Matrizes Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes Vetores e Geometria Analitica


DisciplinaGeometria Analítica e Álgebra Linear3.354 materiais33.411 seguidores
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3 \u22122 ] , \ud438 =
\u23a1
\u23a3 14
\u22123
\u23a4
\u23a6 e \ud439 = [ 3 ] .
As matrizes \ud434 e \ud435 sa\u2dco 2 × 2. A matriz \ud436 e´ 2 × 3, \ud437 e´ 1 × 3, \ud438 e´ 3 × 1 e \ud439 e´ 1 × 1. De acordo
com a notac¸a\u2dco que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima sa\u2dco
\ud44e12 = 2, \ud45023 = \u22122, \ud45221 = 4, [\ud434]22 = 4, [\ud437]12 = 3.
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1.1 Matrizes 3
Uma matriz que so´ possui uma linha e´ chamada matriz linha, e uma matriz que so´ possui uma
coluna e´ chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz \ud437 e´ uma matriz linha e a matriz \ud438 e´ uma
matriz coluna.
Dizemos que duas matrizes sa\u2dco iguais se elas te\u2c6m o mesmo tamanho e os elementos correspon-
dentes sa\u2dco iguais, ou seja, \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b e \ud435 = (\ud44f\ud456\ud457)\ud45d×\ud45e sa\u2dco iguais se \ud45a = \ud45d, \ud45b = \ud45e e \ud44e\ud456\ud457 = \ud44f\ud456\ud457
para \ud456 = 1, . . . ,\ud45a e \ud457 = 1, . . . , \ud45b.
Vamos definir operac¸o\u2dces matriciais ana´logas a`s operac¸o\u2dces com nu´meros e provar propriedades
que sa\u2dco va´lidas para essas operac¸o\u2dces. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸o\u2dces lineares
pode ser escrito em termos de uma u´nica equac¸a\u2dco matricial.
Vamos, agora, introduzir as operac¸o\u2dces matriciais.
1.1.1 Operac¸o\u2dces com Matrizes
Definic¸a\u2dco 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b e \ud435 = (\ud44f\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b e´
definida como sendo a matriz \ud45a× \ud45b
\ud436 = \ud434+ \ud435
obtida somando-se os elementos correspondentes de \ud434 e \ud435, ou seja,
\ud450\ud456\ud457 = \ud44e\ud456\ud457 + \ud44f\ud456\ud457 ,
para \ud456 = 1, . . . ,\ud45a e \ud457 = 1, . . . , \ud45b. Escrevemos tambe´m [\ud434+ \ud435]\ud456\ud457 = \ud44e\ud456\ud457 + \ud44f\ud456\ud457 .
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4 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.2. Considere as matrizes:
\ud434 =
[
1 2 \u22123
3 4 0
]
, \ud435 =
[ \u22122 1 5
0 3 \u22124
]
Se chamamos de \ud436 a soma das duas matrizes \ud434 e \ud435, enta\u2dco
\ud436 = \ud434+ \ud435 =
[
1 + (\u22122) 2 + 1 \u22123 + 5
3 + 0 4 + 3 0 + (\u22124)
]
=
[ \u22121 3 2
3 7 \u22124
]
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1.1 Matrizes 5
Definic¸a\u2dco 1.2. A multiplicac¸a\u2dco de uma matriz \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b por um escalar (nu´mero) \ud6fc e´ definida
pela matriz \ud45a× \ud45b
\ud435 = \ud6fc\ud434
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz \ud434 pelo escalar \ud6fc, ou seja,
\ud44f\ud456\ud457 = \ud6fc \ud44e\ud456\ud457 ,
para \ud456 = 1, . . . ,\ud45a e \ud457 = 1, . . . , \ud45b. Escrevemos tambe´m [\ud6fc\ud434]\ud456\ud457 = \ud6fc \ud44e\ud456\ud457 . Dizemos que a matriz \ud435 e´
um mu´ltiplo escalar da matriz \ud434.
Exemplo 1.3. O produto da matriz \ud434 =
\u23a1
\u23a3 \u22122 10 3
5 \u22124
\u23a4
\u23a6 pelo escalar \u22123 e´ dado por
\u22123\ud434 =
\u23a1
\u23a3 (\u22123)(\u22122) (\u22123) 1(\u22123) 0 (\u22123) 3
(\u22123) 5 (\u22123)(\u22124)
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 6 \u221230 \u22129
\u221215 12
\u23a4
\u23a6 .
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6 Matrizes e Sistemas Lineares
Definic¸a\u2dco 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45d e \ud435 = (\ud44f\ud456\ud457)\ud45d×\ud45b e´ definido pela matriz \ud45a× \ud45b
\ud436 = \ud434\ud435
obtida da seguinte forma:
\ud450\ud456\ud457 = \ud44e\ud4561\ud44f1\ud457 + \ud44e\ud4562\ud44f2\ud457 + . . .+ \ud44e\ud456\ud45d\ud44f\ud45d\ud457, (1.1)
para \ud456 = 1, . . . ,\ud45a e \ud457 = 1, . . . , \ud45b. Escrevemos tambe´m [\ud434\ud435]\ud456\ud457 = \ud44e\ud4561\ud44f1\ud457 + \ud44e\ud4562\ud44f2\ud457 + . . .+ \ud44e\ud456\ud45d\ud44f\ud45d\ud457 .
A equac¸a\u2dco (1.1) esta´ dizendo que o elemento \ud456, \ud457 do produto e´ igual a` soma dos produtos dos
elementos da \ud456-e´sima linha de \ud434 pelos elementos correspondentes da \ud457-e´sima coluna de \ud435.
\u23a1
\u23a2\u23a3 \ud45011 . . . \ud4501\ud45b... \ud450\ud456\ud457 ...
\ud450\ud45a1 . . . \ud450\ud45a\ud45b
\u23a4
\u23a5\u23a6 =
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
\ud44e11 \ud44e12 . . . \ud44e1\ud45d
.
.
. . . .
.
.
.
\ud44e\ud4561 \ud44e\ud4562 . . . \ud44e\ud456\ud45d
.
.
. . . .
.
.
.
\ud44e\ud45a1 \ud44e\ud45a2 . . . \ud44e\ud45a\ud45d
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
\ud44f11
\ud44f21
.
.
.
\ud44f\ud45d1
. . .
. . .
. . .
. . .
\ud44f1\ud457
\ud44f2\ud457
.
.
.
\ud44f\ud45d\ud457
. . .
. . .
. . .
. . .
\ud44f1\ud45b
\ud44f2\ud45b
.
.
.
\ud44f\ud45d\ud45b
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6
A equac¸a\u2dco (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸a\u2dco de somato´rio.
[\ud434\ud435]\ud456\ud457 = \ud44e\ud4561\ud44f1\ud457 + \ud44e\ud4562\ud44f2\ud457 + . . .+ \ud44e\ud456\ud45d\ud44f\ud45d\ud457 =
\ud45d\u2211
\ud458=1
\ud44e\ud456\ud458\ud44f\ud458\ud457
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1.1 Matrizes 7
e dizemos \u201csomato´rio de \ud458 variando de 1 a \ud45d de \ud44e\ud456\ud458\ud44f\ud458\ud457\u201d. O s\u131´mbolo
\ud45d\u2211
\ud458=1
significa que estamos fazendo
uma soma em que o \u131´ndice \ud458 esta´ variando de \ud458 = 1 ate´ \ud458 = \ud45d. Algumas propriedades da notac¸a\u2dco
de somato´rio esta\u2dco explicadas no Ape\u2c6ndice I na pa´gina 32.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes:
\ud434 =
[
1 2 \u22123
3 4 0
]
, \ud435 =
\u23a1
\u23a3 \u22122 1 00 3 0
5 \u22124 0
\u23a4
\u23a6 .
Se chamamos de \ud436 o produto das duas matrizes \ud434 e \ud435, enta\u2dco
\ud436 = \ud434\ud435 =
[
1 (\u22122) + 2 \u22c5 0 + (\u22123) 5 1 \u22c5 1 + 2 \u22c5 3 + (\u22123) (\u22124) 0
3 (\u22122) + 4 \u22c5 0 + 0 \u22c5 5 3 \u22c5 1 + 4 \u22c5 3 + 0 (\u22124) 0
]
=
[ \u221217 19 0
\u22126 15 0
]
.
Observac¸a\u2dco. No exemplo anterior o produto \ud435\ud434 na\u2dco esta´ definido (por que?). Entretanto, mesmo
quando ele esta´ definido, \ud435\ud434 pode na\u2dco ser igual a \ud434\ud435, ou seja, o produto de matrizes na\u2dco e´ comu-
tativo, como mostra o exemplo seguinte.
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8 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.5. Sejam \ud434 =
[
1 2
3 4
]
e \ud435 =
[ \u22122 1
0 3
]
. Enta\u2dco,
\ud434\ud435 =
[ \u22122 7
\u22126 15
]
e \ud435\ud434 =
[
1 0
9 12
]
.
Vamos ver no pro´ximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa-
mente um processo de produc¸a\u2dco.
Exemplo 1.6. Uma indu´stria produz tre\u2c6s produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa\u2dco utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa\u2dco
necessa´rios na produc¸a\u2dco de \ud465 kg do produto X, \ud466 kg do produto Y e \ud467 kg do produto Z.
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
[
1 1 1
2 1 4
]
= \ud434 \ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
\ud434\ud44b =
[
\ud465+ \ud466 + \ud467
2\ud465+ \ud466 + 4\ud467
]
gramas de A usados
gramas de B usados
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1.1 Matrizes 9
Definic¸a\u2dco 1.4. A transposta de uma matriz \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b e´ definida pela matriz \ud45b×\ud45a
\ud435 = \ud434\ud461
obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,
\ud44f\ud456\ud457 = \ud44e\ud457\ud456 ,
para \ud456 = 1, . . . , \ud45b e \ud457 = 1, . . . ,\ud45a. Escrevemos tambe´m [\ud434\ud461]\ud456\ud457 = \ud44e\ud457\ud456.
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes
\ud434 =
[
1 2
3 4
]
, \ud435 =
[ \u22122 1
0 3
]
e \ud436 =
[
1 3 0
2 4 \u22122
]
sa\u2dco
\ud434\ud461 =
[
1 3
2 4
]
, \ud435\ud461 =
[ \u22122 0
1 3
]
e \ud436\ud461 =
\u23a1
\u23a3 1 23 4
0 \u22122
\u23a4
\u23a6 .
A seguir, mostraremos as propriedades que sa\u2dco va´lidas para a a´lgebra matricial. Va´rias proprie-
dades sa\u2dco semelhantes a`quelas que sa\u2dco va´lidas para os nu´meros reais, mas deve-se tomar cuidado
com as diferenc¸as. Uma propriedade importante que e´ va´lida para os nu´meros reais, mas na\u2dco e´
va´lida para as matrizes e´ a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5. Por ser
compacta, usaremos a notac¸a\u2dco de somato´rio na demonstrac¸a\u2dco de va´rias propriedades. Algumas
propriedades desta notac¸a\u2dco esta\u2dco explicadas no Ape\u2c6ndice I na pa´gina 32.
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10 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial
Teorema 1.1. Sejam \ud434, \ud435 e \ud436 matrizes com tamanhos apropriados, \ud6fc e \ud6fd escalares. Sa\u2dco va´lidas as
seguintes propriedades para as operac¸o\u2dces matriciais:
(a) (comutatividade) \ud434+ \ud435 = \ud435 + \ud434;
(b) (associatividade) \ud434+ (\ud435 + \ud436) = (\ud434+ \ud435) + \ud436;
(c) (elemento neutro) A matriz 0¯, \ud45a × \ud45b, definida por [0¯]\ud456\ud457 = 0, para \ud456 = 1, . . . ,\ud45a, \ud457 = 1, . . . , \ud45b e´
tal que
\ud434+ 0¯ = \ud434,
para toda matriz \ud434, \ud45a× \ud45b. A matriz 0¯ e´ chamada matriz nula \ud45a× \ud45b.
(d) (elemento sime´trico) Para cada matriz \ud434, existe uma u´nica matriz \u2212\ud434, definida por [\u2212\ud434]\ud456\ud457 =
\u2212\ud44e\ud456\ud457 tal que
\ud434+ (\u2212\ud434) = 0¯.
(e) (associatividade) \ud6fc(\ud6fd\ud434) = (\ud6fc\ud6fd)\ud434;
(f) (distributividade) (\ud6fc + \ud6fd)\ud434 = \ud6fc\ud434+ \ud6fd\ud434;
(g) (distributividade) \ud6fc(\ud434+ \ud435) = \ud6fc\ud434+ \ud6fc\ud435;
(h) (associatividade) \ud434(\ud435\ud436) = (\ud434\ud435)\ud436;
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1.1 Matrizes 11
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo \ud45d a matriz, \ud45d× \ud45d,
\ud43c\ud45d =
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6 ,
chamada matriz identidade e´ tal que
\ud434\ud43c\ud45b = \ud43c\ud45a\ud434 = \ud434, para toda matriz \ud434 = (\ud44e\ud456\ud457)\ud45a×\ud45b.
(j) (distributividade)