Logica Prof Jose Vianei
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\uf0d9 \uf0db
\uf0da \uf0db
\uf0da \uf0db
\uf0d9 \uf0db
\uf0da \uf0db te na disjunção)
12. p v p ( v é o neutro na conjunção)\uf0d9 \uf0db
 
LÓGICA 
 
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\uf07b \uf07d
\uf07b \uf07d
 é uma noção primitiva, por isso, não se define.
Exemplo: A= 1,2,3,4,5
 B= 2,4,6,8,10
Determinação de um conjunto:
a) Pela listagem de seus e
Noção de
lementos
Con
 
 C
 E
junt
xemp
onjunt
lo:
o
o
 os conjuntos acima foram escritos ou determinados
 pela listagem de seus elementos.
b) Por Compreensão - Através de uma propriedade que caracterize
 todos elementos do conjunto.
 Ex \uf07b \uf07demplos: A= x : 1 x 5
 A propriedade aqui é:
 p(x): x é um número natural maior ou igual a um
 e menor ou igual a 5.
 
\uf0ce \uf0a3 \uf0a3
\uf07b \uf07d B= x| x=2k, 1 k 5, k
 A propriedade aqui é: 
 p(x): x é um número par natural maior ou igual a dois
 e menor ou igual a
\uf0a3 \uf0a3 \uf0ce
 10.
 
\uf07b \uf07d \uf07b \uf07d \uf07b \uf07d
Consideremos os conjuntos:
 A = a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,
Sejam as proposições:
 p(x): x é uma letra do alfabeto l
Quantificador Unive
a
 
ti
rsal
\uf061 \uf061 \uf062 \uf067 \uf064 \uf07a
no 
 q(x): x é letra do alfabeto grego
Formemos as preoposições: 
 a) Todo elemento de A é letra no alfabeto latino
 b) Qualquer que seja o elemeto de A, este elemento é letra do alfabeto latino
 c) Para todo elemento que pertença a A, este elemento é uma letra do alfabeto latino
Vemos que as proposições a), b), c) são todas equivalentes.
 
LÓGICA 
 
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PARA EXPRESSARMOS SITUAÇÕES COMO ESTAS USAMOS O SÍMBOLO 
CHAMADO .
lê-se: "p
Quantificado
QUANTIFICADOR UNIVERS
r Existenci
ara todo" , "qualquer que seja"
Consideremos ainda os conjuntos:
 
al
 A =
AL
 
\uf022
\uf022\uf0ae
\uf07b \uf07d \uf07b \uf07d \uf07b \uf07d a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,
Podemos com relação ao conjunto B formar as proposições:
 a) Existe elemento de B que é letra do alfabeto latino
 b) Existe
\uf061 \uf061 \uf062 \uf067 \uf064 \uf07a
QUANTIFICADOR EXISTENC
 elemento de B que é letra do alfabeto grego
PARA EXEMPLOS COMO ESTES USAMOS O 
representado pelo símbolo .
 lê-se: "existe um" ou "existe pelo menos um"
 ! 
IA
l
L 
ê-se: "
\uf024
\uf024 \uf0ae
\uf024 \uf0ae exsiste um e sòmente um"
Emprego dos Quantificadores
a) Todo elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino.
 sendo p(x): Todo elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino, temos:
 x A, p(x): qualquer que seja o x pertencete A, x tem a propriedade p.
b) Existe elemento do conjunto B que é letra do alfabeto latino.
 sendo q(x): Existe elemento do conjunto B que é letra do a
\uf022 \uf0ce
S
l
e
fa
gu
beto
ndas
 latino.
 Leis de
 x
 De Morg
 B: q(x): existe x pertencente a B tal que x tem a propriedade q.
Vimos as primeiras leis de De Morgan que e referem a negação da Conjun 
an
ção
\uf024 \uf0ce
e 
 negação da Disjunção:
 1ª) ~(p q) ~p ~q : "negar que duas proposições são ao mesmo tempo
 verdadeira é afirmar que pelo menos uma delas é falsa".
 2ª) ~(p
\uf0d9 \uf0db \uf0da
q) ~p ~q : "negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira
 é afirmar que ambas são falsas".
 
As segundas lei
\uf0da \uf0db \uf0d9
s de De Morgan se referem a negação dos quantificadores universal e
existencial.
Seja E um conjunto qualque e p(x) uma propriedade do conjunto E.
1ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)
 "negar que toto x tem
\uf022 \uf0ce \uf0db \uf024 \uf0ce
 a propriedade p é afirmar que existe um x que não tem a propriedade p"
2ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)
 "negar que existe x que tem a propriedade p é afirmar que qualquer que seja o x, x não 
\uf024 \uf0ce \uf0db \uf022 \uf0ce
tem a propriedade p"
 
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\uf07b \uf07d \uf07b \uf07d
1. Sejam as proposições:
 p(x): x > 5
 q(x): x é par
 e os conjuntos A = 6,7,9,12 , B= 2,4,8,10
 a) Quais das proposções abaixo são verdadeiras e quais s
Exerc
ão fa
ício Proposto 
lsas ?
 
.07
 
1
x \uf024 \uf0ce A: p(x)
 x B: p(x)
 x A: q(x)
 x B: q(x) 
 b) Escreva por extenso as proposições do ítem a).
2. No conjunto dos reais, quais as proposições que são verdadeiras e quais
 são f
\uf024 \uf0ce
\uf022 \uf0ce
\uf022 \uf0ce
2 2
alsas?
 a) x , x x b) x : x x 
 c) x , x+1 = x d) x : x+1 = x 
 e) x , x =x f) x : x =x
3. Negar as proposições:
 a) p(x): Todo homem é normal
 b) q(x): Existe u
\uf022 \uf0ce \uf0b3 \uf024 \uf0ce \uf0b3
\uf022 \uf0ce \uf024 \uf0ce
\uf022 \uf0ce \uf024 \uf0ce
m número primo par 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LÓGICA 
 
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Na construção de uma dada teoria partimos de algumas proposiçoes iniciais que são 
as noções primitivas e a partir daí construímos outras.
 i) - prop
Teor
osiçAxioma o ão que a
e
cu pos eitamtu osla 
m
do
a
como verdadeira sem demonstração.
 Exemplos: Postulados de Euclides
 a) Por uma ponto passa infinitas retas.
 b) Por dois pontos passa uma e sòmente uma reta.
 c) Três pontos distintos determina uma reta.
 ii) é a proposição que se constroi baseada em outra, isto é, a definição é 
 a substituição de um conceito
Defin
 ant
ição
igo por um conceito novo. O novo é o conceito
 definido. 
 Exemplo: Definição de Triângulo
 Triângulo é a figura geométrica de 3 lados.
iii) é a proposição que se acTeor eiema ta c
2
2
2
omo verdadeira após uma demonstração 
 formal.
-b b - 4ac
 Exemplo: a) se ax bx + c = 0 então x= com a,b,c e a 0.
2a
 b) seja a , se a é par então a é par.
iv) Corola
\uf0b1
\uf02b \uf0ce \uf0b9
\uf0ce
 é o teoremoa que decorre imediatamente de outro.
 Exemplo: Teorema: Duas retas que cortam um feixe de paralelas determina sobre este
 
r
 
io ou Cons
 
equên
 f
cia
eixe de paralelas segmentos que são proporcionais.
 Corolário: Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina
 sobre os outros dois segmentos proporcionais.
 v) é o teorema que serve para ajudar a demonstração de um outro teorema.
 Porque as afirmações matemáticas precisam de uma prova formal ?
 Pierre de Fermat, grande matemá
Lema
tico
n2
 francês nascido em 1601, em carta escrita 
 ao padre Marin Mersenne afirmara quer todo número da forma 2 + 1 era primo.
 Apressado, provalvelmente, não procurou investigar mais a fundo.
 De fato par n=0,1,2,3,4 sua afirmação é verdadeira. Leonard Euler, outro grande matemático,
 mais tarde, provou que não era é bem assim. Se n=5 o número que se obtém é um número composto.
 Isto é, admite pelo outro divisor, além, dos divisores triviais.
 Por isso, toda proposição matemática (Teorema) deve ser provada.