Matrizes Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes Vetores e Geometria Analitica


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5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 359
x
y
\ud436
\ud703
\ud45f
\ud443
Figura 5.34: Circunfere\u2c6ncia que passa pelo polo com centro no eixo polar a` direita
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
360 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud436
\ud703
\ud45f
\ud443
Figura 5.35: Circunfere\u2c6ncia que passa pelo polo com centro no eixo polar a` esquerda
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 361
x
y
\ud436
\ud703
\ud45f
\ud443
Figura 5.36: Circunfere\u2c6ncia que passa pelo polo com centro acima do polo na reta perpendicular ao
eixo polar que passa pelo polo
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
362 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud436
\ud703
\ud45f
\ud443
Figura 5.37: Circunfere\u2c6ncia que passa pelo polo com centro abaixo do polo na reta perpendicular ao
eixo polar que passa pelo polo
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 363
Assim,
\ud45f2 = 2\ud45f\ud44e cos \ud703
ou
\ud45f(\ud45f \u2212 2\ud44e cos \ud703) = 0
Logo a equac¸a\u2dco em coordenadas polares da circunfere\u2c6ncia e´
\ud45f = 2\ud44e cos \ud703.
(ii) Se o raio e´ igual a \ud44e e o centro em coordenadas polares e´ \ud436 = (\ud44e, \ud70b). Se \ud443 e´ um ponto
qualquer da circunfere\u2c6ncia, enta\u2dco
\ud44e2 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud436\ud443 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2223\u22232 + \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 \u2212 2
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u22c5
\u2212\u2192
\ud442\ud436
= \ud45f2 + \ud44e2 \u2212 2\ud45f\ud44e cos(\ud70b \u2212 \ud703).
Assim,
\ud45f2 = \u22122\ud45f\ud44e cos \ud703
ou
\ud45f(\ud45f + 2\ud44e cos \ud703) = 0
Logo a equac¸a\u2dco em coordenadas polares da circunfere\u2c6ncia e´
\ud45f = \u22122\ud44e cos \ud703.
(b) Se o centro esta´ na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
364 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
(i) Se o raio e´ igual a \ud44e e o centro em coordenadas polares e´ \ud436 = (\ud44e, \ud70b/2). Se \ud443 e´ um ponto
qualquer da circunfere\u2c6ncia, enta\u2dco
\ud44e2 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud436\ud443 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2223\u22232 + \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 \u2212 2
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u22c5
\u2212\u2192
\ud442\ud436
= \ud45f2 + \ud44e2 \u2212 2\ud45f\ud44e cos(\ud70b/2\u2212 \ud703).
Assim,
\ud45f2 = 2\ud45f\ud44e sen \ud703
ou
\ud45f(\ud45f \u2212 2\ud44e sen \ud703) = 0
Logo a equac¸a\u2dco em coordenadas polares da circunfere\u2c6ncia e´
\ud45f = 2\ud44e sen \ud703.
(ii) Se o raio e´ igual a \ud44e e o centro em coordenadas polares e´ \ud436 = (\ud44e,\u2212\ud70b/2). Se \ud443 e´ um
ponto qualquer da circunfere\u2c6ncia, enta\u2dco
\ud44e2 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud436\ud443 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2223\u22232 + \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 \u2212 2
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u22c5
\u2212\u2192
\ud442\ud436
= \ud45f2 + \ud44e2 \u2212 2\ud45f\ud44e cos(\u2212\ud70b/2\u2212 \ud703).
Assim,
\ud45f2 = \u22122\ud45f\ud44e sen \ud703
ou
\ud45f(\ud45f + 2\ud44e sen \ud703) = 0
Logo a equac¸a\u2dco em coordenadas polares da circunfere\u2c6ncia e´
\ud45f = \u22122\ud44e sen \ud703.
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 365
Proposic¸a\u2dco 5.7. Considere uma circunfere\u2c6ncia de raio \ud44e que passa pelo polo cujo centro esta´ no eixo
polar ou na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.
(a) Se o centro esta´ no eixo polar e a` direita do polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco polar da circunfere\u2c6ncia e´
dada por
\ud45f = 2\ud44e cos \ud703
e se o centro esta´ a` esquerda do polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco polar da circunfere\u2c6ncia e´ dada por
\ud45f = \u22122\ud44e cos \ud703.
(b) Se o centro esta´ na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo e acima do polo, enta\u2dco
a equac¸a\u2dco polar e´ dada por
\ud45f = 2\ud44e sen \ud703,
e se esta´ abaixo do polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco polar da circunfere\u2c6ncia e´ dada por
\ud45f = \u22122\ud44e sen \ud703.
Exemplo 5.4. Uma circunfere\u2c6ncia cuja equac¸a\u2dco em coordenadas polares e´
\ud45f = \u22123 cos \ud703
passa pelo polo, tem raio igual a 3/2 e as coordenadas polares do seu centro sa\u2dco (3/2, \ud70b).
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
366 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
5.2.3 Equac¸o\u2dces Parame´tricas
Seja
\ud439 (\ud465, \ud466) = 0 (5.9)
a equac¸a\u2dco de uma curva plana \ud49e em coordenadas retangulares. Sejam \ud465 e \ud466 func¸o\u2dces de uma terceira
varia´vel \ud461 em um subconjunto, \u2110, do conjunto dos nu´meros reais, \u211d, ou seja,
\ud465 = \ud453(\ud461) e \ud466 = \ud454(\ud461), para todo \ud461 \u2208 \u2110. (5.10)
Se para qualquer valor da varia´vel \ud461 no conjunto \u2110, os valores de \ud465 e \ud466 determinados pelas equac¸o\u2dces
(5.10) satisfazem (5.9), enta\u2dco as equac¸o\u2dces (5.10) sa\u2dco chamadas equac¸o\u2dces parame´tricas da curva \ud49e
e a varia´vel independente \ud461 e´ chamada para\u2c6metro. Dizemos tambe´m que as equac¸o\u2dces (5.10) formam
uma representac¸a\u2dco parame´trica da curva \ud49e. A representac¸a\u2dco parame´trica de curvas tem um papel
importante no trac¸ado de curvas pelo computador.
Exemplo 5.5. Seja \ud44e um nu´mero real positivo fixo. A circunfere\u2c6ncia de equac¸a\u2dco
\ud4652 + \ud4662 = \ud44e2 (5.11)
pode ser representada parametricamente pelas equac¸o\u2dces
\ud465 = \ud44e cos \ud461 e \ud466 = \ud44e sen \ud461, para todo \ud461 \u2208 [0, 2\ud70b]. (5.12)
Pois elevando ao quadrado cada uma das equac¸o\u2dces (5.12) e somando os resultados obtemos
\ud4652 + \ud4662 = \ud44e2 cos2 \ud461+ \ud44e2 sen2 \ud461 = \ud44e2.
A circunfere\u2c6ncia definida por (5.11) pode tambe´m ser representada parametricamente por
\ud465 = \ud461 e \ud466 =
\u221a
\ud44e2 \u2212 \ud4612, para todo \ud461 \u2208 [\u2212\ud44e, \ud44e]. (5.13)
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 367
ou por
\ud465 = \ud461 e \ud466 = \u2212
\u221a
\ud44e2 \u2212 \ud4612, para todo \ud461 \u2208 [\u2212\ud44e, \ud44e]. (5.14)
Apenas que com (5.13) obtemos somente a parte de cima da circunfere\u2c6ncia e com (5.14) obtemos
somente a parte de baixo.
Exemplo 5.6. A elipse de equac¸a\u2dco
\ud4652
\ud44e2
+
\ud4662
\ud44f2
= 1 (5.15)
pode ser representada parametricamente pelas equac¸o\u2dces
\ud465 = \ud44e cos \ud461 e \ud466 = \ud44f sen \ud461, para todo \ud461 \u2208 [0, 2\ud70b]. (5.16)
Pois elevando ao quadrado e dividindo por \ud44e2 a primeira equac¸a\u2dco em (5.16), elevando ao quadrado e
dividindo por \ud44f2 a segunda equac¸a\u2dco em (5.16) e somando os resultados obtemos
\ud4652
\ud44e2
+
\ud4662
\ud44f2
= cos2 \ud461+ sen2 \ud461 = 1.
Exemplo 5.7. A hipe´rbole de equac¸a\u2dco
\ud4652
\ud44e2
\u2212 \ud466
2
\ud44f2
= 1 (5.17)
pode ser representada parametricamente pelas equac¸o\u2dces
\ud465 = \ud44e sec \ud461 e \ud466 = \ud44f tan \ud461, para todo \ud461 \u2208 [0, 2\ud70b], \ud461 \u2215= \ud70b/2, 3\ud70b/2. (5.18)
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
368 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud461
(cos \ud461, sen \ud461)
Figura 5.38: Circunfere\u2c6ncia parametrizada
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 369
x
y
\ud461
(\ud44e cos \ud461, \ud44f sen \ud461)
(\ud44f cos \ud461, \ud44f sen \ud461)
(\ud44e cos \ud461, \ud44e sen \ud461)
Figura 5.39: Elipse parametrizada
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
370 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Pois elevando ao quadrado e dividindo por \ud44e2 a primeira equac¸a\u2dco em (5.18), elevando ao quadrado e
dividindo por \ud44f2 a segunda equac¸a\u2dco em (5.18) e subtraindo os resultados obtemos
\ud4652
\ud44e2
\u2212 \ud466
2
\ud44f2
= sec2 \ud461\u2212 tan2 \ud461 = 1.
Vamos apresentar uma outra representac¸a\u2dco parame´trica da hipe´rbole. Para isso vamos definir
duas func¸o\u2dces
\ud4531(\ud461) =
\ud452\ud461 + \ud452\u2212\ud461
2
e \ud4532(\ud461) =
\ud452\ud461 \u2212 \ud452\u2212\ud461
2
. (5.19)
A hipe´rbole definida por (5.17) pode, tambe´m, ser representada parametricamente por
\ud465 = \ud44e\ud4531(\ud461) e \ud466 = \ud44f\ud4532(\ud461), para todo \ud461 \u2208 \u211d. (5.20)
Pois elevando ao quadrado e dividindo por \ud44e2 a primeira equac¸a\u2dco em (5.20), elevando ao quadrado
e dividindo por \ud44f2 a segunda equac¸a\u2dco em (5.20) e subtraindo os resultados obtemos
\ud4652
\ud44e2
\u2212 \ud466
2
\ud44f2
= (\ud4531(\ud461))
2 \u2212 (\ud4532(\ud461))2 = 1
4
(
\ud4522\ud461 + 2 + \ud452\u22122\ud461
)\u2212 1
4
(
\ud4522\ud461 \u2212 2 + \ud452\u22122\ud461) = 1. (5.21)
As func¸o\u2dces \ud4531(\ud461) e \ud4532(\ud461) definidas por (5.19) recebem o nome de cosseno hiperbo´lico e seno
hiperbo´lico, respectivamente e sa\u2dco denotadas por cosh \ud461 e senh \ud461. De (5.21) segue-se a seguinte
relac¸a\u2dco fundamental entre o cosseno e o seno hiperbo´licos
cosh2 \ud461\u2212 senh2 \ud461 = 1. (5.22)
e a representac¸a\u2dco parame´trica (5.20) pode ser escrita como
\ud465 = \ud44e cosh \ud461 e \ud466 = \ud44f senh \ud461, para todo \ud461 \u2208 \u211d.
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 371
x
y
(0, 1/2)
(0, 1)
Figura 5.40: Cosseno hiperbo´lico
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
372 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
(0,\u22121/2)
(0, 1/2)
Figura 5.41: Seno hiperbo´lico
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 373
Tambe´m
\ud465 = \u2212\ud44e cosh \ud461 e \ud466 = \ud44f senh \ud461, para todo \ud461 \u2208 \u211d. (5.23)
e´ uma representac¸a\u2dco parame´trica da hipe´rbole (5.17).