Álgebra Linear parte 1
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Álgebra Linear parte 1


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11
P
ONM
JIH
FED
CBA
 
 
 
 
 
 
 
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d
\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf02d\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf03d
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d\uf02d
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf03d
371
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221
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4113
120
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100
012
001
PO
NM
LJI
HGF
 10 
DETERMINANTES 
 
A toda matriz quadrada A, está associado um número denominado determinante da 
matriz A. Representamos por det A ou 
A
. 
Propriedades: 
 
I) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos 
da diagonal principal. 
II) Quando os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz são 
multiplicados por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta 
constante. 
III) Quando duas linhas (ou colunas) de uma matriz são permutadas entre si, o 
determinante muda de sinal. 
IV) Um determinante não se altera quando substituímos os elementos de uma 
linha (ou coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de 
outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por uma constante não 
nula. 
 
Cálculo de um determinante de qualquer ordem. 
 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para 
2\uf0b3n
), 
usaremos o processo de triangulação. 
Este processo consiste na substituição da matriz dada por uma matriz triangular 
(superior ou inferior) equivalente a ela, através de operações elementares. Ao mesmo 
tempo devem ser efetuadas com o determinante, de acordo com as propriedades, as 
compensações necessárias, para manter seu valor inalterado. 
 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
435
231
712
A
. 
 
 
det 
*
435
231
712 21L
A
\uf0ae
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
= 
)5(
)2(
435
712
231
133
122
\uf02d\uf02b\uf03d\uf0ae
\uf02d\uf02b\uf03d\uf0ae
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
LLL
LLL
 
 
 
\uf03d\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0ae
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d\uf03d *
5
1
6120
350
231
det 2LA
)12(6120
5
310
231
)5(
233 LLL \uf02b\uf03d\uf0ae\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d\uf0d7\uf03d
5
6600
5
310
231
5det A 
 
 11 
66
5
66
115det \uf02d\uf03d\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0d7\uf0d7\uf0d7\uf03dA
 
 
Calcular os determinantes através do processo de triangulação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9
0021
1112
0112
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2131
)
3
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0102
1120
2120
2412
)24
2081
2001
3191
1012
)
2
0111
1121
1021
3121
)1
0111
1000
0001
0010
)12
0211
3102
1020
0513
)
1
3001
1110
1101
0012
)0
4213
2210
4135
2132
)372
1352
0321
0024
4321
)
\uf03d\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf03d
\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf02d\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf02d\uf02d
\uf02d\uf02d
lj
ihg
fed
cba
 12 
Sistemas: Definições 
 
Equação linear: é uma equação da forma: 
bxaxaxa nn \uf03d\uf02b\uf02b\uf02b \uf04c2211
 
nxxx ,,, 21 \uf04c
: são números a serem determinados (variáveis ou incógnitas). 
:,,, 21 naaa \uf04c
 são números reais (coeficientes das variáveis). 
:b
termo independente. 
A solução de uma equação linear é uma n-upla 
\uf028 \uf029nccc ,,, 21 \uf04c
 que satisfaz a 
equação transformando-a em identidade (raízes da equação). 
 
Sistema de equações lineares: é um conjunto de equações lineares. Um sistema de m 
equações e n variáveis será: 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
\uf04c
\uf04d
\uf04c
\uf04c
2211
22222121
11212111
 
 
Se bi=0, i = 1, 2, 3,\u2026,m o sistema de equações lineares é homogêneo. 
A solução é uma n-upla 
\uf028 \uf029nccc ,,, 21 \uf04c
 que satisfaz todas as equações (raízes do 
sistema). 
 
Sistemas equivalentes: são sistemas que têm a mesma solução. 
 
Classificação: 
\uf0b7 Sistema possível determinado (SPD). 
\uf0b7 Sistema possível indeterminado (SPI). 
\uf0b7 Sistema impossível (SI). 
 
 
 
 
 
 
 13 
Resolução de sistemas: 
 
Método de eliminação de Gauss: 
É um processo geral que consiste na substituição de um sistema por outro sistema 
equivalente, com mais fácil resolução. Para isso são usadas as operações elementares 
com linhas. 
Se na forma escalonada: 
1) ocorrer 0=b, com b 
\uf0b9
0, SI 
 
2) não ocorrer 0=b, com b 
\uf0b9
0, SP 
 
a) número de equações = número de variáveis (SPD) 
b) número de equações
\uf0e1
número de variáveis (SPI) 
 
3) ocorrer 
0000 21 \uf03d\uf02b\uf02b\uf02b nxxx \uf04c
, esta linha pode ser suprimida sem que isto 
afete a solução do sistema. 
 
EXEMPLOS: 
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
12118105
54342
2322
)4
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b
2435
723
132
)1
zyx
zyx
zyx
 14 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
22262
13452
113
432
)2
zyx
zyx
zyx
zyx
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
14322
2523
31345
)5
wzyx
wzyx
wzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
14234
242
632
)3
zyx
zyx
zyx
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
4345
1223
1022
)6
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
DISCUTIR E NO CASO DE POSSIBILIDADE RESOLVER OS SEGUINTES 
SISTEMAS: 
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b
3252
4
)4
05
32
153
)3
03
0262
03
)2
023
02
)1
zyx
zyx
zyx
zx
yx
zyx
zyx
zyx
tzyx
tzyx
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
023
032
032
)8
577
3252
4
)7
123
25262
147323
)6
0652
032
)5
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
tzyx
twzyx
twzyx
zyx
zyx
 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02d
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02d
83443
422
22
22
)12
0533
33
3
1423
1
)11
2
4
4
0
)10
43
6
0234
1132
)9
wzyx
wzyx
wzx
wyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b
522
31253
64
)13