Matrizes Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes Vetores e Geometria Analitica


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x
y
\ud449 = (\ud4631, \ud4632)
\ud4632
\ud442 \ud4631
Figura 3.6: As componentes do vetor \ud449 no
plano
x
y
\ud443 = (\ud465, \ud466)
\u2212\u2192
\ud442\ud443
\ud466
\ud442 \ud465
Figura 3.7: As coordenadas de \ud443 sa\u2dco
iguais as componentes de
\u2212\u2192
\ud442\ud443
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
158 Vetores no Plano e no Espac¸o
\u2219 Como ilustrado na Figura 3.8, a soma de dois vetores \ud449 = (\ud4631, \ud4632) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642) e´ dada por
\ud449 +\ud44a = (\ud4631 + \ud4641, \ud4632 + \ud4642);
\u2219 Como ilustrado na Figura 3.9, a multiplicac¸a\u2dco de um vetor \ud449 = (\ud4631, \ud4632) por um escalar \ud6fc e´
dada por
\ud6fc \ud449 = (\ud6fc \ud4631, \ud6fc \ud4632).
Definimos as componentes de um vetor no espac¸o de forma ana´loga a que fizemos com vetores
no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espac¸o. Para
isto, escolhemos um ponto como origem \ud442 e como eixos coordenados, tre\u2c6s retas orientadas (com
sentido de percurso definido), passando pela origem, perpendiculares entre si, sendo uma delas
vertical orientada para cima. Estes sera\u2dco os eixos \ud465, \ud466 e \ud467. O eixo \ud467 e´ o eixo vertical. Os eixos \ud465
e \ud466 sa\u2dco horizontais e satisfazem a seguinte propriedade. Suponha que giramos o eixo \ud465 pelo menor
a\u2c6ngulo ate´ que coincida com o eixo \ud466. Se os dedos da ma\u2dco direita apontam na direc¸a\u2dco do semi-
eixo \ud465 positivo de forma que o semi-eixo \ud466 positivo esteja do lado da palma da ma\u2dco, enta\u2dco o polegar
aponta no sentido do semi-eixo \ud467 positivo. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano
coordenado. Portanto os tre\u2c6s planos coordenados sa\u2dco: \ud465\ud466, \ud466\ud467 e \ud465\ud467.
A cada ponto \ud443 no espac¸o associamos um terno de nu´meros (\ud465, \ud466, \ud467), chamado de coordenadas
do ponto \ud443 como segue.
\u2219 Trace uma reta paralela ao eixo \ud467, passando por \ud443 ;
\u2219 A intersec¸a\u2dco da reta paralela ao eixo \ud467, passando por \ud443 , com o plano \ud465\ud466 e´ o ponto \ud443 \u2032. As
coordenadas de \ud443 \u2032, (\ud465, \ud466), no sistema de coordenadas \ud465\ud466 sa\u2dco as duas primeiras coordenadas
de \ud443 .
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 159
x
y
\ud4632
\ud4642
\ud4632+\ud4642
\ud4631 \ud4641 \ud4631+\ud4641
\ud449
\ud44a
\ud449 +\ud44a
Figura 3.8: A soma de dois vetores no
plano
x
y
\ud4632
\ud6fc\ud4632
\ud4631 \ud6fc\ud4631
\ud449
\ud6fc\ud449
Figura 3.9: A multiplicac¸a\u2dco de vetor por es-
calar no plano
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
160 Vetores no Plano e no Espac¸o
\u2219 A terceira coordenada e´ igual ao comprimento do segmento \ud443\ud443 \u2032, se \ud443 estiver acima do plano
\ud465\ud466 e ao comprimento do segmento \ud443\ud443 \u2032 com o sinal negativo, se \ud443 estiver abaixo do plano \ud465\ud466.
As coordenadas de um ponto \ud443 sa\u2dco determinadas tambe´m da maneira dada a seguir.
\u2219 Passe tre\u2c6s planos por \ud443 paralelos aos planos coordenados.
\u2219 A intersec¸a\u2dco do plano paralelo ao plano \ud465\ud466, passando por \ud443 , com o eixo \ud467 determina a coorde-
nada \ud467.
\u2219 A intersec¸a\u2dco do plano paralelo ao plano \ud465\ud467, passando por \ud443 , com o eixo \ud466 determina a coorde-
nada \ud466
\u2219 A intersec¸a\u2dco do plano paralelo ao plano \ud466\ud467, passando por \ud443 , com o eixo \ud465 determina a coorde-
nada \ud465.
Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas tambe´m nas
operac¸o\u2dces de vetores no espac¸o. Seja \ud449 um vetor no espac¸o. Como no caso de vetores do plano,
definimos as componentes de \ud449 como sendo as coordenadas (\ud4631, \ud4632, \ud4633) do ponto final do repre-
sentante de \ud449 que tem ponto inicial na origem. Tambe´m vamos identificar o vetor com as suas
componentes e vamos escrever simplesmente
\ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633).
Assim, as coordenadas de um ponto \ud443 sa\u2dco iguais as componentes do vetor
\u2212\u2192
\ud442\ud443 que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto \ud443 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0, 0). Assim como
fizemos para vetores no plano, para vetores no espac¸o a soma de vetores e a multiplicac¸a\u2dco de vetor
por escalar podem ser realizadas em termos das componentes.
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 161
\u2219 Se \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642, \ud4643), enta\u2dco a adic¸a\u2dco de \ud449 com \ud44a e´ dada por
\ud449 +\ud44a = (\ud4631 + \ud4641, \ud4632 + \ud4642, \ud4633 + \ud4643);
\u2219 Se \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud6fc e´ um escalar, enta\u2dco a multiplicac¸a\u2dco de \ud449 por \ud6fc e´ dada por
\ud6fc \ud449 = (\ud6fc \ud4631, \ud6fc \ud4632, \ud6fc \ud4633).
Exemplo 3.1. Se \ud449 = (1,\u22122, 3), \ud44a = (2, 4,\u22121), enta\u2dco
\ud449 +\ud44a = (1 + 2,\u22122 + 4, 3 + (\u22121)) = (3, 2, 2), 3\ud449 = (3 \u22c5 1, 3 (\u22122), 3 \u22c5 3) = (3,\u22126, 9).
Quando um vetor \ud449 esta´ representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem
(Figura 3.13), digamos em \ud443 = (\ud4651, \ud4661, \ud4671), e ponto final em \ud444 = (\ud4652, \ud4662, \ud4672), enta\u2dco as componentes
do vetor \ud449 sa\u2dco dadas por
\ud449 =
\u2212\u2192
\ud443\ud444=
\u2212\u2192
\ud442\ud444 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud443= (\ud4652 \u2212 \ud4651, \ud4662 \u2212 \ud4661, \ud4672 \u2212 \ud4671).
Portanto, as componentes de \ud449 sa\u2dco obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto \ud444 (extremi-
dade) das do ponto \ud443 (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
162 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.2. As componentes do vetor \ud449 que tem um representante com ponto inicial \ud443 =
(5/2, 1, 2) e ponto final \ud444 = (0, 5/2, 5/2) sa\u2dco dadas por
\ud449 =
\u2212\u2192
\ud443\ud444= (0\u2212 5/2, 5/2\u2212 1, 5/2\u2212 2) = (\u22125/2, 3/2, 1/2).
Observac¸a\u2dco. O vetor e´ \u201clivre\u201d, ele na\u2dco tem posic¸a\u2dco fixa, ao contra´rio do ponto e do segmento orien-
tado. Por exemplo, o vetor \ud449 = (\u22125/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um
segmento orientado com a origem no ponto \ud443 = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um
segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto.
Um vetor no espac¸o \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) pode tambe´m ser escrito na notac¸a\u2dco matricial como uma
matriz linha ou como uma matriz coluna:
\ud449 =
\u23a1
\u23a3 \ud4631\ud4632
\ud4633
\u23a4
\u23a6 ou \ud449 = [ \ud4631 \ud4632 \ud4633 ] .
Estas notac¸o\u2dces podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o\u2dces matriciais
\ud449 +\ud44a =
\u23a1
\u23a3 \ud4631\ud4632
\ud4633
\u23a4
\u23a6+
\u23a1
\u23a3 \ud4641\ud4642
\ud4643
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 \ud4631 + \ud4641\ud4632 + \ud4642
\ud4633 + \ud4643
\u23a4
\u23a6 , \ud6fc\ud449 = \ud6fc
\u23a1
\u23a3 \ud4631\ud4632
\ud4633
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 \ud6fc\ud4631\ud6fc\ud4632
\ud6fc\ud4633
\u23a4
\u23a6
ou
\ud449 +\ud44a =
[
\ud4631 \ud4632 \ud4633
]
+
[
\ud4641 \ud4642 \ud4643
]
=
[
\ud4631 + \ud4641 \ud4632 + \ud4642 \ud4633 + \ud4643
]
,
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 163
\ud6fc\ud449 = \ud6fc
[
\ud4631 \ud4632 \ud4633
]
=
[
\ud6fc\ud4631 \ud6fc\ud4632 \ud6fc\ud4633
]
produzem os mesmos resultados que as operac¸o\u2dces vetoriais
\ud449 +\ud44a = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) + (\ud4641, \ud4642, \ud4643) = (\ud4631 + \ud4641, \ud4632 + \ud4642, \ud4633 + \ud4643),
\ud6fc\ud449 = \ud6fc(\ud4631, \ud4632, \ud4633) = (\ud6fc\ud4631, \ud6fc\ud4632, \ud6fc\ud4633).
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e
multiplicac¸a\u2dco de vetores por escalar.
Teorema 3.1. Sejam \ud448, \ud449 e \ud44a vetores e \ud6fc e \ud6fd escalares. Sa\u2dco va´lidas as seguintes propriedades:
(a) \ud448 + \ud449 = \ud449 + \ud448 ;
(b) (\ud448 + \ud449 ) +\ud44a = \ud448 + (\ud449 +\ud44a );
(c) \ud448 + 0¯ = \ud448 ;
(d) \ud448 + (\u2212\ud448) = 0¯;
(e) \ud6fc(\ud6fd\ud448) = (\ud6fc\ud6fd)\ud448 ;
(f) \ud6fc(\ud448 + \ud449 ) = \ud6fc\ud448 + \ud6fc\ud449 ;
(g) (\ud6fc + \ud6fd)\ud448 = \ud6fc\ud448 + \ud6fd\ud448 ;
(h) 1\ud448 = \ud448 .
Demonstrac¸a\u2dco. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina
10). \u25a0
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164 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.3. Seja um tria\u2c6ngulo \ud434\ud435\ud436 e sejam \ud440 e \ud441 os pontos me´dios de \ud434\ud436 e \ud435\ud436, respectiva-
mente. Vamos provar que \ud440\ud441 e´ paralelo a \ud434\ud435 e tem comprimento igual a metade do comprimento
de \ud434\ud435.
Devemos provar que
\u2212\u2192
\ud440\ud441=
1
2
\u2212\u2192
\ud434\ud435 .
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 165
A B
C
M N
Agora, a partir da figura acima temos que
\u2212\u2192
\ud440\ud441=
\u2212\u2192
\ud440\ud436 +
\u2212\u2192
\ud436\ud441 .
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
166 Vetores no Plano e no Espac¸o
Como \ud440 e´ ponto me´dio de \ud434\ud436 e \ud441 e´ ponto me´dio de \ud435\ud436, enta\u2dco
\u2212\u2192
\ud440\ud436=
1
2
\u2212\u2192
\ud434\ud436 e
\u2212\u2192
\ud436\ud441=
1
2
\u2212\u2192
\ud436\ud435 .
Logo,
\u2212\u2192
\ud440\ud441=
1
2
\u2212\u2192
\ud434\ud436 +
1
2
\u2212\u2192
\ud436\ud435=
1
2
(
\u2212\u2192
\ud434\ud436 +
\u2212\u2192
\ud436\ud435) =
1
2
\u2212\u2192
\ud434\ud435 .
Exemplo 3.4. Dados quatro pontos \ud434, \ud435, \ud436 e \ud44b tais que
\u2212\u2192
\ud434\ud44b= \ud706
\u2212\u2192
\ud434\ud435, vamos escrever
\u2212\u2192
\ud436\ud44b como
combinac¸a\u2dco linear de
\u2212\u2192
\ud436\ud434 e
\u2212\u2192
\ud436\ud435, isto e´, como uma soma de mu´ltiplos escalares de
\u2212\u2192
\ud436\ud434 e
\u2212\u2192
\ud436\ud435.
Como
\u2212\u2192
\ud434\ud44b= \ud706
\u2212\u2192
\ud434\ud435, enta\u2dco os vetores
\u2212\u2192
\ud434\ud44b e
\u2212\u2192
\ud434\ud435 sa\u2dco paralelos e portanto o ponto