de )(tv . 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 165 
Calcule agora a área abaixo da reta dentro do intervalo [ ]3,1∈t . Veremos 
posteriormente que uma integral definida de uma função será utilizada para o cálculo de 
áreas. 
 
 
5.6.2. Teorema fundamental do cálculo 
 
Sabendo que CxF +)( é o resultado da integral de )(xf , contínua no intervalo [ ]ba, , 
teremos 
 
[ ] [ ]∫ −=+−+=+= =
b
a
b
ax
aFbFCaFCbFCxFdxxf )()()()()()( 
 
Exemplo 39: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
6
2
xdx 
 
b) ∫
pi
0
)( dxxsen 
 
c) ∫
−
−
3
2
2dxx 
 
 
5.6.3. Propriedades das integrais definidas 
 
P1) 0)()()( =−=∫ aFaFdxxf
a
a
 
 
P2) ∫∫ =
b
a
b
a
dxxfKdxxKf )()( , ℜ∈K 
 
P3) ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( 
 
P4) [ ] ∫∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
 
P5) Se bca << , então 
 
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 166 
 
P6) Integral definida por partes: ∫∫ −=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv 
 
Exemplo 40: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
−
3
2 1x
dx
 
 
b) dx
x
x
∫
3
0
3 )(cos
)(sen
pi
 
 
c) ∫ +
2
1
2)1(x
dx
 
 
d) ∫
−
)4ln(
0
2dxe
x
 
 
e) ∫
−
5
2
2 1
dx
x
x
 
 
f) ∫
−
+
2
2
24 x
dx
 
 
Exemplo 41: Suponha que 4)(
2
1
−=∫ dxxf , 6)(
5
1
=∫ dxxf e 8)(
5
1
=∫ dxxg , calcule: 
 
a) ∫
2
2
)( dxxf 
 
b) ∫
1
5
)( dxxg
 
 
 
c) ∫ −
5
1
)]()(4[ dxxgxf 
 
d) ∫
5
2
)(3 dxxf 
 
Exemplo 42: Utilize a substituição xt = para calcular ∫ +
=
4
0 1 x
dxI . 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 167 
Exemplo 43: Utilize a substituição )(4 θtgx = para calcular a integral ∫
−
+
4
4
2 16x
dx
. 
 
 
5.6.4. Teorema do valor médio 
 
Se )(xfy = é uma função contínua no intervalo [ ]ba, , então o valor médio de )(xf 
dentro deste intervalo é dado por 
 
∫
−
=
b
a
m dxxf
ab
y )(1 
 
O valor médio da função )(xf é sempre assumido pelo menos uma vez pela função no 
intervalo [ ]ba, . 
 
 
Exemplo 44: Calcule o valor médio da função )cos()( xxf = no intervalo 



pi
pi
,
2
. 
 
 
Exemplo 45: Um carro realiza uma viagem de 5 horas com velocidade definida pela 
equação 1030)( −= ttv , onde t está medido em horas e v em km/h. Calcule a velocidade 
média do carro neste período. 
 
 
Exemplo 46: Uma loja recebe um carregamento de 600 caixas com meias esportivas a 
cada 60 dias. O número de caixas disponíveis no estoque t dias depois de o 
carregamento chegar é ttI 1520600)( −= . Determine a quantidade média de caixas de 
meias no estoque da loja neste período de 60 dias. 
 
 
Exemplo 47: Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus 
Celsius t horas após a meia-noite é )40200.(1,0)( ttT −= , para 60 ≤≤ t . Qual é a 
temperatura média registrada no período de 1 da manhã até 6 da manhã?Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 168 
5.7. Cálculo de áreas 
 
Considere uma função )(xfy = , contínua e positiva num intervalo [ ]ba, , definindo 
uma área limitada superiormente pelo gráfico da função, lateralmente pelas retas 
verticais ax = e bx = e inferiormente pelo eixo x, como mostrado no gráfico a seguir. 
 
 
 
Podemos dividir essa área em n faixas de largura uniforme 
n
ab
x
−
=∆ , por meio de 
retas paralelas ao eixo y, passando pelos pontos nn xxxxx ,,,,, 1210 −L , formando n 
retângulos conforme mostrado no gráfico da figura a seguir. 
 
 
 
 
Construímos em cada um desses subintervalos retângulos com base ∆x e altura )( kxf . 
A soma das áreas dos n retângulos é dada por 
xxfxxfxxfxxfS nn ∆++∆+∆+∆= − )()()()( 1210 L 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 169 
xxfS
n
k
kn ∆=∑
−
=
.)(
1
0
 
Esta soma é conhecida como soma de Riemann. Ao aumentarmos consideravelmente o 
número de faixas de largura ∆x, ou seja, fazer n crescer indefinidamente )( ∞→n , 
consequentemente teremos 0→∆x . Dessa forma, a soma nS , no limite, tende ao valor 
da área S , ou seja, 
se ∞→n , então 
∫∑→
→∆ dxx
 
∫∑ ==∆=
−
=
→∆→∞
b
a
n
k
k
x
n
n
dxxfSxxfS )()(limlim
1
00
 
 
Exemplo 48: Calcule a área limitada pela curva 24 xxy −= e o eixo x. 
 
Exemplo 49: Calcule a área limitada pela curva )(sen xy = e o eixo x no intervalo 
[ ]pi,0 . 
 
 
O cálculo da área de uma figura plana limitada pelos gráficos de duas funções f(x) e 
g(x), contínuas no intervalo [ ]ba, , onde [ ]baxxgxf , ),()( ∈∀≥ , será dado pela 
expressão: 
 
[ ]∫ −=
b
a
dxxgxfA )()( 
 
 
Exemplo 50: Calcule a área limitada pela parábola 672 +−= xxy e o eixo x no 
intervalo [ ]6,2 . 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 170 
Exemplo 51: Calcule a área total limitada pela curva )(sen xy = e o eixo x no intervalo 
[ ]pi2,0 . 
 
Exemplo 52: Calcule a área limitada pelas curvas )(sen xy = e )cos(xy = no intervalo 




4
5
,
4
pipi
. 
 
Exemplo 53: Determine a área total da região entre o eixo x e o gráfico de 
xxxxf 2)( 23 −−= , no intervalo fechado: 21 ≤≤− x . 
 
 
 
Exemplo 54: Determine a área indicada no gráfico da figura a seguir. 
 
 
 
Exemplo 55: Calcule a área limitada pelas parábolas 26 xxy −= e xxy 22 −= . 
 
Exemplo 56: Calcule a área limitada pela parábola xy 42 = e a reta 42 −= xy . 
 
Exemplo 57: Calcule a área limitada pelas curvas 6=− xy , 03 =− xy e 02 =+ xy . 
 
xy cos1+= 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 171 
Exemplo 58: Prove que a área de um círculo de raio r é igual a 2r×pi . Para isto, adote 
uma circunferência de raio r centrada na origem do sistema de coordenadas cartesianas 
e faça na integral que você encontrar a substituição )(sen θ×= rx , e lembre-se de que 
2
)2cos(1)(cos2 θθ += . 
 
Exemplo 59: Encontre a área limitada pelos gráficos das funções a seguir. 
 
a) 2)( xxf = e 2)( += xxg 
b) 3)( xxf = e xxg =)( 
c) 1)( 2 −= xxf e 1)( += xxg 
d) xy =2 ; 2=− xy ; 2−=y e 3=y 
e) 222 −= xy e 5−= xy
 
 
 
5.8. Integrais impróprias 
 
Uma integral definida é dita imprópria se ocorrer pelo menos uma das duas situações a 
seguir: 
 
1) Um ou ambos os limites de integração são infinitos. 
 
2) A função do integrando apresentar uma descontinuidade dentro do intervalo de 
integração. 
 
Integrais impróprias são utilizadas no teste da integral para identificar se uma série 
numérica é convergente ou divergente; em sinais e sistemas, ao determinar as 
transformadas de Fourier e de Laplace de um sinal; em probabilidade e estatística, ao 
determinar probabilidades ou médias estatísticas de uma variável aleatória contínua que 
assume qualquer valor real. A solução de integrais impróprias será dada através do 
exemplo a seguir. 
 
Exemplo 60: Resolva as integrais a seguir. 
 
a) ∫
∞
−
0
dxe x 
 
b) ∫
∞
∞−
+ 21 x
dx
 
 
c) ∫
∞−
0
2 dxe x 
 
d) ∫
1
0 x
dx
 
 
e) ∫
−
1
0 1
1 dx
x
 
 
f) ∫
−
2
0
2)1(x
dx
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 172 
RESPOSTAS DOS EXEMPLOS 
CAPÍTULO 5 
 
01) 
 
a) Cx +8 b) Cx +− )cos( c) Cx +)ln( 
 
02) 
 
 
 
∫ += Cxxdx
22 
 
 
03) 
 
a) Cx +)(sen2 b) Cx +)ln(5 
 
04) Cxx ++ )(sen33 
 
05) [ ] KCKx
dx
d
=+ 
 
06) 
 
a) Cx +3 b) Ctx +2 c) Cy +2e 
 
07) )(')(
1
)(')()1(
1
)( 1
xfxf
m
xfxfmC
m
xf
dx
d mmm
⋅=
+
⋅⋅+
=





+
+
+
 
 
08) 
 
a) Cx +
6
6
 b) Cx
x
xxx
+−−+− 31
925
345
 
c) Cxx +
5
3 3 2
 d) Cx +2 
e) ( ) Cx ++
28
34 7
 f) ( ) Cx +−−
40
52 42
 
g) Cx +
9
)3(sen3
 h) Cx +
6
)(tg 32
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 173 
i) ( ) C
a
bax
+
+
4
22
 j) Cx +
2
)(ln2
 
 
09) [ ]{ } )(')(
1)(ln xf
xfCxfdx
d
⋅=+ 
 
10) 
 
a) Cx +)ln(2 b) ( ) Cx +−− 31ln
3
1
 c) ( ) Cx ++ 2e1ln
2
1
 
d) [ ] Cx +− )cos(ln
2
1 2
 e) [ ] Cx +)(tgln f) [ ] Cx ++− )3cos(4ln
3
1
 
g) ( ) Cxx +−− 63ln
3
1 2
 h) ( ) Cxx +−++ )2ln(31ln
6
1 2
 
 
11) )(')ln(
)(')ln(
)ln(
)(
)()(
xfa
a
xfaaC
a
a
dx
d xfxfxf
⋅=
⋅⋅
=





+ 
 
12) 
 
a) C
x
+)4ln(
4
 b) Cx +e c) C-
x
+
−
8
e 8
 
d) C
x
+)3ln(2
3 )(sen
2
 e) C
a
bax
+
+
)7ln(
7
 f) C
x
+−
−
)5ln(4
5
4e
 
g) C
x
+
⋅−






)2ln(
23 3
cotg
 
 
13) [ ]{ } [ ] )(')(sen)(cos xfxfCxf
dx
d
⋅=+− 
 [ ]{ } [ ] )(')(cos)(sen xfxfCxf
dx
d
⋅=+ 
 
14) 
 
a) Cx +





3
2
sen
2
3
 b) Cx +− )7cos(
7
1
 
c) Cx +−− )38(sen
12
1 4
 d) Ctt +





−+
3
42cos
4
9
 
e) Cx +− )1cos( f) Cxxx +++ )5cos(
5
1)2(sen
8
1)(cos
3
1 43
 
g) Cxx +− )(sen
3
1)(sen
4
1 34
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 174 
15) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ] [ ] )(')(tg)(')(sen)(cos
1)(cosln xfxfxfxf
xfCxfdx
d
⋅=⋅−⋅
−
=+− 
 ( )[ ]{ } ( ) ( ) [ ] )(')(cotg)(')(cos)(sen
1)(senln xfxfxfxf
xfCxfdx
d
⋅=⋅⋅=+ 
 [ ]{ } [ ] )(')(sec)(tg 2 xfxfCxf
dx
d
⋅=+ 
 [ ]{ } [ ] )(')(cossec)(cotg 2 xfxfCxf
dx
d
⋅=+− 
 
16) 
 
a) [ ]{ } Cx +− )ln(cosln b) [ ] Cx +)e(senln
3
1 3
 
c) Cx +− )(cotg
3
1 3
 d) Cxx +





+





2
tg2
2
tg2 
e) Ct +)2(tg
2
1
 
 
17) [ ]{ } [ ] [ ] )(')(tg)(sec)(sec xfxfxfCxf
dx
d⋅⋅=+ 
 
 [ ]{ } [ ] [ ] )(')(cotg)(cossec)(cossec xfxfxfCxf
dx
d
⋅⋅=+− 
 
18) 
 
a) Cx +)2sec(
4
1 2
 b) Cx +





−
2
cossec2 
c) Cx +− )3(cossec
3
1
 d) Cx +− )e(tg )cos( 
e) [ ] Cxx x ++−−−− + )2ln(3
2)12(tg
6
1)2cos(ln
13
3
 
f) Cx +)3(sec
9
1 3
 g) [ ] Ctt ++ )4(tg)4sec(ln
4
1
 
 
19) 1)2(tg
2
3)( += xxf 
 
20) 2)( 3 −= xxf 
 
21) 
 
a) 32 04,075,0)( tttv −= m/s e 43 01,025,0)( ttts −= m. 
b) 0625,39)5,12(max == vv m/s. 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 175 
22) 
3
310)10( =s m. 
 
23) 
 
a) 10205,0)( 2 ++−= tttv m/s e 5010
3
05,0)( 23 +++−= tttts m. 
b) 20=t s. 
c) 30)20(max == vv m/s. 
d) 
3
1550)20( =s m. 
 
24) 
 
a) Cx xx +−⋅ ee 
b) Cxxx ++⋅− )(sen)cos( 
c) Cxxx +−)3ln( 
d) Cxx
xxx
+−
⋅
−
⋅
−
−−−
27
2e
9
e2
3
e 3332
 
e) Cxxx ++−⋅ )1ln(
2
1)(arctg 2 
f) [ ] Cxxx +−⋅ )cos()(sene
2
1
 
g) Cxxxx +++− )1ln(
6
1
6
)(arctg
3
2
23
 
h) ( ) Caxaxxx ++−++⋅ 2222ln 
i) ( ) ( ) Cxxx +−−− 3733433 1
28
31
4
 
j) C
x
x x
x
++
+
⋅
− e
1
e
 
 
25) 
 
a) Cxx ++ )4(sen
8
1
2
1
 
b) Cxx +−− )2cos(
4
1)4cos(
8
1
 
c) Cxx +− )5(sen
10
1)3(sen
6
1
 
d) Cx +





−
2
cos22 
e) Cxx +−)(tg 
f) Cxxx ++− )(tg)(tg
3
1 3
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 176 
g) Cxx ++− )(cos
5
1)(cos
3
1 53
 
 
26) 
 
a) Cxx +








+
+
22
4ln
2
 b) C
tt
+








+
+
3
e
3
9eln
2
 
 
27) 
 
a) Cx +)(arcsen b) Cx +−− 29 
 
28) 
 
a) Cx +−12 b) Cxx +








−
+
2
425
2
5ln
5
1 2
 
 
29) 
 
a) Função racional imprópria, 
22
51)(
−
+=
x
xf . 
b) Função racional própria. 
c) Função racional imprópria, 
1
122)( 2
−
++−=
x
xxxf . 
d) Função racional própria. 
e) Função racional imprópria, 
424
6
2
1)( 2 ++
+
−=
xx
x
xf . 
 
30) 
 
a) Cxx +−++ )2ln()5ln(2 
b) Cxx ++++− )4ln(3)3ln(4 
c) Cxxxx +++−−++ )1ln(3)2ln()2ln(2
2
2
 
d) Cxx +−++− )2ln(
4
1)2ln(
4
1
 
e) Cxxxx +−−+++ )4ln(
3
8)2ln(
3
14)ln(25 
f) Cxx +++−− )2ln(4)7ln(3 
g) Cxxxx +−++−+−− )1ln(2)6ln(3)4ln(4)9ln(5 
 
31) 
 
a) C
x
x +
−
−−
1
2)1ln( 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 177 
b) C
x
xx +
+
++++−
1
2)1ln(4)2ln(4 
c) C
xx
+
−
+
+
−
3
4
1
1
 
d) Cx
x
x ++−
−
−− )2ln(2
1
1)1ln(3 
e) C
x
x
x
x +
+
+++
−
−−
3
6)3ln(8
5
2)5ln( 
f) C
xxx
x +
−
−
−
−
−
−− 32 )1(3
4
)1(2
3
1
2)1ln( 
g) C
x
x
x
x +
−
−−+
+
−+−
3
7)3ln(4
3
3)3ln( 
 
32) 
 
a) 14 raízes. 
b) Uma raiz real igual a 5− , três raízes reais iguais a 2, um par de raízes complexas e 
conjugadas dado por 31 j±− e quatro pares de raízes complexas e conjugadas dados 
por j2± . 
c) A função é racional própria. 
d) 
4232222232 )4()4()4(442)2()2(25)( +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
−
+
−
+
−
+
+
=
x
NMx
x
LKx
x
JIx
x
HGx
xx
FEx
x
D
x
C
x
B
x
A
xf 
 
33) 
 
a) Cxx +





+−
2
arctg
2
5)(arctg4 
b) Cxxx +−+−− )(arctg
2
1)1ln(
4
1)1ln(
2
1 2
 
c) Cxx ++++ )4ln(
2
3)1ln(5 2 
d) Cxx +




 +
+−
3
12
arctg
3
2)1ln( 
e) Cxxxxx +−+++++ )1ln()1ln()(arctg
2
2
 
f) Cxx +− )(arctg2 
g) Cx
x
xx
x
+++
−
+−++ )1ln(
2
1
2
3)2ln(2
2
2
2
 
 
34) Cxx ++− 192 2 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 178 
35) 
 
a) Cx +




 +
3
4
arctg
3
1
 
b) Cx +− )2(arcsec 
c) Cx +




 −
4
4
arcsen 
 
36) 
 
a) Cxxx +++− )23ln(23
2
2
 b) Cxx +





−
2
arctg
2
2
 
 
37) 
 
a) Cxx ++−− )(arcsen213 2 b) Cxx ++ )sec()(tg 
 
38) m 10=∆s 
 
 
39) 
a) 16 b) 2 c) 3
35
−
 
 
40) 
 
a) )2ln( b) 
2
3
 c) 
6
1
 d) 1 e) ( )22ln f) 
4
pi
 
 
41) 
 
a) 0 b) 8− c) 16 d) 30 
 
42) )3ln(24 − 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 5 179 
43) ( )223ln + 
 
44) 
pi
2
− 
 
45) 65 km/h 
 
46) 200 caixas 
 
47) 6 °C 
 
48) 
3
32
 [u.a.] 
 
49) 2 [u.a.] 
 
50) 
3
56
 [u.a.] 
 
51) 4 [u.a.] 
 
52) 22 [u.a.] 
 
53) 
12
37
 [u.a.] 
 
54) pi [u.a.] 
 
55) 
3
64
 [u.a.] 
 
56) 9 [u.a.] 
 
57) 22 [u.a.] 
 
58) Demonstração feita em sala de aula. 
 
59) 
 
a) 
2
9
 [u.a.] b) 
2
1
 [u.a.] c) 
2
9
 [u.a.] d) 
6
115
 [u.a.] e) 18 [u.a.] 
 
60) 
 
a) 1 b) pi c) 
2
1
 d) 2 e) ∞+ f) ∞+