Matrizes Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes Vetores e Geometria Analitica


DisciplinaGeometria Analítica e Álgebra Linear3.348 materiais33.386 seguidores
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uma
sequ¨e\u2c6ncia de operac¸o\u2dces elementares. Aplicar uma operac¸a\u2dco elementar a uma matriz corresponde
a multiplicar a matriz a` esquerda por uma matriz invert\u131´vel (Teorema 1.8 na pa´gina 58). Seja \ud440 o
produto das matrizes invert\u131´veis correspondentes a`s operac¸o\u2dces elementares aplicadas na matriz \ud434
para se obter a matriz \ud435. Enta\u2dco \ud440 e´ invert\u131´vel e \ud435 = \ud440\ud434.
Sejam \ud6fc\ud4571 , . . . , \ud6fc\ud457\ud458 escalares tais que
\ud434\ud458 = \ud6fc\ud4571\ud434\ud4571 + \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \ud6fc\ud457\ud458\ud434\ud457\ud458 ,
enta\u2dco multiplicando-se a` esquerda pela matriz \ud440 obtemos
\ud440\ud434\ud458 = \ud6fc\ud4571\ud440\ud434\ud4571 + \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \ud6fc\ud457\ud458\ud440\ud434\ud457\ud458 .
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1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares 75
Como \ud440\ud434\ud457 = \ud435\ud457 , para \ud457 = 1, . . . , \ud45b (Exerc\u131´cio 1.1.17 (a) na pa´gina 28), enta\u2dco
\ud435\ud458 = \ud6fc\ud4571\ud435\ud4571 + \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \ud6fc\ud457\ud458\ud435\ud457\ud458 .
\u25a0
Teorema 1.10. Se \ud445 = (\ud45f\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b e \ud446 = (\ud460\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b sa\u2dco matrizes escalonadas reduzidas equivalentes
por linhas a uma matriz \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b, enta\u2dco \ud445 = \ud446.
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam \ud446 e \ud445 matrizes escalonadas reduzidas equivalentes a \ud434. Sejam \ud4451, . . . , \ud445\ud45b
as colunas de \ud445 e \ud4461, . . . , \ud446\ud45b as colunas de \ud446. Seja \ud45f o nu´mero de linhas na\u2dco nulas de \ud445. Se-
jam \ud4571, . . . , \ud457\ud45f as colunas onde ocorrem os pivo\u2c6s das linhas 1, . . . , \ud45f, respectivamente, da matriz \ud445.
Pelo Exerc\u131´cio 19 na pa´gina 72, \ud445 e \ud446 sa\u2dco equivalentes por linha, ou seja, existe uma sequ¨e\u2c6ncia
de operac¸o\u2dces elementares que podemos aplicar em \ud445 para chegar a \ud446 e uma outra sequ¨e\u2c6ncia de
operac¸o\u2dces elementares que podemos aplicar a \ud446 e chegar a \ud445.
Assim, como as colunas 1, . . . , \ud4571\u2212 1 de \ud445 sa\u2dco nulas o mesmo vale para as colunas 1, . . . , \ud4571\u2212 1
de \ud446. Logo o pivo\u2c6 da 1a. linha de \ud446 ocorre numa coluna maior ou igual a \ud4571. Trocando-se \ud445 por \ud446 e
usando este argumento chegamos a conclusa\u2dco que \ud445\ud4571 = \ud446\ud4571 e assim \ud4451 = \ud4461, . . . , \ud445\ud4571 = \ud446\ud4571 .
Vamos supor que \ud4451 = \ud4461, . . . , \ud445\ud457\ud458 = \ud446\ud457\ud458 e vamos mostrar que
\ud445\ud457\ud458+1 = \ud446\ud457\ud458+1, . . . , \ud445\ud457\ud458+1 = \ud446\ud457\ud458+1 , se \ud458 < \ud45f ou
\ud445\ud457\ud45f+1 = \ud446\ud457\ud45f+1, . . . , \ud445\ud45b = \ud446\ud45b, se \ud458 = \ud45f.
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76 Matrizes e Sistemas Lineares
Observe que para \ud457 = \ud457\ud458 +1, . . . , \ud457\ud458+1\u2212 1, se \ud458 < \ud45f, ou para \ud457 = \ud457\ud45f +1, . . . , \ud45b, se \ud458 = \ud45f, temos
que
\ud445\ud457 = (\ud45f1\ud457, . . . , \ud45f\ud458\ud457, 0, . . . , 0) = \ud45f1\ud457\ud445\ud4571 + . . .+ \ud45f\ud458\ud457\ud445\ud457\ud458 ,
o que implica pela Proposic¸a\u2dco 1.9 que
\ud446\ud457 = \ud45f1\ud457\ud446\ud4571 + . . .+ \ud45f\ud458\ud457\ud446\ud457\ud458 .
Mas por hipo´tese \ud445\ud4571 = \ud446\ud4571 , . . . , \ud445\ud457\ud458 = \ud446\ud457\ud458 , enta\u2dco,
\ud446\ud457 = \ud45f1\ud457\ud445\ud4571 + . . .+ \ud45f\ud458\ud457\ud445\ud457\ud458 = \ud445\ud457,
para \ud457 = \ud457\ud458 + 1, . . . , \ud457\ud458+1 \u2212 1, se \ud458 < \ud45f ou para \ud457 = \ud457\ud45f + 1, . . . , \ud45b, se \ud458 = \ud45f.
Logo, se \ud458 < \ud45f, o pivo\u2c6 da (\ud458 + 1)-e´sima linha de \ud446 ocorre numa coluna maior ou igual a \ud457\ud458+1.
Trocando-se \ud445 por \ud446 e usando o argumento anterior chegamos a conclusa\u2dco que \ud445\ud457\ud458+1 = \ud446\ud457\ud458+1 e
assim \ud4451 = \ud4461, . . . , \ud445\ud457\ud45f = \ud446\ud457\ud45f . E se \ud458 = \ud45f, enta\u2dco \ud4451 = \ud4461, . . . , \ud445\ud45b = \ud446\ud45b.
Portanto \ud445 = \ud446. \u25a0
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1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares 77
Teste do Cap\u131´tulo
1. Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de \ud44e para os quais o sistema na\u2dco tem
soluc¸a\u2dco, tem soluc¸a\u2dco u´nica e tem infinitas soluc¸o\u2dces:\u23a7\u23a8
\u23a9
\ud465 + 2\ud466 + \ud467 = 3
\ud465 + \ud466 \u2212 \ud467 = 2
\ud465 + \ud466 + (\ud44e2 \u2212 5)\ud467 = \ud44e
2. Se poss\u131´vel, encontre os valores de \ud465, \ud466 e \ud467 tais que:\u23a1
\u23a3 1 2 32 5 3
1 0 8
\u23a4
\u23a6
\u23a1
\u23a3 \u221240 16 \ud46513 \u22125 \ud466
5 \u22122 \ud467
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 1 0 00 1 0
0 0 1
\u23a4
\u23a6
3. Sejam
\ud437 =
[
1 0
0 \u22121
]
. e \ud443 =
[
cos \ud703 sen \ud703
\u2212 sen \ud703 cos \ud703
]
.
Sabendo-se que \ud434 = \ud443 \ud461\ud437\ud443 , calcule \ud4372, \ud443\ud443 \ud461 e \ud4342.
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
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78 Matrizes e Sistemas Lineares
(a) Se \ud4342 = \u22122\ud4344, enta\u2dco (\ud43c\ud45b + \ud4342)(\ud43c\ud45b \u2212 2\ud4342) = \ud43c\ud45b;
(b) Se \ud434 = \ud443 \ud461\ud437\ud443 , onde \ud437 e´ uma matriz diagonal, enta\u2dco \ud434\ud461 = \ud434;
(c) Se \ud437 e´ uma matriz diagonal, enta\u2dco \ud437\ud434 = \ud434\ud437, para toda matriz \ud434, \ud45b× \ud45b;
(d) Se \ud435 = \ud434\ud434\ud461, enta\u2dco \ud435 = \ud435\ud461.
(e) Se \ud435 e \ud434 sa\u2dco tais que \ud434 = \ud434\ud461 e \ud435 = \ud435\ud461, enta\u2dco \ud436 = \ud434\ud435, e´ tal que \ud436\ud461 = \ud436.
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Cap\u131´tulo 2
Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
2.1 Matriz Inversa
Todo nu´mero real \ud44e, na\u2dco nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um nu´mero \ud44f, tal
que \ud44e \ud44f = \ud44f \ud44e = 1. Este nu´mero e´ u´nico e o denotamos por \ud44e\u22121. Apesar da a´lgebra matricial ser
semelhante a` a´lgebra dos nu´meros reais, nem todas as matrizes \ud434 na\u2dco nulas possuem inversa, ou
seja, nem sempre existe uma matriz \ud435 tal que \ud434\ud435 = \ud435\ud434 = \ud43c\ud45b. De in\u131´cio, para que os produtos \ud434\ud435
e \ud435\ud434 estejam definidos e sejam iguais e´ preciso que as matrizes \ud434 e \ud435 sejam quadradas. Portanto,
somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que ja´ diferencia do caso dos nu´meros reais,
pois todo nu´mero na\u2dco nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas na\u2dco possuem
inversa, apesar do conjunto das que na\u2dco tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem
(Exerc\u131´cio 2.2.9 na pa´gina 141).
79
80 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Definic¸a\u2dco 2.1. Uma matriz quadrada \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b e´ invert\u131´vel ou na\u2dco singular, se existe uma
matriz \ud435 = (\ud44f\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b tal que
\ud434 \ud435 = \ud435 \ud434 = \ud43c\ud45b , (2.1)
em que \ud43c\ud45b e´ a matriz identidade. A matriz \ud435 e´ chamada de inversa de \ud434. Se \ud434 na\u2dco tem inversa,
dizemos que \ud434 e´ na\u2dco invert\u131´vel ou singular.
Exemplo 2.1. Considere as matrizes
\ud434 =
[ \u22122 1
0 3
]
e \ud435 =
[ \u22121/2 1/6
0 1/3
]
.
A matriz \ud435 e´ a inversa da matriz \ud434, pois \ud434\ud435 = \ud435\ud434 = \ud43c2.
Teorema 2.1. Se uma matriz \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b possui inversa, enta\u2dco a inversa e´ u´nica.
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2.1 A Inversa de uma Matriz 81
Demonstrac¸a\u2dco. Suponhamos que \ud435 e \ud436 sejam inversas de \ud434. Enta\u2dco, \ud434\ud435 = \ud435\ud434 = \ud43c\ud45b = \ud434\ud436 =
\ud436\ud434 e assim,
\ud435 = \ud435 \ud43c\ud45b = \ud435(\ud434\ud436) = (\ud435\ud434)\ud436 = \ud43c\ud45b\ud436 = \ud436 .
\u25a0
Denotamos a inversa de \ud434, quando ela existe, por \ud434\u22121. Devemos chamar atenc¸a\u2dco para o fato de
que o \u131´ndice superior \u22121, aqui, na\u2dco significa uma pote\u2c6ncia, ta\u2dco pouco uma divisa\u2dco. Assim como no
caso da transposta, em que \ud434\ud461 significa a transposta de \ud434, aqui, \ud434\u22121 significa a inversa de \ud434.
2.1.1 Propriedades da Inversa
Teorema 2.2. (a) Se \ud434 e´ invert\u131´vel, enta\u2dco \ud434\u22121 tambe´m o e´ e
(\ud434\u22121)\u22121 = \ud434 ;
(b) Se \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b e \ud435 = (\ud44f\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b sa\u2dco matrizes invert\u131´veis, enta\u2dco \ud434\ud435 e´ invert\u131´vel e
(\ud434\ud435)\u22121 = \ud435\u22121\ud434\u22121 ;
(c) Se \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b e´ invert\u131´vel, enta\u2dco \ud434\ud461 tambe´m e´ invert\u131´vel e
(\ud434\ud461)\u22121 = (\ud434\u22121)\ud461 .
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82 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Demonstrac¸a\u2dco. Se queremos mostrar que uma matriz e´ a inversa de uma outra, temos que mostrar
que os produtos das duas matrizes sa\u2dco iguais a` matriz identidade.
(a) Uma matriz \ud435 e´ a inversa de \ud434\u22121 se
\ud434\u22121\ud435 = \ud435\ud434\u22121 = \ud43c\ud45b .
Mas, como \ud434\u22121 e´ a inversa de \ud434, enta\u2dco
\ud434\ud434\u22121 = \ud434\u22121\ud434 = \ud43c\ud45b .
Como a inversa e´ u´nica, enta\u2dco \ud435 = \ud434 e´ a inversa de \ud434\u22121, ou seja, (\ud434\u22121)\u22121 = \ud434.
(b) Temos que mostrar que a inversa de \ud434\ud435 e´ \ud435\u22121\ud434\u22121, ou seja, mostrar que os produtos
(\ud434\ud435)(\ud435\u22121\ud434\u22121) e (\ud435\u22121\ud434\u22121)(\ud434\ud435) sa\u2dco iguais a` matriz identidade. Mas, pelas propriedades
(h) e (i) do Teorema 1.1 na pa´gina 10:
(\ud434\ud435)(\ud435\u22121\ud434\u22121) = \ud434(\ud435\ud435\u22121)\ud434\u22121 = \ud434\ud43c\ud45b\ud434\u22121 = \ud434\ud434\u22121 = \ud43c\ud45b,
(\ud435\u22121\ud434\u22121)(\ud434\ud435) = \ud435\u22121(\ud434\u22121\ud434)\ud435 = \ud435\u22121\ud43c\ud45b\ud435 = \ud435\u22121\ud435 = \ud43c\ud45b.
(c) Queremos mostrar que a inversa de \ud434\ud461 e´ (\ud434\u22121)\ud461. Pela propriedade (o) do Teorema 1.1 na
pa´gina 10:
\ud434\ud461(\ud434\u22121)\ud461 = (\ud434\u22121\ud434)\ud461 = \ud43c \ud461\ud45b = \ud43c\ud45b,
(\ud434\u22121)\ud461\ud434\ud461 = (\ud434\ud434\u22121)\ud461 = \ud43c \ud461\ud45b = \ud43c\ud45b.
\u25a0
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2.1 A Inversa de uma Matriz 83
O teorema seguinte, cuja demonstrac¸a\u2dco sera´ omitida no momento (Subsec¸a\u2dco 2.1.2), garante que
basta verificarmos uma das duas igualdades em (2.1) para sabermos se uma matriz e´ a inversa de
outra.
Teorema 2.3. Sejam \ud434 e \ud435 matrizes \ud45b× \ud45b.
(a) Se \ud435\ud434 = \ud43c\ud45b, enta\u2dco \ud434\ud435 = \ud43c\ud45b;
(b) Se \ud434\ud435 = \ud43c\ud45b, enta\u2dco \ud435\ud434 = \ud43c\ud45b;
Assim, para verificar que uma matriz \ud434 e´ invert\u131´vel, quando temos uma matriz \ud435 que e´ candidata a
inversa de \ud434, basta fazer um dos produtos \ud434\ud435 ou \ud435\ud434 e verificar se um deles e´ igual a \ud43c\ud45b. O pro´ximo
exemplo ilustra este fato.
Exemplo 2.2. Seja \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b uma matriz tal que \ud4343 = 0¯ (\ud434 pode na\u2dco ser a matriz nula!). Vamos
mostrar que a inversa de \ud43c\ud45b\u2212\ud434 e´ \ud43c\ud45b+\ud434+\ud4342. Para provar isto, devemos