base ortogonal

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.
BASE ORTOGONAL
	Uma base B = de um espaço vetorial euclidiano V é ortogonal se os vetores são dois a dois ortogonais.
	Considerando o que foi visto no item anterior, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores não nulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. O conjunto , apresentado como exemplo anteriormente, é uma base ortogonal do .
Base Ortonormal
	Uma base de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, Isto é:
Exemplos
As bases canônicas {(1,0), (0,1)} do , {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} do e {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} do são bases ortogonais desses espaços em relação ao produto interno usual.
A base B = do é ortonormal em relação ao produto interno usual. De fato:
Uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando cada um de seus vetores. Assim, da base ortogonal do , relativamente ao produto interno usual, pode-se obter a base ortonormal , sendo:
 O leitor poderá verificar que:
 = = = 0
 = = = 1
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma base não ortogonal A= { } desse espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal B de V.
De fato, sabendo que não são ortogonais, considere-se 
 , isto é,
Assim, os vetores e são ortogonais.
Considere-se o vetor e determinem-se os valores de a2 e a1 de maneira que o vetor seja ortogonal aos vetores e .
 
Tendo em vista que , vem:
 
e
 Isto e,
Assim, os vetores , e são ortogonais. Procedendo-se de modo análogo, obtém-se os demais vetores ortogonais da base B sendo
 (4)
 a fórmula que permite calcular qualquer vetor variando de 1 a n.
Assinale se que, em (4), se i =3, se obtém (3); se i =2, se obtém (2) e se i =1, se obtém (1); 
Assim a partir da base não ortogonal se obteve a base ortogonal , como se desejava.
O processo que permite a determinação de uma base ortogonal B a partir de uma base qualquer A chama-se processo de ortogonalização de Gram- Schimidt.
Se esse desejar uma base ortogonal basta normalizar cada vetor de B. Assim fazendo , tem se a base C que uma base ortonormal obtida por meio da base ortogonal B, a partir da base inicial não- ortogonal A.
Exemplo
Dada a base não-ortogonal, em relação ao produto interno usual,
 ,
determinar: 
A) uma base ortogonal pelo processo de ortogonalização de Gram- Schmidt;
 
B) uma base ortonormal normalizando cada vetor de B.
Solução
Substituindo em (4), sucessivamente, i por 1, i por 2 e i por 3, pode-se escrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A base B={ é base ortogonal obtida a partir da base não ortogonal A.
b) 
 
A base
e base ortonormal. De fator:
Problemas resolvidos
Calcular o valor de k para os vetores sejam ortogonais em relação ao produto interno usual do . 
 Solução
 
 
 
 
 
Dados e o produto interno (x1 ,y1).(x2 ,y2) = 2x1.x2+ 3y1.y2, calcular um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
Solução
Seja tal que e isto é:
 
 ou 
Com o produto interno dado obtém-se o sistema 
 
cuja solução é
.
Logo, para 
Portanto, existem infinitos vetores simultaneamente ortogonais a e porém todos múltiplos de (-3,1). Para y =1, por exemplo, obtém-se que, normalizando, fica:
 
Assim, o vetor s1 é um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores e em relação ao produto interno dado.
3) O conjunto B= {(1,-1), (2,m)} é uma base ortogonal do , em relação ao produto interno 
a) calcular o valor de m.
b) determinar, a partir de b, uma base ortonormal.
Solução 
Tendo em vista que é ortogonal tem se:
 
 Normalizando cada vetor de B= {(1,-1),(2,4)} segundo o produto interno dado, vem: 
logo, B’= é uma base ortonormal do ,em relação ao produto interno dado:
Exercícios TED 18:
Considerar, no , o produto interno usual e calcular os valores de m para os quais os vetores e υ são ortogonais:
a) = (3m,2,-m) e υ = (-4,1,5)
b) = (0,m-1,4) e υ = (5,m-1,-1)
Calcular um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores υ = (1,1,2), υ = (5,1,3) e υ = (2,-2,-3) do espaço vetorial V = em relação ao produto interno usual.
Calcular um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores υ = (1,1,2) e υ = (2,1,0) do espaço vetorial V = em relação ao produto interno
(x1 ,y1, z1) . (x2 , y2 , z2 ) = 2 x1 x2 + y1 y2 + 4 z1z2
Dado o espaço vetorial V = M2, munido do produto interno . υ = a1 a2 + b1 b2 +c1 c2 +d1 d2, calcular x de modo que
 = e υ = 
sejam ortogonais.
Sendo V =, munido do produto interno usual, determinar um vetor não-nulo v simultaneamente ortogonal a v = (1,1,1,-1), v = (1,2,0,1) e v = (-4,1,5,2).
O conjunto B = {(2,-1), (k,1)} é uma base ortogonal do em relação ao produto interno:
(x1,y1 ) . (x2,y2) = 2 x1y2 + x1y2 + x1y2+ y1 y2
Calcular o valor de k e obter, a partir de B, uma base B’ ortogonal.
Nos problemas 6 a 8, é dada, em cada um deles, uma base não-ortogonal A, em relação ao produto interno usual. Determinar, a partir de A:
uma base ortogonal B, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt;
uma base ortogonal C, normalizando cada vetor de B.
A = { υ = (3,4), υ = (1,2)} 
A = {υ = (1,0,0), υ = (0,1,1), υ = (0,1,2)} 
A = { υ = (1,0,1), υ = (1,0,-1), υ = (0,3,4)}