Matrizes Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes Vetores e Geometria Analitica


DisciplinaGeometria Analítica e Álgebra Linear3.344 materiais33.346 seguidores
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e´ necessa´rio apenas da ordem de \ud45b3 produtos. Ou
seja, para calcular o determinante de uma matriz 20× 20 usando o me´todo apresentado no exemplo
anterior um computador pessoal gasta muito menos de um segundo.
A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que sera\u2dco demonstradas somente
na Subsec¸a\u2dco 2.2.2 na pa´gina 128.
Teorema 2.14. Sejam \ud434 e \ud435 matrizes \ud45b× \ud45b.
(a) Os determinantes de \ud434 e de sua transposta \ud434\ud461 sa\u2dco iguais,
det(\ud434) = det(\ud434\ud461) ;
(b) O determinante do produto de \ud434 por \ud435 e´ igual ao produto dos seus determinantes,
det(\ud434\ud435) = det(\ud434) det(\ud435) .
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2.2 Determinantes 123
Observac¸a\u2dco. Como o determinante de uma matriz e´ igual ao determinante da sua transposta (Teo-
rema 2.14 (b)), segue-se que todas as propriedades que se referem a linhas sa\u2dco va´lidas com relac¸a\u2dco
a`s colunas.
Exemplo 2.14. Seja \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45b×\ud45b. Vamos mostrar que se \ud434 e´ invert\u131´vel, enta\u2dco
det(\ud434\u22121) =
1
det(\ud434)
.
Como \ud434\ud434\u22121 = \ud43c\ud45b, aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usando
o Teorema 2.14, obtemos
det(\ud434) det(\ud434\u22121) = det(\ud43c\ud45b).
Mas, det(\ud43c\ud45b) = 1 (Exemplo 2.11 na pa´gina 113, a matriz identidade tambe´m e´ triangular inferior!).
Logo, det(\ud434\u22121) = 1
det(\ud434)
.
Exemplo 2.15. Se uma matriz quadrada e´ tal que \ud4342 = \ud434\u22121, enta\u2dco vamos mostrar que det(\ud434) =
1. Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente o
Teorema 2.14 e o resultado do exemplo anterior, obtemos
(det(\ud434))2 =
1
det(\ud434)
.
Logo, (det(\ud434))3 = 1. Portanto, det(\ud434) = 1.
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124 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invert\u131´veis e os sistemas
lineares homoge\u2c6neos que possuem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial.
Teorema 2.15. Seja \ud434 uma matriz \ud45b× \ud45b.
(a) A matriz \ud434 e´ invert\u131´vel se, e somente se, det(\ud434) \u2215= 0.
(b) O sistema homoge\u2c6neo \ud434\ud44b = 0¯ tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial se, e somente se, det(\ud434) = 0.
Demonstrac¸a\u2dco. (a) Seja \ud445 a forma escalonada reduzida da matriz \ud434.
A demonstrac¸a\u2dco deste item segue-se de tre\u2c6s observac¸o\u2dces:
\u2219 Pelo Teorema 2.13 na pa´gina 118, det(\ud434) \u2215= 0 se, e somente se, det(\ud445) \u2215= 0.
\u2219 Pela Proposic¸a\u2dco 1.5 da pa´gina 51, ou \ud445 = \ud43c\ud45b ou a matriz \ud445 tem uma linha nula. Assim,
det(\ud434) \u2215= 0 se, e somente se, \ud445 = \ud43c\ud45b.
\u2219 Pelo Teorema 2.7 na pa´gina 89, \ud445 = \ud43c\ud45b se, e somente se, \ud434 e´ invert\u131´vel.
(b) Pelo Teorema 2.8 na pa´gina 94, o sistema homoge\u2c6neo \ud434\ud44b = 0¯ tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial se, e
somente se, a matriz \ud434 na\u2dco e´ invert\u131´vel. E pelo item anterior, a matriz \ud434 e´ na\u2dco invert\u131´vel se, e
somente se, det(\ud434) = 0.
\u25a0
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2.2 Determinantes 125
Exemplo 2.16. Considere a matriz
\ud434 =
\u23a1
\u23a3 2 2 20 2 0
0 1 3
\u23a4
\u23a6 .
(a) Determinar os valores de \ud706 \u2208 \u211d tais que existe \ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 \u2215= 0¯ que satisfaz \ud434\ud44b = \ud706\ud44b .
(b) Para cada um dos valores de \ud706 encontrados no item anterior determinar todos \ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 \u2215= 0¯
tais que \ud434\ud44b = \ud706\ud44b .
Soluc¸a\u2dco:
(a) Como a matriz identidade \ud43c3 e´ o elemento neutro do produto, enta\u2dco
\ud434\ud44b = \ud706\ud44b \u21d4 \ud434\ud44b = \ud706\ud43c3\ud44b.
Subtraindo-se \ud706\ud43c3\ud44b obtemos
\ud434\ud44b \u2212 \ud706\ud43c3\ud44b = 0¯ \u21d4 (\ud434\u2212 \ud706\ud43c3)\ud44b = 0¯.
Agora, este sistema homoge\u2c6neo tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial (\ud44b \u2215= 0¯) se, e somente se,
det(\ud434\u2212 \ud706\ud43c3) = 0.
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126 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Mas
det
\u23a1
\u23a3 2\u2212 \ud706 2 20 2\u2212 \ud706 0
0 1 3\u2212 \ud706
\u23a4
\u23a6 = \u2212(\ud706\u2212 2)2(\ud706\u2212 3) = 0
se, e somente se, \ud706 = 2 ou \ud706 = 3. Assim, somente para \ud706 = 2 e \ud706 = 3 existem vetores
\ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 \u2215= 0¯ tais que \ud434\ud44b = \ud706\ud44b .
(b) Para \ud706 = 2:
(\ud434\u2212 2\ud43c3)\ud44b = 0¯ \u21d4
\u23a1
\u23a3 0 2 20 0 0
0 1 1
\u23a4
\u23a6
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 00
0
\u23a4
\u23a6 \u21d4 { 2\ud466 + 2\ud467 = 0
\ud466 + \ud467 = 0
que tem soluc¸a\u2dco o conjunto dos \ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 \ud6fd\u2212\ud6fc
\ud6fc
\u23a4
\u23a6, para todos os valores de \ud6fc, \ud6fd \u2208 \u211d.
Para \ud706 = 3:
(\ud434\u2212 3\ud43c3)\ud44b = 0¯ \u21d4
\u23a1
\u23a3 \u22121 2 20 \u22121 0
0 1 0
\u23a4
\u23a6
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 00
0
\u23a4
\u23a6 \u21d4
\u23a7\u23a8
\u23a9
\u2212\ud465 + 2\ud466 + 2\ud467 = 0
\u2212\ud466 = 0
\ud466 = 0
que tem soluc¸a\u2dco o conjunto dos \ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 2\ud6fc0
\ud6fc
\u23a4
\u23a6, para todos os valores de \ud6fc \u2208 \u211d.
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2.2 Determinantes 127
Exemplo 2.17. A matriz \ud434 =
[
\ud44e \ud44f
\ud450 \ud451
]
e´ invert\u131´vel se, e somente se, det(\ud434) = \ud44e\ud451 \u2212 \ud44f\ud450 \u2215= 0. Neste
caso a inversa de \ud434 e´ dada por
\ud434\u22121 =
1
det(\ud434)
[
\ud451 \u2212\ud44f
\u2212\ud450 \ud44e
]
,
como pode ser verificado multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz \ud434.
Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz 2 × 2:
troca-se a posic¸a\u2dco dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal dos outros elementos e
divide-se todos os elementos pelo determinante de \ud434.
Exemplo 2.18. Considere o sistema linear de 2 equac¸o\u2dces e 2 inco´gnitas{
\ud44e\ud465 + \ud44f\ud466 = \ud454
\ud450\ud465 + \ud451\ud466 = \u210e
A matriz deste sistema e´
\ud434 =
[
\ud44e \ud44f
\ud450 \ud451
]
.
Se det(\ud434) \u2215= 0, enta\u2dco a soluc¸a\u2dco do sistema e´
\ud44b = \ud434\u22121\ud435 =
1
det(\ud434)
[
\ud451 \u2212\ud44f
\u2212\ud450 \ud44e
] [
\ud454
\u210e
]
=
1
det(\ud434)
[
\ud451\ud454 \u2212 \ud44f\u210e
\u2212\ud450\ud454 + \ud44e\u210e
]
=
1
det(\ud434)
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a3 det
[
\ud454 \ud44f
\u210e \ud451
]
det
[
\ud44e \ud454
\ud450 \u210e
]
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a6
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128 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
ou seja,
\ud465 =
det
[
\ud454 \ud44f
\u210e \ud451
]
det
[
\ud44e \ud44f
\ud450 \ud451
] , \ud466 = det
[
\ud44e \ud454
\ud450 \u210e
]
det
[
\ud44e \ud44f
\ud450 \ud451
]
esta e´ a chamada Regra de Cramer para sistemas de 2 equac¸o\u2dces e 2 inco´gnitas.A Regra de Cramer
para sistemas de \ud45b equac¸o\u2dces e \ud45b inco´gnitas sera´ apresentada na Subsec¸a\u2dco 2.2.3.
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional)
Relembramos que uma matriz elementar e´ uma matriz que se obte´m aplicando-se uma operac¸a\u2dco
elementar na matriz identidade. Assim, aplicando-se o Teorema 2.13 na pa´gina 118 obtemos o resul-
tado seguinte.
Proposic¸a\u2dco 2.16. (a) Se \ud438\ud456,\ud457 e´ a matriz elementar obtida trocando-se as linhas \ud456 e \ud457 da matriz
identidade, enta\u2dco det(\ud438\ud456,\ud457) = \u22121.
(b) Se \ud438\ud456(\ud6fc) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, multiplicando-se a linha \ud456 por \ud6fc,
enta\u2dco det(\ud438\ud456(\ud6fc)) = \ud6fc.
(c) Se \ud438\ud456,\ud457(\ud6fc) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, somando-se a` linha \ud457, \ud6fc vezes a
linha \ud456, enta\u2dco det(\ud438\ud456,\ud457(\ud6fc)) = 1.
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2.2 Determinantes 129
Lembramos tambe´m que uma matriz e´ invert\u131´vel se, e somente se, ela e´ o produto de matrizes
elementares (Teorema 2.6 na pa´gina 86). Ale´m disso, o resultado da aplicac¸a\u2dco de uma operac¸a\u2dco
elementar em uma matriz e´ o mesmo que multiplicar a matriz a` esquerda pela matriz elementar
correspondente.
Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 2.14 na pa´gina 122.
Demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.14.
(a) Queremos provar que det(\ud434\ud435) = det(\ud434) det(\ud435). Vamos dividir a demonstrac¸a\u2dco deste item em
tre\u2c6s casos:
Caso 1: Se \ud434 = \ud438 e´ uma matriz elementar. Este caso segue-se diretamente da proposic¸a\u2dco anterior
e do Teorema 2.13 na pa´gina 118.
Caso 2: Se \ud434 e´ invert\u131´vel, enta\u2dco pelo Teorema 2.6 na pa´gina 86 ela e´ o produto de matrizes elemen-
tares, \ud434 = \ud4381 . . . \ud438\ud458. Aplicando-se o caso anterior sucessivas vezes, obtemos
det(\ud434\ud435) = det(\ud4381) . . . det(\ud438\ud458) det(\ud435) = det(\ud4381 . . . \ud438\ud458) det(\ud435) = det(\ud434) det(\ud435).
Caso 3: Se \ud434 e´ singular, pela Proposic¸a\u2dco 2.9 na pa´gina 97, \ud434\ud435 tambe´m e´ singular. Logo,
det(\ud434\ud435) = 0 = 0 det(\ud435) = det(\ud434) det(\ud435).
(b) Queremos provar que det(\ud434) = det(\ud434\ud461). Vamos dividir a demonstrac¸a\u2dco deste item em dois
casos.
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130 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Caso 1: Se \ud434 e´ uma matriz invert\u131´vel, pelo Teorema 2.6 na pa´gina 86 ela e´ o produto de matrizes
elementares, \ud434 = \ud4381 . . . \ud438\ud458. ´E fa´cil ver que se \ud438 e´ uma matriz elementar, enta\u2dco det(\ud438) = det(\ud438\ud461)
(verifique!). Assim,
det(\ud434\ud461) = det(\ud438\ud461\ud458) . . . det(\ud438
\ud461
1) = det(\ud438\ud458) . . . det(\ud4381) = det(\ud4381 . . . \ud438\ud458) = det(\ud434).
Caso 2: Se \ud434 na\u2dco e´ invert\u131´vel, enta\u2dco