Álgebra Linear parte 1

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1 
MATRIZES 
 
Matriz é uma tabela de elementos (números, polinômios, funções), dispostos em m 
linhas e n colunas. 


























 AA
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n




21
22221
11211
 
 
Ordem de uma matriz é o n
o
 de linhas e colunas da matriz 
 2,3A
. 
Cada elemento da matriz A é representado por 
jia
, onde o primeiro índice indica a 
linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. 
 
Matriz retangular: é a matriz na qual o número de linhas e colunas é diferente m

n. 
 
Matriz-coluna: é a matriz de ordem 
1m
. 
 
Matriz-linha: é a matriz de ordem 
n1
. 
 
Matriz transposta: da matriz A representada por TA , é a matriz que se obtém a partir de 
A, permutando as linhas pelas colunas. 
 
Matriz nula ou zero: todos os elementos são nulos. 
 
Matriz quadrada: é a matriz na qual o número de linhas e colunas é igual 
nm 
. É 
denominada matriz de ordem n. 
Em uma matriz quadrada 
 jiaA 
, de ordem n, a diagonal principal é formada pelos 
elementos 
jia
, em que 
ji 
. 
 
Matriz diagonal: é a matriz quadrada na qual os elementos fora de sua diagonal 
principal são nulos: 
jia
= 0, quando 
ji 
. 
 
Matriz unidade ou identidade: é a matriz quadrada na qual os elementos da diagonal 
principal são todos 1 e os demais elementos 0. 
 
Matriz triangular 
 Superior: é a matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo de sua diagonal 
principal são iguais a 0, isto é, 
jia
= 0 para 
ji 
. 
 Inferior: é a matriz quadrada na qual todos os elementos acima de sua diagonal 
principal são iguais a 0, isto é, 
jia
= 0 para 
ji 
. 
 
 
 
 
 
 2 
OPERAÇÕES: 
 
Adição e subtração: só estão definidas em matrizes de mesma ordem. Para efetuá-
las, basta adicionar ou subtrair os elementos correspondentes. 
 
Multiplicação de escalar por matriz: basta multiplicar o escalar por todos os 
elementos da matriz. 
 
Multiplicação de matrizes: o produto da matriz 
 nmA ,
 pela matriz 
 pnB ,
 é a matriz 
 pmC ,
 onde os elementos 
ijc
 são obtidos através da soma dos produtos dos elementos da 
linha i de A, com os elementos da coluna j de B. 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Dadas as matrizes 

















33
12
21
432
111
BeA
, calcule, se existir: 
a) A+ B 
b) At+ B 
c) A+ Bt 
2. Dadas as matrizes   

















51
23
02
11
11
312 CeBA
, calcule, se 
existir: 
a) A.B b)
2C
 c) TBB  d) TBC  e) CA  f) CB  
 
 
 
3. Dadas as matrizes 











 








641
890
140
975
,
614
832
CeBA
, 
calcular, se existir: 
a) X= 4A - 3B + 5C 
b) X=2B –3A – 6C 
c) X=4C +2A –6B 
d) At 
e) A.Bt 
f) B.C 
 
4. Calcular os produtos: 
a) 

















2
1
3
314
512 
b)  251
4
1
2











 c)  












1
1
2
121
 
 
 
 3 
5. Sendo 














101
112
021
A
calcular A
2
. 
 
Respostas: 
 
 
1) a) não existe 
 b) 










74
43
42
 c) 






744
432 
 
2) a) 
 19
 b) 






278
1611 c) 












422
220
202
 d) 





 
246
615 
 
e) não existe f ) 











46
32
74
 
 
3) a) 






3421
99787 b) 








161318
90774 c) 








61012
1028426 
 
d) 












68
13
42
 e) 








1081
2083 f) não existe 
 
4) a) 






19
15 b) 













8204
251
4102
 c) (1) 
5) 













122
235
243
 
 
 
 4 
OPERAÇÕES ELEMENTARES com linhas ou colunas de uma matriz. 
 
1. Permutar duas linhas. 
Ex.: Permutar a 2ª linha com a 3ª 
 










1240
200
531
32L
 ~ 










200
1240
531
 
2. Multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
Ex.: Multiplicar todos os elementos da 2ª linha por 
4
1
. 










200
1240
531







4
1
2L
 ~ 










200
310
531
 
3. Substituir os elementos de uma linha pela soma deles com os elementos 
correspondentes de outra linha previamente multiplicados por uma constante não 
nula. 
Ex.: Substituir os elementos da 1ª linha pela soma deles com os elementos 
correspondentes da 2ª linha previamente multiplicados por -3. 










200
310
531  3211  LLL
~ 









 
200
310
401
 
 
Usaremos estas operações elementares para obter a forma escalonada de uma matriz. 
Matriz escalonada: é a matriz na qual o número de zeros que precede o primeiro elemento 
não nulo de cada linha aumenta de linha para linha até que sobrem linhas só de zeros (se 
sobrarem). O primeiro elemento não nulo de cada linha é denominado termo líder da linha 
(pivô). 
O número de pivôs da forma escalonada de uma matriz A é denominado posto de A. 
Exemplos: 




























0000
0000
5000
0030
7521
,
200
430
321
BA
. 
Matriz escalonada reduzida por linhas: é a matriz escalonada na qual cada pivô é 
igual a 1 e é o único elemento não nulo de sua coluna. 
 
Exemplos: 










1000
0210
0501
 











210000
301000
400310
 
 
 
 5 
Obter a forma escalonada reduzida por linhas da matriz 














139663
106442
21321
A
. 
I) Usamos o elemento 
111 a
 como pivô para obter zeros abaixo dele e aplicamos as 
seguintes operações elementares: 
a) Substituir os elementos da 2ª linha pela soma deles, com os elementos 
correspondentes da 1ª linha, previamente multiplicados por -2. 
b) Substituir os elementos da 3ª linha pela soma deles, com os elementos 
correspondentes da 1ª linha, previamente multiplicados por -3. 
 
 














139663
106442
21321
A
)3(
)2(
133
122


LLL
LLL
 ~ 









 
76300
64200
21321
 
 
II) Multiplicamos os elementos da segunda linha por 
2
1
. 









 
76300
64200
21321







2
1
2L
 ~ 









 
76300
32100
21321
 
III)Usamos o elemento 
123 a
 como pivô para obter zero abaixo dele e aplicamos a 
seguinte operação elementar: 
a) Substituir os elementos da 3ª linha pela soma deles, com os elementos 
correspondentes da 2ª linha, previamente multiplicados por -3. 









 
76300
32100
21321
 3233  LLL
 ~ 












20000
32100
21321
 
 
A matriz está na forma escalonada. Vamos reduzi-la por linhas. 
 
IV) Multiplicamos os elementos da terceira linha por 
2
1

. 












20000
32100
21321







2
1
3L
~ 









 
10000
32100
21321
 
V) Usamos o elemento 
135 a
 como pivô para obter zeros acima dele e aplicamos as 
seguintes operações elementares: 
a) Substituir os elementos da 2ª linha pela soma deles, com os elementos 
correspondentes da 3ª linha, previamente multiplicados por -3. 
b) Substituir os elementos da 1ª linha pela soma deles, com os elementos 
correspondentes da 3ª linha, previamente multiplicados por -2. 
 
 6 









 
10000
32100
21321  
 3
2
322
311


LLL
LLL
 ~ 









 
10000
02100
01321
 
 
VI) Usamos o elemento 
123 a
 como pivô para obter zero acima dele e aplicamos a 
seguinte operação elementar: 
a) Substituir os elementos da 1ª linha pela soma deles, com os elementos 
correspondentes da 2ª linha, previamente multiplicados por 3. 
 









 
10000
02100
01321 )3(211 LLL 
 ~ 










10000
02100
07021
 
 
Esta última matriz é a forma escalonada reduzida por linhas da matriz A. 
 
EXERCÍCIOS: Obter a forma escalonada reduzida por linhas das seguintes matrizes: 
 


























00000
77100
910011
~
12433
31322
54211
A
 























3100
1010
2001
~
5123
4152
3121
B
 

























2
11000
3
40100
6
250011
~
1926188
1310144
46122
C 



















 

100
010
001
~
700
320
695
D
 


























2
11000
3
20
3
110
6
170
3
1101
~
82952
31411
21321
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
MATRIZ INVERSA 
 
Uma matriz quadrada A de ordem n, é inversível se existe uma matriz B tal que 
nIABBA 
, onde 
nI
 é a matriz identidade de ordem n. 
A matriz B é a inversa da matriz A e é representada por 1A . 
 
Inversão de uma matriz usando operações elementares. 
 
Se uma matriz A admite inversa, sua matriz escalonada reduzida por linhas é a matriz 
identidade. A mesma sucessão de operações elementares que transforma a matriz A na 
matriz identidade, transforma a matriz identidade na inversa da matriz A. 
Para determinar a inversa de uma matriz A: 
I) Representamos as matrizes A e I uma ao lado da outra, separadas por um 
traço vertical. 
II) Escalonamos reduzindo por linhas a matriz A, aplicando simultaneamente as 
mesmas operações à matriz I. 
 
EXEMPLOS: Determine, se existir, a inversa das seguintes matrizes: 
 











814
312
201
A
 
 
 
 
 4
2
100
010
001
814
312
201
133
122













LLL
LLL
 
 
233104
012
001
010
110
201
LLL 












 
 
 
 1
1
116
012
001
100
110
201
3
2
















L
L
 
 
 
 1
2
116
012
001
100
110
201
322
311














LLL
LLL
 
 













116
104
2211
100
010
001
 A inversa da matriz A é a matriz 














116
104
2211
1A
. 
 8 











475
112
121
B
 
 
 
 5
2
100
010
001
475
112
121
133
122












LLL
LLL
 
 
 1105
012
001
130
130
121
233 













LLL
 
 













113
012
001
000
130
121
Como a matriz B não foi transformada na matriz I, ela não 
tem inversa. B é uma matriz singular e seu determinante é zero. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Determine, se existir, a inversa das seguintes matrizes: 
 
 
 




















































































1170
0132
0013
2214
1000
1100
1210
8021
1234
0123
0012
0001
1111
0231
0112
1111
1111
1100
1011
0101
ED
CBA




























































































































371
241
120
503
212
421
221
142
313
653
542
321
987
630
321
123
112
122
524
012
321
221
112
121
4113
120
131
100
012
001
PO
NM
LJI
HGF
 9 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 















































































































































































































223
111
012
563
674
8105
1458
935
1146
012
133
231
101
568
6710
345
101
1
0
100
012
001
21411410
22431411
61243
2411
1000
1100
32102421
1210
0121
0012
0001
00
1110
1010
2111
1011
1
111
3
2
3
2
3
1
3
4
3
1
3
511
3
1
3
1
3
1
3
2
1
111
1
2
3
5
3
5
4
2
1
2
1
2
1
2
1
5
2
5
1
2
1
2
1
5
1
5
3
2
1
11
P
ONM
JIH
FED
CBA
 
 
 
 
 
 
 




























































































































371
241
120
503
212
421
221
142
313
653
542
321
987
630
321
123
112
122
524
012
321
221
112
121
4113
120
131
100
012
001
PO
NM
LJI
HGF
 10 
DETERMINANTES 
 
A toda matriz quadrada A, está associado um número denominado determinante da 
matriz A. Representamos por det A ou 
A
. 
Propriedades: 
 
I) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos 
da diagonal principal. 
II) Quando os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz são 
multiplicados por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta 
constante. 
III) Quando duas linhas (ou colunas) de uma matriz são permutadas entre si, o 
determinante muda de sinal. 
IV) Um determinante não se altera quando substituímos os elementos de uma 
linha (ou coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de 
outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por uma constante não 
nula. 
 
Cálculo de um determinante de qualquer ordem. 
 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para 
2n
), 
usaremos o processo de triangulação. 
Este processo consiste na substituição da matriz dada por uma matriz triangular 
(superior ou inferior) equivalente a ela, através de operações elementares. Ao mesmo 
tempo devem ser efetuadas com o determinante, de acordo com as propriedades, as 
compensações necessárias, para manter seu valor inalterado. 
 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz 











435
231
712
A
. 
 
 
det 
*
435
231
712 21L
A












= 
)5(
)2(
435
712
231
133
122













LLL
LLL
 
 
 





 












 *
5
1
6120
350
231
det 2LA
)12(6120
5
310
231
)5(
233 LLL 

























5
6600
5
310
231
5det A 
 
 11 
66
5
66
115det 




 
A
 
 
Calcular os determinantes através do processo de triangulação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9
0021
1112
0112
1015
)5
2120
1321
1200
2131
)
3
1111
2001
1012
1101
)10
0102
1120
2120
2412
)24
2081
2001
3191
1012
)
2
0111
1121
1021
3121
)1
0111
1000
0001
0010
)12
0211
3102
1020
0513
)
1
3001
1110
1101
0012
)0
4213
2210
4135
2132
)372
1352
0321
0024
4321
)


















lj
ihg
fed
cba
 12 
Sistemas: Definições 
 
Equação linear: é uma equação da forma: 
bxaxaxa nn  2211
 
nxxx ,,, 21 
: são números a serem determinados (variáveis ou incógnitas). 
:,,, 21 naaa 
 são números reais (coeficientes das variáveis). 
:b
termo independente. 
A solução de uma equação linear é uma n-upla 
 nccc ,,, 21 
 que satisfaz a 
equação transformando-a em identidade (raízes da equação). 
 
Sistema de equações lineares: é um conjunto de equações lineares. Um sistema de m 
equações e n variáveis será: 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
 
 
Se bi=0, i = 1, 2, 3,…,m o sistema de equações lineares é homogêneo. 
A solução é uma n-upla 
 nccc ,,, 21 
 que satisfaz todas as equações (raízes do 
sistema). 
 
Sistemas equivalentes: são sistemas que têm a mesma solução. 
 
Classificação: 
 Sistema possível determinado (SPD). 
 Sistema possível indeterminado (SPI). 
 Sistema impossível (SI). 
 
 
 
 
 
 
 13 
Resolução de sistemas: 
 
Método de eliminação de Gauss: 
É um processo geral que consiste na substituição de um sistema por outro sistema 
equivalente, com mais fácil resolução. Para isso são usadas as operações elementares 
com linhas. 
Se na forma escalonada: 
1) ocorrer 0=b, com b 

0, SI 
 
2) não ocorrer 0=b, com b 

0, SP 
 
a) número de equações = número de variáveis (SPD) 
b) número de equações

número de variáveis (SPI) 
 
3) ocorrer 
0000 21  nxxx 
, esta linha pode ser suprimida sem que isto 
afete a solução do sistema. 
 
EXEMPLOS: 
 








12118105
54342
2322
)4
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








2435
723
132
)1
zyx
zyx
zyx
 14 











22262
13452
113
432
)2
zyx
zyx
zyx
zyx
 








14322
2523
31345
)5
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








14234
242
632
)3
zyx
zyx
zyx
 








4345
1223
1022
)6
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
DISCUTIR E NO CASO DE POSSIBILIDADE RESOLVER OS SEGUINTES 
SISTEMAS: 
 




























3252
4
)4
05
32
153
)3
03
0262
03
)2
023
02
)1
zyx
zyx
zyx
zx
yx
zyx
zyx
zyx
tzyx
tzyx
 































023
032
032
)8
577
3252
4
)7
123
25262
147323
)6
0652
032
)5
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
tzyx
twzyx
twzyx
zyx
zyx
 














































83443
422
22
22
)12
0533
33
3
1423
1
)11
2
4
4
0
)10
43
6
0234
1132
)9
wzyx
wzyx
wzx
wyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
 








522
31253
64
)13wzy
wzyx
wzyx
 
















12
53
02
)15
523
4452
134
)14
zyx
zx
zyx
zyx
zyx
zyx
 
 
 
16) 
























14322
2523
11345
)18
82574
46852
14232
)17
144
232
5232
tzyx
tzyx
tzyx
tszyx
tszyx
tszyx
zyx
zyx
zyx
 
 
 
















17483
53
32
)20
0611105
04763
03542
)19
zyx
zyx
zyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
Respostas: 
 
1. SPI(-5z + t, 2z-t,z,t) 2.SPI(-3y-z, y, z) 3.SPD(7/16,-1/16,17/8) 
4.SPI(17-7z/3,-5+4z/3,z) 5.SPI(-3z,0,z) 6.SPI(1-3y-t,y,2+t,3+2t,t) 
7.SI 8.SPD(0,0,0) 9.SPD(-1,2,5) 
10.SPD(1,-1,2,-2) 11.SI 12.SPI(w,1,1,w) 
13.SPI(13/2,15-2w/2,-10+w/2,w) 14.SPD(3,-2,2) 15.SPD(-7/8,-1/4,11/8) 
17.SPI(21-z-24t,-7+2z+8t,z,3-2t,t) 16.SI 18.SI 
19.SPI(-2y+t,y,t,t) 20.SPD(17/3,-2/3,4/3) 
 
 
 16 
Sistemas de equações lineares com parâmetros. 
 
Em geral analisamos a última equação do sistema escalonado. Equações anteriores só 
serão analisadas quando o parâmetro afetar a solução do sistema. 
 
Discutir os seguintes sistemas segundo os valores dos parâmetros: 
 





































bzayx
azyax
zyx
zkyx
kzyx
zyx
ymx
myx
yx
zyax
azy
azyx
ykx
yx
)3(22
1
)9
23
332
1
)7
2
4
3
)5
542
2)3
1
2
)1
22
 




































875
343
1432
)10
72
1162
32
)8
4
1037
6
)6
1
1
)4
52
23
)2
2
azyx
bzyx
zyx
czyx
bzyx
azyx
qpzyx
zyx
zyx
azayx
aazyx
zayx
yax
byx
 
 
RESPOSTAS: 











































































7,1
7,1
,1
)10
2,1
,121
,1
)9
025
025)8
3
2
32
)7
8,1
8,1
,1
)6
)5
10
1
1,0
)4
4
1
1,4
)3
5,3
5,3
,3
)2
1
1
)1
ba
ba
ba
SI
SPI
SPD
ba
babsea
ba
cba
cba
nunca
k
k
ek
qp
qp
qp
SI
SPI
SPD
m
nunca
nunca
aoua
a
a
a
a
aa
ba
ba
ba
k
nunca
k
SI
SPI
SPD
 
 
 17 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
O plano cartesiano é representado pelo conjunto 
   yxyx ,|,2
. 
Um par ordenado (x, y) pode ser considerado como um ponto ou como um vetor. 
Esta idéia estende-se para os espaços 
n ,,, 43 
 embora não possamos 
representar geometricamente os espaços 
n ,,4 
. 
O espaço de dimensão n é formado pelo conjunto de todas as n-uplas ordenadas: 
   in
n xxxx |,,, 21 
. 
As operações em n são as mesmas definidas em 2 e 3 (igualdade, adição, 
multiplicação por escalar, módulo, produto escalar). 
Um vetor 
 nxxxu ,,, 21 


 pode ser representado através de uma matriz 
coluna 















nx
x
x
u

2
1
. 
 
Dados os conjuntos n e 
 nmM ,
 podemos verificar a existência de 
propriedades comuns em relação às operações de adição e multiplicação por escalar. 
Sejam 
   ,,,,,, , eMCBAwvu nmn , 
ADIÇÃO: 
)()( wvuwvu 
 
)()( CBACBA 
 
uvvu 
 
ABBA 
 
uu  0
 
AA  0
 
0)(  uu
 
0)(  AA
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: 
)()( uu  
 
)()( AA  
 
uuu   )(
 
AAA   )(
 
vuvu   )(
 
BABA   )(
 
uu 1
 
AA 1
 
 
Os conjuntos n e 
 nmM ,
 com as operações de adição e multiplicação por escalar, 
possuem uma estrutura comum em relação a essas operações. Isto acontece com vários 
conjuntos. Esses conjuntos serão denominados espaços vetoriais. 
 
 
 
 18 
ESPAÇOS VETORIAIS REAIS 
 
Espaço vetorial real é um sistema algébrico constituído por um conjunto V (cujos 
elementos são chamados de vetores) e as operações de adição e multiplicação por 
escalar nele definidas. 
 
VuVuVvuVvu   ,,,, , satisfazendo os seguintes axiomas: 
 
0)(,)(,:
0,,0:
,,:
)()(,,,:
4
3
2
1




uuVuVuA
uuVuVA
uvvuVvuA
wvuwvuVwvuA
 
 
,,,,  Vvu 
 
uuM
vuvuM
uuuM
uuM




1:
)(:
)(:
)()(:
4
3
2
1



 
 
 Os elementos do espaço vetorial V são denominados de vetores, independendo 
da sua natureza (polinômios, matrizes, números, vetores) porque as operações de adição 
e multiplicação por escalar, realizadas com esses elementos comportam-se de forma 
idêntica. 
 Ex.: 
         ,,,,,,,,,,,,,,, 23,22 PMV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. 
  .,,S
 será subespaço 
vetorial de 
  .,,V
 se verificar as condições: 
I) 
SvuSvu  ,,
 
II) 
SueSu   ,
 
 
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, o subconjunto formado pelo 
vetor nulo e o próprio espaço (subespaços triviais). 
 
Exemplos: 
 
1) V= 
 










origempelapassamqueplanosS
origempelapassamqueretasS
S
S
:
:
0,0,0
4
3
3
2
1
3
 
 
 
 
2) 
  xyyxS 2/, 
 3) 
  1/,  xyyxS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Verificar quais conjuntos são subespaços vetoriais em relação às operações de adição e 
multiplicação por escalar usuais: 
 
1) 
  1/,  xyyxS
 
2) 
   xxxS ;, 2
 
3) 
  04/,,  zyxzyxS
 
4) 
  02/,,  zxyzyxS
 
5) 
  zyxzyxS  0/,,
 
6) 












 0/ dbac
dc
ba
S
 
Resposta: 3 e 6 
 20 
COMBINAÇÃO LINEAR 
 
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de novos 
vetores a partir de vetores dados. 
 
Um vetor v de um espaço vetorial 
  ,,,V
 será combinação linear dos vetores 
nvvv ,,, 21 
 também de V se existirem números 
nccc ,,, 21 
 tais que 
nnvcvcvcv  2211
 
 
No espaço dos polinômios de grau menor igual a dois, consideremos os vetores 
755 2  ttp
, 
1221  ttp
, 
22  tp
 e 
ttp  23 2
. 
a) Escrever o vetor p como combinação linear de 
1p
, 
2p
 e 
3p
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) É possível escrever o vetor 
1p
como combinação linear de 
2p
 e 
3p
?21 
Exercícios: 
1. Sejam os vetores 
 2,3,2 u
 e 
 4,2,1v
 em 
3
. 
a) Escrever o vetor 
 2,11,7 w
 como combinação linear de u e v. 
b) Para que valor de k o vetor 
 k,14,8
 é combinação linear de u e v? 
2. Escrever o vetor 







50
81
v
 como combinação linear dos vetores 







11
01
1v
, 







10
21
2v
 e 





 

12
10
3v
. 
3. Expressar o vetor 
 6,4,4,1 u
 como combinação linear dos vetores 
 0,1,3,31 v
, 
 2,1,1,02 v
 e 
 0,0,1,13 v
. 
4. Seja o subespaço 
  002/,,, 4  tezyxtzyxS
. Verifique se: 
a) 
  S 0,3,2,1
. 
b) 
  S0,4,1,3
. 
c) 
  S 1,1,1,1
. 
5. Seja o subespaço 














 ba
bba
aba
S ,;
2. 
a) 
S





21
65 ? 
b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor 








32
4 k pertença a S? 
 
Respostas: 
1. a) w=3u-v b) k=12 
2. 
321 234 vvvv 
 
3. 
321 23 vvvv 
 
4. a) sim b) não c) não 
5. a) sim b) k= - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
SUBESPAÇOS GERADOS 
 
Consideremos um subconjunto 
 nvvvA ,,, 21 
 de um espaço vetorial 
  ,,,V
. O 
conjunto S dos vetores de V que são combinações lineares dos vetores escolhidos 
forma um subespaço vetorial gerado pelos vetores de A. Representamos por 
 nvvvS ,,, 21 
 ou 
 AGS 
 onde: 
 
nvvv ,,, 21 
: são os geradores de S; 
 A é o conjunto gerador de S. 
Se ocorrer G(A) = V, A é um conjunto gerador do espaço. 
 
Exemplos: 
 
    AGjiAV ,,2
 
 
 
 
 
 
 
 
    AGjiAV ,,3
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Um subespaço S pode ser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um 
número mínimo de vetores para gerá-lo. 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determinar os subespaços do 
3
 gerados pelos seguintes conjuntos: 
a) 
    1,2,2,2,3,1 A
 
  0457/,, 3  zyxzyx
 
 
b) 
      0,1,1,1,1,0,1,0,1 A
 
  0/,, 3  zyxzyx
 
 
c) 
      1,3,2,2,1,0,0,1,1 A
 3 
 
 
2) Seja o conjunto 
    4,2,1,1,3,1 A
, determinar: 
 
a) O subespaço G(A). 
  0310/,, 3  zyxzyx
 
 
b) O valor de k para que o vetor 
 11,,5 kv 
 pertença a G(A). k= -13 
 
 23 
3) Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A={(1,-2),(-2,4)}. O que representa 
geometricamente este subespaço? 
 
 
  xyyx 2/, 2 
 reta que passa pela origem 
 
4) Verificar se o vetor v=(-1,-3,2,0) é gerado pelos vetores 
 0,3,1,21 v
, 
 0,1,0,12 v
 e 
 0,1,1,03 v
. É gerado 
 
5) Determinar o subespaço vetorial gerado pelos vetores 







10
01
1v
, 





 

00
11
2v
 e 







01
10
3v
. 
 
 












0/ dcba
dc
ba 
 
 
6) Determinar os subespaços de 
2P
 gerados pelos vetores: 
a) 
2
1 tp 
e 
ttp  22
 
},/{ 2  babtat
 
 
b) 
11 p
, 
12  tp
 e 
ttp 223 
 
2P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
O nosso interesse é que o conjunto gerador seja o menor possível, para isto precisamos 
da noção de dependência e independência linear. 
Um conjunto 
 nvvvA ,,, 21 
 de um espaço vetorial 
  ,,,V
é linearmente 
dependente se existem números 
nccc ,,, 21 
 tais que 
02211  nnvcvcvc 
. 
Se esta igualdade ocorrer somente se 
021  nccc 
, o conjunto A é linearmente 
independente. 
 
Exemplos: 
Classificar os subconjuntos do espaço tridimensional em LI ou LD. 
a) {(1,2,-1),(2,4,-2),(1,3,0)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) {(1,-1,-2),(2,1,1),(-1,0,3)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
Exercícios: 
1. Classifique os seguintes conjuntos em LI ou LD. 
 
a) 
 222 2,44,2 xxxxxx 
 LD 
 
b) 
 222 ,,21 xxxxx 
 LI 
 
c) 
 2222 32,321,2,31 xxxxxxxx 
 LD 
 
d) 
 xxxx 2,1 22 
 LI 
 
e) 






























301
501
,
012
210
,
423
121 LI 
 
 
2. Determinar o valor de k para que o conjunto 
      0,2,,1,1,1,2,0,1  k
 seja LI. 
3k
 
3. Determinar o valor de k para que o conjunto 











 












0
12
,
00
11
,
01
01
k
 seja 
LD. 
3k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Base de um espaço vetorial 
  ,,,V
, é um conjunto de vetores linearmente 
independente que gera todos os vetores do espaço. 
Dimensão de um espaço vetorial 
  ,,,V
 é o número mínimo de vetores necessários 
para gerar todo o espaço. 
Ex.: 
2V
 
 
Para gerar o 
2
, o conjunto deve ter exatamente dois vetores. 
Se o conjunto tiver menos que dois vetores, não gera todos os vetores do espaço e se 
tiver mais que dois vetores, será um conjunto linearmente dependente. 
A dimensão do 
2
 é 2. 
 
Generalizando: 
n
: dimensão n; 
 nmM ,
: dimensão 
nm 
; 
nP
: dimensão 
1n
 
 
Para determinar se um conjunto é base de um espaço vetorial, verificamos se o número 
de vetores é igual à dimensão do espaço e se o conjunto é linearmente independente. 
 
Bases canônicas: 
 
 
    
      
 
 1,,,
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
1,0,0,0,1,0,0,0,1
1,0,0,1
1
23
3
2,2
3
2
xxxP
M



































 
 
Exemplo: 
Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 
3
? 
 
a) 
      0,2,3,0,1,2,1,1,1 
 
b) 
      4,1,2,2,1,0,1,0,1 
 
c) 
    2,1,4,3,2,1 
 
d) 
        0,2,3,5,0,1,3,1,2,2,1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
1. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 
2P
? 
a) 
 13,42 22  tttt
 
b) 
 21,1,2 tt 
 base 
c) 
 22 21,,1 ttttt 
 
2. Mostrar que o conjunto 




































 52
73
,
11
23
,
20
11
,
01
32 é uma base 
de 
 2,2M
. 
3. O conjunto 
 133,32, 2323  ttttttA
 é base de 
3P
? Justifique. 
Não. 
3)( PAG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
BASE E DIMENSÃO DE UM SUBESPAÇO VETORIAL 
 
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. 
Se S é um subespaço vetorial de V, então 
.dim nS Caso ocorra 
nS dim
, 
VS 
. 
 
Interpretação geométrica: 
 
3dim 33 V
. 
A dimensão de um subespaço S de 
3
 poderá ser 0,1,2 ou 3. 
SS ,0dim 
___________________________________________________________ 
 
SS ,1dim 
___________________________________________________________ 
 
SS ,2dim 
___________________________________________________________ 
 
SS ,3dim 
___________________________________________________________ 
 
 
Obs.: Todo conjunto de vetores LI, de um espaço vetorial V, é base do subespaço por 
ele gerado. 
 
Determinar uma base do subespaço do 
4
 gerado pelos vetores 
 0,0,1,11 v
, 
 1,2,2,22 v
, 
 1,2,1,13 v
 e 
 2,4,0,04 v
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja 
       31,2,1,0,1,1,1,1,0 B
. 
a) Mostrar que B não é base do 
3
. 
b) Determinar uma base do 
3
 que possua dois elementos de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Exercícios: 
 
1. Determinar uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços 
vetoriais: 
a) 
  xyzyx 3/,, 3 
 dim: 2 
 
b) 
  05/,, 3  zexyzyx
 dim: 1 
 
c) 
  032/,, 3  zyxzyx
 dim: 2 
 
d) 
  0/,, 3  zzyx
 dim: 2 
 
e) 
 












cdecabM
db
ca
/2,2
 dim: 2 
 
f) 
 












cabM
db
ca
/2,2
 dim: 3 
2. Seja o subespaço 
 












 adebacM
db
ca
S /2,2
. 
 
a) Qual a dimensão de S? dim: 2 
 
b) O conjunto 

















 
43
12
,
10
11 é uma base de S? Justifique. 
 
Não pois 
S





43
12 
 
3. Determinar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas: 
a) 








0232
042
022
tzyx
tzyx
tzyx
 dim: 2 
 
b) 








0534
02
032
tzyx
tzyx
tzyx
 dim: 2 
 
 
c) 








043
032
02
zyx
zyx
zyx
 dim: 1 
 30 
d) 








023
0
0322
zyx
zyx
zyx
 dim: zero 
 
e) 





02422
02
tzyx
tzyx
 dim: 3