Operações com transformação linear

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.
OPERAÇÕES COM TRANFORMAÇÕES LINEARES
Adição
Sejam f : V → W e f : V → W transformações lineares. Chama-se soma das transformações f e f à transformação linear
f + f : V → W
v (f + f )v = f (v) + f (v), v V.
Se T e T são as matrizes de f e f em bases quaisquer de V e W, a matriz S que representa f + f é
S = T + T
3.7.2 – Multiplicação por Escalar
Sejam f : V → W uma transformação linear e IR. Chama-se produto de f pelo escalar à transformação linear
f : V → W
 v ( f) (v) = f (v), v V
Se T é matriz de f em bases quaisquer de V e W, a matriz E que representa o produto de f pelo escalar a é:
E = a T.
3.7.3 – composiçao 
Seja f : V W e f: W U transformações lineares. Chama-se aplicação composta de f com f e se representa por f º f, a transformação linear 
f º f: V U 
	( f º f ) () = f (f()), V.
Se T e T são as matrizes de f e f em base quaisquer dos espaços V, W e U, a matriz P que representa a composição º f é 
P = TT 
3.7.4 – Problemas Resolvidos 
Nos problemas 1 a 7, que se referem às transformações lineares 
f : IR2 IR2, f1 ( x, y) = (x – 2y, 2x + y), f2 : IR2 IR2, f2 (x, y) = (x, x – y)
e f3: IR2 IR3 , f3 (x, y) = (2x + 3y, y, - x), determinar: 
(f1 + f2 ) (x, y) 
Solução 
(f1 + f2) (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y)
 = (x- 2y, 2x + y) + (x, x - y)
 = (2x – 2y, 3x) 
(3f1 – 2f2 ) (x, y) 
Soluçao 
( 3f1 – 2f2 ) (x, y) = (3f1) (x,y) – (2f2) (x,y)
 
 = 3f1 (x, y) – 2f2 (x, y)
 = 3 ( x – 2y, 2x + y) – 2 (x, x – y)
 
 = (3x – 6y, 4x + 5y)
A matriz canônica de 3f1 – 2f2 
Solução 
A = 
Observe o leitor que esta matriz é igual a: 
3T1 – 2T2 = 3 - 2 = 
 = - = 
ondeT1 e T2 são as matrizes canônicas de f1 e f2, respectivamente.
A matriz canônica de f2 º f1 
Solução 
T2 T1 = = 
A matriz de f2 º f1 
Solução 
T1 T2 = = 
Assinale-se que f1 º f2 f2 º f1 e esse fato ocorre.
A matriz de f1 º f1 
Solução 
T1T1 = T = = 
O operador f1 º f1 é também representado por f. 
A matriz canônica de f3 º f2 
Solução 
T3T2 = = 
A transformação f2 º f3 não existe pela impossibilidade de multiplicar T2 por T3. 
3.8 – Transformações Lineares Planas 
Transformação Linear plana é toda função linear cujos domínios e contradomínio constituem o IR2. Serão estudadas algumas de especial importância e suas correspondentes interpretações geométricas, ficando a cargo do leitor verificar que são lineares. 
3.8.1 – Reflexões 
Reflexão em relação ao eixo dos x 
Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x, y) para sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos x: 
F: IR2 IR2 , f (x, y) = (x, -y) (Figura 3.8.1.a)
A matriz canônica dessa transformação é: 
A = 
Logo: 
 = 
Reflexão em relação ao eixo dos y 
F : IR2 IR2 , f (x, y) = (-x, y) (Figura 3.8.1.b) 
A matriz canônica dessa transformação é : 
A = , 
Logo :
 = 
Reflexão em relação à reta y =x
F : IR2 IR2 , f (x, y) = (-x,-y) (Figura 3.8.1.c)
A matriz canônica dessa transformação é : 
A = , 
Logo :
 = 
Reflexão em relação a reta y = x 
F : IR2 IR2 , f (x, y) = (y, x) (Figura 3.8.1.d)
A matriz canônica dessa transformação é : 
A = , 
Logo: 
 = 
Reflexão em relação a reta y = - x 
F : IR2 IR2 , f (x, y) = (-y, -x) (Figura 3.8.1.e) 
A matriz canônica dessa transformação é : 
A = , 
Logo,
 =