Integração em Campos Vetoriais - Lista 4

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Suponha que um reservato´rio, na forma de um hemisfe´rio de raio R, esteja abastecido
de a´gua ate´ a altura H . Denote por Q ∈ R3 a regia˜o ocupada pela a´gua e por V o seu
volume. Para o ca´lculo de V , considere o campo F (x, y, z) = (x, y, z) e denote por n a
normal unita´ria exterior a Q. Observe que ∂Q = S1 ∪ S2 ∪ S3, em que S1 e´ a superf´ıcie de
cima, S2 e´ a superf´ıcie lateral e S3 e´ o fundo da regia˜o Q, conforme ilustra a figura abaixo.
C E a) Em S3, a projec¸a˜o ortogonal de F sobre n e´ nula.
C E b) S1 e´ um disco de raio
√
R2 +H2.
C E c)
∫∫
S1
〈F,n〉 dS = R× a´rea de S1.
H
S3
S2
S1
C E d) Usando coordenadas esfe´ricas, obte´m-se que a a´rea de S2 e´ igual a 2 piH R.
C E e) Do Teorema da Divergeˆncia segue-se que V = 1
3
(R× a´rea de S1+H× a´rea de S2).
2) Considere a superf´ıcie S correspondente a` regia˜o do cone z =
√
x2 + y2−1 entre os planos
z = 0 e y + 4z = 4. Segundo a figura, tem-se que ∂ S = C0 ∪ C1, em que C0 e´ um c´ırculo
no plano Ox y e C1 e´ uma elipse. Suponha C0 e C1 de orientac¸a˜o positiva, e indique por
n = (n1, n2, n3) a normal unita´ria de S em que n3 ≥ 0. Considere ainda o campo magne´tico
C0
S
C1 B(x, y, z) =
µ0 i0
2pi
( −y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
, 0
)
.
a) Obtenha uma parametrizac¸a˜o da curva C0.
Resposta: P (t) = (cos(t), sen(t), 0) com t ∈ [0, 2pi]
b) Calcule a circulac¸a˜o de B sobre C0.
Resposta:
∮
C0
〈B, T 〉ds = µ0 i0
c) Calcule o elemento de a´rea da superf´ıcie S.
Resposta: dS =
√
2 dxdy
d) Calcule o fluxo do rotB atrave´s de S na direc¸a˜o n.
Resposta:
∫∫
S
〈rotB,n〉 dS = 0
e) Calcule
∫
C1
〈B, T 〉 ds usando Stokes e os itens anteriores.
Resposta:
∮
C1
〈B, T 〉ds = µ0 i0
Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2013 – 1/2
3) Seja S a superf´ıcie triangular em R3 de ve´rtices (a1, 0, 0), (0, a2, 0) e (0, 0, a3) , com ai > 0,
i = 1, 2 e 3. Suponha S de orientac¸a˜o n = (n1, n2, n3) com n3 > 0, e considere o problema
de calcular o fluxo do campo quadrado inverso F (P ) = k P/||P ||3 atrave´s de S na direc¸a˜o n.
Para isso, indique por Sr a parte da esfera de raio r que esta´ no primeiro octante, e por Q a
regia˜o tambe´m no primeiro octante entre as superf´ıcies S e Sr, conforme a figura.
a) Calcule, pela definic¸a˜o, o fluxo de F atrave´s de Sr na direc¸a˜o
nr = P/||P ||.
Resposta:
∫∫
Sr
〈F,nr〉 dS = Kpi/2
b) Calcule agora a integral
∫∫∫
Q
divF dx dy dz.
Resposta:
∫∫∫
Q
divF dxdy dz = 0
c) O bordo ∂Q inclui treˆs superf´ıcies que esta˜o sobre os planos
coordenados. Verifique que F e´ ortogonal a` essas treˆs superf´ıcies.
a1
a2
a3
Resposta: o plano Oxy tem normal n1 = (0, 0,−1) e a terceira coordenada de F se anula sobre esse
plano, e portanto 〈F,n1〉 = 0; analogamente para os outros dois planos
d) Calcule
∫∫
S
〈F,n〉 dS usando os itens anteriores e o teorema da divergeˆncia.
Resposta:
∫∫
S
〈F,n〉 dS = Kpi/2
e) Repita o exerc´ıcio no caso em que os ve´rtices de S sa˜o (a1, 0, 0), (0,−a2, 0) e (0, 0, a3).
Resposta: o mesmo fluxo do item anterior
4) A figura ilustra o gra´fico do plano z = 10−2x−2y e do parabolo´ide z = 12−x2−y2, ale´m
da curva C onde essas superf´ıcies se interceptam. A superf´ıcie plana S1 e a superf´ıcie do
parabolo´ide S2 limitadas por C sa˜o os gra´ficos das f(x, y) = 10−2x−2y e g(x, y) = 12−x2−y2
definidas no domı´nio D = {(x, y); (x− 1)2+ (y− 1)2 ≤ 4}. Indique por ni a normal unita´ria
em Si, i = 1, 2, que e´ compat´ıvel com a orientac¸a˜o positiva de C, e considere o campo
C
F (x, y, z) = (2z − y, x− 2z, 2y − 2x).
a) Calcule o elemento de a´rea dS e a normal unita´ria n1 de S1.
Resposta: dS = 3 dx dy e n1 = (1/3)(2, 2, 1)
b) Calcule pela definic¸a˜o o fluxo do rotF por S1 na direc¸a˜o n1.
Resposta: 18 pi 22
c) Calcule o elemento de a´rea dS e a normal unita´ria n2 de S2.
Resposta: dS =
√
1 + 4x2 + 4y2 dx dy e n2 =
(2x,2y,1)√
1+4x2+4y2
d) Calcule pela definic¸a˜o o fluxo do rotF por S2 na direc¸a˜o n2.
Resposta: 18 pi 22
e) Explique a relac¸a˜o entre os valores obtidos em b) e d).
Resposta: como ∂S1 = C = ∂S2, por Stokes
∫∫
S1
〈rotF,n1〉dS=
∫
C
〈F, T 〉ds=∫∫
S2
〈rotF,n2〉dS
Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2013 – 2/2