Logica Prof Jose Vianei

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LÓGICA 
 
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O Estudo da Lógica é o estudo dos métodos e dos princípios
utilizados para distinguir o raciocín
Lógica
Objetivo Fundamental do Estudo da Lógi
io correto do incorreto.
Elaboração de critérios que per
ca
mitam analisar argumentos
para mostrar ou não sua validade.
Perído Aristotélico - iniciado com Aristóteles (Grécia)
 390 a. C. a 1840 d. C. 
Per
Divisão hi
íodo Boole
stóri
ano -
ca da Lóg
 1840 a
ica
 191









0 (George Boole 1815 a 1864)
Período Atual (1910........)
 com Bertand Russell (1872-1970 Inglaterra) e
 Alfred North (1861-1947 Inglaterra)
Classificação Atual da Lógica
Lógica Indutiva - útil no estudo de probabilidade
Lógica Clássica - núcleo da lógica dedutiva
Lógicas Complementares da Clássica
Lógica Dedutiva
Lógicas não-Classicas - caracterizada por 
 abolir alguns p



 
 


 
 Fras
ricípios da lógica clássica.
 PROPOSIÇÃO 
 é um enunciado linguístico capaz de transmitir uma ideia.
 - não vem Frase Nom acompanhainal
e
 da do verbo.
 Exemplo: Cuidado !
 - vem acompanhada do verbo.
 Exemplo: a) Armstrong foi a lua.
 b) Hoje é qu
Proposição 
arta-feira.
é uma frase verbal de
Fra
cla
se Verbal 
rativa ou sentença declarativa
 na qual são válidos os seguintes princípios:
 i) Princípio da Identidade:
 "Uma proposição só e igual a si mesma".
 ii) Principio da Não-Contradição:
 "Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
 mesmo tempo".
 iii) Princípio do Terceiro Excluído:
 "Uma proposição ou verdadeira ou é falsa."
 (Não existe uma terceira alternativa)
 Exemplos: a) Recife é uma cidade 
 b) O livro é vermelho
 c) 3 é maior que 4
 d) Pedro é irmão de João
 e) 7 é um número primo
 f) Existem habitantes em Júpiter 
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 Notação das Proposições:
 
 g) Ninguem foi a Lua
 h) Todo homem é mortal
Designamos as proposições por letras latinas minúsculas,
 p, q, r, s,......
 
 
 a) p: 3 é maior que 4
 b) q: Pedro é irmão de João
 c) r: 5 é um número racional
 d) s: 2 é m
Valor Lógico ou Valor Verdade
 
aior que 5
 
 
É a propriedade fundamenatal de uma propo sição ser ver-
 dadeira ou falsa.
 Notação: v(p)=V ou v(p)=F
 Nos exemplos acima: v(p)=V, v(s)=F
 
Exitem p
Função P
roposiçõ
roposicional ou 
es que são verda
Sente
deira
nça Aberta
 s para alguns
 
2
 valores e são falsas para outros.
 p(x): Pedro é inteligente
 q(x): x é um número par
 r(x): x é maior que 7 
 s(x): x é o triplo de 9
 t(x): x + 7= 11
 u(x): x é o triplo de -9(sendo x um número real)
 v(x): x é um dia da semana
 Estas poposições são verdadeiras quando x representa
 determinados valores e falsas para outros. Sentenças
 como essas chmadas Sentenças Abertas ou Funções
 Proposicionais.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício Proposto 01
1. Escreva 4 proposições verdadeiras e 2 falsas.
2. Escreva uma sentença aberta que seja verdadeira
 somente para 3.
3. Escreva uma sentença matemática que seja verda-
 deira pa

ra 1, 3, 5 e falsa para 8.
4. Escreva os elementos que tornam verdadeiras as
 seguintes funções proposicionais:
 a) x+8=10 b) x é um mês do ano c) x é um número
 natural ímpar d) x 9 e x  
 

2
11 e) x 6 (sendo
 x um natural).
5. Escreva na linguagem corrente do português, exempo:
 A soma do quadrado de um número
 com 7 é igual a trinta e doi
 x 7 = 32 
 
 a) x+y
s.
9 ( 
 
 
 
23
-1
5+x
 b) x+y) 
7
5(x+4) x 3
 c) = 5 + d) + y = x - 1
2 2 5
6. Escreva usando a linguagem matemática
 (ortografia matemática)
 a) Duas vezes um número mesnos a raiz quadrada
 de outro é igual a dez;
 b) Três quartos de um númeto mais cinco vezes esse
 mesmo número é igual a doze;
 c) A raiz cúbica do quadrado da soma de dois números
 é vinte;
 d O inverso da raiz quarta do inverso de um número é
 dois
 e) O quadrado da metade da soma de dois números.
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício Proposto 02 - Negação
1. Negue as proposições seguintges:
 p: hoje é feriado
 q: todo homem é mortal
 r: ningué,m foi a lua
 s: 5+8=11
 t: 7> 9
2. Sejam as proposições p: 6 é um número primo 
 q: 9 é múltiplo de 3
 Escreva as proposições: ~p, ~(~p), q e ~(~q).
 Que observação você pode fazer sobre a dupla
 negação ?
3. Negar as seguintes proposições
 p: Há habitantes na lua
 q: Existe um número primo disível por 2
 r: Todos alunos são inteligentes
 s: Alguém foi a Júpiter
 t: todos números primos 
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Exercício Proposto 03 - Conjunção e Disjunção
1. Sendo as proposições: p: 5 é diferente de 8
 q: 9 é menor que 7
 r: 1 nã
     
   
o é primo
 escreva p q, p q, q r, q r, p r, p r.
 Assinale as proposições verdadeiras e falsas.
2. Sendo p, q, r as proposições do exercício 1 es-
 creva: ~p q, r ~q, p ~q, q ~r
3. Mostre pela ta
 
 
bela-verdada que:
 p q é equivalente a q p
 p q é equivalente a q p
4. Dadas a proposições:
 p: a terra é umplaneta
 q: 7 é um número primo
 r: As diagonais do paralelogramo são iguais
 s: 
 
    
Minas gerais é um estado marítimo
 t: A adição em é associatiava
 u: zero não é número natural
 Formar as proposições: a) ~r b) ~s t c) p q
 d) t s e) u ~s f) ~s t g) ~p s h) ~u ~
   
r
 i) (p q) (~u t) j) ~(p q)
5. Considerando-se que somente as proposições r e u são
 falsas, dê o valor lógico de cada uma das proposições
 acima.
 
 
 
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Exercício Proposto 04
1. Sejam as proposições:
 p: 6 + 4 = 10
 q: 8 9
 r: 3 é primo
 Forme as proposições:
 a) p q b) r q c) r p
 d) p q e) r q f) r p 

  
 
2. Na questão anterior quais a proposiçoes verdadeiras e quais as falsa ?
3. Dadas as proposições:
 p: Não chove
 q: Iremos ao cinema
 r: Todo triângulo é equilátero
 s: Os lados de um triângulo equilátero não são iguais
 t: Um quadrilátero é um retângulo
 u: Os ângulos de um quadrilátero são iguais
 Escrever: 
 a) p q b) q ~p c) r ~s d) u t
 e) t u 
   
 f) t ~p g) r s h) s r
4. São dadas as proposições:
 p: Duas retas perpendiculares entre si são secantes
  
 
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 q: O produto de dois números reais negativo é positivo
 r: O Brasil foi descoberto no ano de 1.500
 s: Todo número primo é da forma 2n + 1
 Sabendo-se que p, q e r são proposições verdadeiras e s é falsa,
 determine o valor lógico das seguintes proposições:
 a) (p q) r b) p (q r) c) s p d) (p q) (r s)
 e) (p q) (r s) f) (p q) (r ) s
       
      g) (p q) (r ~s) 
 h) (~p q) ~(r s) i) (p q) (s r) j) (~p q) (s r) 
 k) (p q) [(q r) (r s)] l) (p q) (q r)
  
        
       
 
Podemos, construir novas proposições envolvendo as operações lógicas:
Negação(~), Conjunção( ), Disjunção( ), Condicional( ) e Bicondicional( ).
Exemplos:
 a) ~[(~p) (~q)
Tabela
]
 b) ~[p (~q)]
-Ve
 
c
r
 
dade
   


) (p q) (q r)
Do mesmo modo que construimos a tabela-verdade para a Negação, Conjunção, Disjunção,
Condicional e Bicondicional, podemos construir a tabela-verdade das proposições compostas
mostradas nos
  
 exemplos a), b) e c).
Construção da Tabela-Verdade do exemplo a) ~[(~p) (~q)]
 As proposições iniciais são p e q. Devemos considerar ainda as proposições ~p e ~q.
 p q ~p ~q (~p) (~q) 

 p q 
 V V F F F V V 
~[(~p) (~q)] 
 
 V F 
 ~[(~p)
 F 
(~q)]
 V 
V V
 
 
 F V F 
 F V V F F 
V V
V F V V
 F F V V V F F F F
 
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 é a proposição cuja tabela-verdade contém
somente verdade.
Exemplo: p ~p 
 p ~p 
Tautologia, Contradição e
p ~p
 V F 
 C
 V
 F
onting
Tautologi
i
a
ênc a


 V V 
 é a proposição cuja tabela-verdade contém somente
falso
Exemplo: p ~p
 p ~p p ~p
 V F F
 F
Contradi
 V 
ção
 


 F
 
As proposições contém normalmente V ou F. Estas proposições são 
chamadas contingências.
As Primeiras leis de 
 
Contingência
Primeira
De Morgan estabelece 
s Leis de 
os critéri
De Mo
os p
rgan
ara se realizar a negação 
da Conjunção e a negação da Disjunção.
 I) ~(p q) ~ p ~ q
II) ~(p q) ~ p ~ q
Exercício: Prove as Primeiras leis de De Morgan pela t
 
abela-verdade.
Exercício Proposto 1.05
1. Da
  
  
das duas proposições p e q mostrar com auxílio da tabela-verdade que as proposições
 p q é equivalente a ~p q.
2. Mostrar através da tabela-verdade que (p q) (~p q) é uma tautologia.
3. Mostrar 
 
  
com auxílio da tabela-verdade que a proposição t: (p ~ q) (r ~r) é uma contradição.
4. Verifique com auxílio da tabela-verdade que a proposição p (p q) é uma tautologia.
  
 
 
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Sejam p e q proposições:
Dizemos que p implica logicamente q se e somente se 
q for verdadeira sempre 
I
q
De
ue
finição 1: (Implicaç
 p for verdadeira.
No
mpli
taçã
cação e Equivalênc
o: p q lê-se:
 
i
 "p 
a
ão)

implica q", "p infere q", "se p então q", 
 "p é condição suficiente para q" ou ainda
 "q 
Definição 2: (Equiva
é condição necessária para p".
Dizemos que p é equivalente a q se e
lência)
 somente se 
as sua tabelas vedades forem idênticas.
Notação: p q lê-se:
 "p bi-implica q", "p é equivalente a q", "se p se e somente se q", 
 "p é condição necessária e suficiente para q" ou 

ainda
 "p se e só se q".
Seja p e q proposições
Teorema(Implicação):
p q se e somente se p q é uma tautologia.
Teorema(Equivalencia):
p q se e somente se p q é um
Teorem
a taut
a
o i
s
log a.
 
  
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 observação: A tautologia representamos por v (minúsculo) e a contradição por f (minúsculo) 
 
Propriedades da Operação Co
 Conjunç
njunção e Dis
ão( ) 
junç
 
ã
 
o
  Disjunção( )
Associativa p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r
Comutativa p q q p p q q p
Idempo

         
     
tente p p p p p p
Absorvente p f f p v v
Neutro p v p 
   
   
  p f p
 Conjunção em Relação a
Propriedades Relativas as operações Conjunção e Di
 Disjunção Disjunção em Relação a conjunção
Dist
sjunçã
rib
o
uitiv
 
a p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
Absorção p (p q) p 
Propriedade da 
 p (p q) p
: A dupla negação equiNegaç vao lã
           
     
e a afirmação.
 ~(~p) p
p q ~(p ~q)
 p q (~p q)
Exercício: Mostre pela tabela-verdade as propriedades da implicaçã
Propriedades da Implicação
 
Exercí
o.
Mostre pela tabela-ver
cio Propo
da
s
d
to 1.06
e 

  
  
 
 
que
 (f e v aqui neste texto representam respectivamete uma contradição e uma tautologia)
 1. p (q r) (p q) r a conjunção é associativa
 2. p (q r) (p q) r a disjunção é associativa
 3. p (q r) (p q) (p
    
    
      
 
r) a conjunção é distribuitiva em relação a disjunção
 4. p (q r) (p q) (p r) a disjunção é distribuitiva em relação a conjunção
 5. p ~p f (Princípio da não contradição)
 6. p ~p v (Princípio do tercei

     
 
  ro excluido)
 7. p p p (idempotência na conjunção)
 8. p p p (idempotência na disjunção)
 9. p f p ( f é o neutro na disjunção)
10. p f f ( f é o absorvente na conjunção)
11. p v v ( v é o absorven 
 
 
 
  te na disjunção)
12. p v p ( v é o neutro na conjunção) 
 
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 
 
 é uma noção primitiva, por isso, não se define.
Exemplo: A= 1,2,3,4,5
 B= 2,4,6,8,10
Determinação de um conjunto:
a) Pela listagem de seus e
Noção de
lementos
Con
 
 C
 E
junt
xemp
onjunt
lo:
o
o
 os conjuntos acima foram escritos ou determinados
 pela listagem de seus elementos.
b) Por Compreensão - Através de uma propriedade que caracterize
 todos elementos do conjunto.
 Ex  emplos: A= x : 1 x 5
 A propriedade aqui é:
 p(x): x é um número natural maior ou igual a um
 e menor ou igual a 5.
 
  
  B= x| x=2k, 1 k 5, k
 A propriedade aqui é: 
 p(x): x é um número par natural maior ou igual a dois
 e menor ou igual a
  
 10.
 
     
Consideremos os conjuntos:
 A = a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,
Sejam as proposições:
 p(x): x é uma letra do alfabeto l
Quantificador Unive
a
 
ti
rsal
     
no 
 q(x): x é letra do alfabeto grego
Formemos as preoposições: 
 a) Todo elemento de A é letra no alfabeto latino
 b) Qualquer que seja o elemeto de A, este elemento é letra do alfabeto latino
 c) Para todo elemento que pertença a A, este elemento é uma letra do alfabeto latino
Vemos que as proposições a), b), c) são todas equivalentes.
 
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PARA EXPRESSARMOS SITUAÇÕES COMO ESTAS USAMOS O SÍMBOLO 
CHAMADO .
lê-se: "p
Quantificado
QUANTIFICADOR UNIVERS
r Existenci
ara todo" , "qualquer que seja"
Consideremos ainda os conjuntos:
 
al
 A =
AL
 


      a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,
Podemos com relação ao conjunto B formar as proposições:
 a) Existe elemento de B que é letra do alfabeto latino
 b) Existe
     
QUANTIFICADOR EXISTENC
 elemento de B que é letra do alfabeto grego
PARA EXEMPLOS COMO ESTES USAMOS O 
representado pelo símbolo .
 lê-se: "existe um" ou "existe pelo menos um"
 ! 
IA
l
L 
ê-se: "

 
  exsiste um e sòmente um"
Emprego dos Quantificadores
a) Todo elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino.
 sendo p(x): Todo elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino, temos:
 x A, p(x): qualquer que seja o x pertencete A, x tem a propriedade p.
b) Existe elemento do conjunto B que é letra do alfabeto latino.
 sendo q(x): Existe elemento do conjunto B que é letra do a
 
S
l
e
fa
gu
beto
ndas
 latino.
 Leis de
 x
 De Morg
 B: q(x): existe x pertencente a B tal que x tem a propriedade q.
Vimos as primeiras leis de De Morgan que e referem a negação da Conjun 
an
ção
 
e 
 negação da Disjunção:
 1ª) ~(p q) ~p ~q : "negar que duas proposições são ao mesmo tempo
 verdadeira é afirmar que pelo menos uma delas é falsa".
 2ª) ~(p
  
q) ~p ~q : "negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira
 é afirmar que ambas são falsas".
 
As segundas lei
  
s de De Morgan se referem a negação dos quantificadores universal e
existencial.
Seja E um conjunto qualque e p(x) uma propriedade do conjunto E.
1ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)
 "negar que toto x tem
    
 a propriedade p é afirmar que existe um x que não tem a propriedade p"
2ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)
 "negar que existe x que tem a propriedade p é afirmar que qualquer que seja o x, x não 
    
tem a propriedade p"
 
LÓGICA 
 
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   
1. Sejam as proposições:
 p(x): x > 5
 q(x): x é par
 e os conjuntos A = 6,7,9,12 , B= 2,4,8,10
 a) Quais das proposções abaixo são verdadeiras e quais s
Exerc
ão fa
ício Proposto 
lsas ?
 
.07
 
1
x   A: p(x)
 x B: p(x)
 x A: q(x)
 x B: q(x) 
 b) Escreva por extenso as proposições do ítem a).
2. No conjunto dos reais, quais as proposições que são verdadeiras e quais
 são f
 
 
 
2 2
alsas?
 a) x , x x b) x : x x 
 c) x , x+1 = x d) x : x+1 = x 
 e) x , x =x f) x : x =x
3. Negar as proposições:
 a) p(x): Todo homem é normal
 b) q(x): Existe u
     
   
   
m número primo par 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LÓGICA 
 
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Na construção de uma dada teoria partimos de algumas proposiçoes iniciais que são 
as noções primitivas e a partir daí construímos outras.
 i) - prop
Teor
osiçAxioma o ão que a
e
cu pos eitamtu osla 
m
do
a
como verdadeira sem demonstração.
 Exemplos: Postulados de Euclides
 a) Por uma ponto passa infinitas retas.
 b) Por dois pontos passa uma e sòmente uma reta.
 c) Três pontos distintos determina uma reta.
 ii) é a proposição que se constroi baseada em outra, isto é, a definição é 
 a substituição de um conceito
Defin
 ant
ição
igo por um conceito novo. O novo é o conceito
 definido. 
 Exemplo: Definição de Triângulo
 Triângulo é a figura geométrica de 3 lados.
iii) é a proposição que se acTeor eiema ta c
2
2
2
omo verdadeira após uma demonstração 
 formal.
-b b - 4ac
 Exemplo: a) se ax bx + c = 0 então x= com a,b,c e a 0.
2a
 b) seja a , se a é par então a é par.
iv) Corola

  

 é o teoremoa que decorre imediatamente de outro.
 Exemplo: Teorema: Duas retas que cortam um feixe de paralelas determina sobre este
 
r
 
io ou Cons
 
equên
 f
cia
eixe de paralelas segmentos que são proporcionais.
 Corolário: Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina
 sobre os outros dois segmentos proporcionais.
 v) é o teorema que serve para ajudar a demonstração de um outro teorema.
 Porque as afirmações matemáticas precisam de uma prova formal ?
 Pierre de Fermat, grande matemá
Lema
tico
n2
 francês nascido em 1601, em carta escrita 
 ao padre Marin Mersenne afirmara quer todo número da forma 2 + 1 era primo.
 Apressado, provalvelmente, não procurou investigar mais a fundo.
 De fato par n=0,1,2,3,4 sua afirmação é verdadeira. Leonard Euler, outro grande matemático,
 mais tarde, provou que não era é bem assim. Se n=5 o número que se obtém é um número composto.
 Isto é, admite pelo outro divisor, além, dos divisores triviais.
 Por isso, toda proposição matemática (Teorema) deve ser provada.É claro que a grande maioria das
 proposições matemáticas já foram provadas. O que não signific
Todo teorema é uma proposição do tipo p q o
a dizer que não precisamos mais exer-
 citar as sua provas.
.
No primeiro caso(p q) devomos provar que a veracidade da proposiçao p acarreta
a veracid
u 
ad d
q
 a
p
e
 

 proposição q.
No segundo caso(p q) devemos provar as duas coisas ou seja que 
 p q(1ª parte do teorema)
 q p(2ª parte do teorema)


 
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No teorema p q:
 p é chamado antecedente ou hipótese do teorema.
 q é chamado consequente ou tese do teorema.
Existem vários métodos de demonstração os quais veremos mais a fren
Formas de se Escr
t .
r
e
eve

2
Sejam H e T proposições.
1. TEOREMA 
 A forma H T é o que chamamos de Teorema.
 onde H é a hipótese e T a tese.
 Exemplo: H: é um número par
 
 uma Impli
 T: 
cação
 é
a
a

2
2
 par
 H T: se é um número par então é par
2. RECÍPROCA
 A forma T H é chamada Recíproca do Teorema ou simplesmente Recíproca.
 Exemplo: T: é par
 H: é um n
a a
a
a


2
2
úmero par
 T H: se é par então é um número par 
3. CONTRÁRIA
 A Contrária ou Contrária do Teorema tem a forma ~H ~ T
 Exemplo: ~H: não é um número par
 ~T: n
a a
a
a


2
2
ão é um número par
 ~H ~T: se não é um número par então não é um número par
4. CONTRA-RECÍPROCA
 É a contrária da recíproca e tem a forma ~T ~H
 Exemplo: ~T: não é um nú
a a
a


2 2
mero par 
 ~H: não é um número par
 ~T ~H: se não é um
Equivalê
 númer
ncia e
o par então 
ntre as Prop
 não é um número p
osiçoes TEOREMA, RECÍP
ar.
ROCA,C
a
a a
 é equivalente a 
H T ~ T ~H
 é equivalente a 
T H ~H ~ T
Exercício: a) Mostre que (H T) (~H T) (T ~ H) ( ~ T ~H)
 
ONTRA-RECÍPROCA e
 
 a) M
CONT ÁRIA
o
R
O TEOREMA CONTRA RECÍPROCA
A RECÍPROCA CONTRÁRIA

  
  
      
stre que (T H) (~T H) (H ~ T) ( ~ H ~T)      
 
LÓGICA 
 
Prof. Vianei Página 16 
 
Destacaremos os 4 principais métodos de demonstração:
 I - Método Direto
 II - Método Indireto
 III - Método de Redução ao Absurdo
IV - Método de Indução Fi
Métod
nita 
os de Demonstr
I - Método Di
ação
reto - Consiste em partirmos da hipótese e chegarmos a conclusão da vera-
 cidade da tese.
 Exemplo: Provar que se e são números naturais pares, então + é um natural par.
 H 
a b a b


Demonst
ipótese
ração: 
 e são núme
a = 2.k, k 
 se
ros naturais pares 
 Tese 
 e são números naturais pare
+ é par 
 
s (d
b = 2
 
.q, 
 
q
 
a b
a b
a b

 

1
ef. de número par)
 somando as duas igualdades membro a membro temos:
 a + b = 2k + 2q a + b = 2(k + q), como k, q k =k + q .
 Logo, a + b =
   
1 1 2k , k e portanto a + b é um natural par.
II - Método Indireto - Neste método, aceitamos a negação da tese como proposição verda-
 deira chegarmos a conclusão da veracidade da negação da tese 



2
2
Hipótes
( ~T ~H).
e é n
 Exemplo:
atural par 
 
 Provar que se é natural 
 Tes
pa
e é 
r então é natura
natural par 
 
l par.
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
a a
a
a

2
 Como queremos fazer a prova pelo método indireto, devemos provar que
 não é natural par não é natura se então ou seja
 
l par 
Hipótese
a a


2
2 2
2
2
2
 não é natural par é natural ímpar 2k+1
 Tese não é natural p
a = 2k 
ar
+ 
 
1 
é na
a - 1 = 2k (a+1).(a -1) = 2k, k
 
tural ímpar 
 
a a a
a a
  

  
2 2
(a - 1) é ímpar
 Se é um natural par (a+1).(a -1) = 2k 1, k
(a +1) é ímpar
 Mas, (a+1).(a -1) = 2k 1 contraria a hipótese (a = 2k + 1 a - 1 = 2k).
 
a

   

 
 A expressão (a+1).(a -1) não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo. Então
 (a+1).(a -1) = 2k 1 é falsa e esta proposição foi obtida supondo que é
 é par, as
a
sim, é par é também falsa e em consequencia , como
 queríamos demonstrar.
III - Método de Redução ao Absurdo - Neste método, aceitamos a hipótese e a negação
 
 é í
 d
m
a es
par
 t
aa

e, isto implicará numa contradição. (H ~T) contradição).
 Exemplo: Provar que se 2 então 
Hipótese 2 é número real 
 Tes
 é número irracional.
 
 
 
e é 
a
a
a a

 

 número irracional. 
LÓGICA 
 
Prof. Vianei Página 17