Matrizes Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes Vetores e Geometria Analitica


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7.2. Considere o mesmo sistema de coordenadas do exemplo anterior, mas agora seja
\ud443 = (\ud465, \ud466) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de \ud443 em relac¸a\u2dco ao
novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar \ud465\u2032 e \ud466\u2032 tais que
\ud465\u2032\ud4481 + \ud466\u2032\ud4482 =
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443=
\u2212\u2192
\ud442\ud443,
ou
\ud465\u2032(
\u221a
3/2, 1/2) + \ud466\u2032(\u22121/2,
\u221a
3/2) = (\ud465, \ud466)
A equac¸a\u2dco acima e´ equivalente ao sistema linear nas varia´veis \ud465\u2032 e \ud466\u2032[ \u221a
3/2 \u22121/2
1/2
\u221a
3/2
] [
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
=
[
\ud465
\ud466
]
,
ou
\ud444
[
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
=
[
\ud465
\ud466
]
em que \ud444 = [ \ud4481 \ud4482 ] com \ud4481 e \ud4482 escritos como matrizes colunas. Como \ud444\ud461\ud444 = \ud43c2, enta\u2dco as
coordenadas de \ud443 em relac¸a\u2dco ao novo sistema de coordenadas sa\u2dco dadas por
[\ud443 ]{\ud442,\ud4481,\ud4482} = \ud444
\ud461
[
\ud465
\ud466
]
=
[
\ud448 \ud4611
\ud448 \ud4612
] [
\ud465
\ud466
]
=
[ \u221a
3/2 1/2
\u22121/2 \u221a3/2
] [
\ud465
\ud466
]
=
[
(
\u221a
3\ud465+ \ud466)/2
(\u2212\ud465+\u221a3 \ud466)/2
]
.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
486 Mudanc¸a de coordenadas
x\u2018
y\u2018
x
y
\ud443
\ud465
\ud466
\ud4381
\ud4382
\ud465
\u2032
\ud4481\ud4482
\ud466
\u2032
Figura 7.3: Coordenadas de um ponto \ud443 em dois sistemas
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
7.0 Rotac¸a\u2dco e Translac¸a\u2dco 487
Exemplo 7.3. Vamos agora considerar um problema inverso a`queles apresentados nos exemplos
anteriores. Suponha que sejam va´lidas as seguintes equac¸o\u2dces{
\ud465 = 1\u221a
5
\ud465\u2032 + 2\u221a
5
\ud466\u2032
\ud466 = 2\u221a
5
\ud465\u2032 \u2212 1\u221a
5
\ud466\u2032
,
ou equivalentemente [
\ud465
\ud466
]
=
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
] [
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
entre as coordenadas
[
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
de um ponto \ud443 em relac¸a\u2dco a um sistema de coordenadas {\ud442,\ud4481, \ud4482} e
as coordenadas de \ud443 ,
[
\ud465
\ud466
]
, em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas original {\ud442,\ud4381 = (1, 0), \ud4382 =
(0, 1)}. Queremos determinar quais sa\u2dco os vetores \ud4481 e \ud4482.
Os vetores \ud4481 e \ud4482 da nova base possuem coordenadas
[
1
0
]
e
[
0
1
]
, respectivamente, em
relac¸a\u2dco ao novo sistema de coordenadas, {\ud442,\ud4481, \ud4482}. Pois, \ud4481 = 1\ud4481 + 0\ud4482 e \ud4482 = 0\ud4481 +
1\ud4482. Queremos saber quais as coordenadas destes vetores em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas
original, {\ud442,\ud4381 = (1, 0), \ud4382 = (0, 1)}. Logo,
\ud4481 =
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
] [
1
0
]
=
[
1\u221a
5
2\u221a
5
]
\ud4482 =
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
] [
0
1
]
=
[
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
]
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
488 Mudanc¸a de coordenadas
Ou seja, \ud4481 e \ud4482 sa\u2dco as colunas da matriz \ud444 =
[
1\u221a
5
2\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 1\u221a
5
]
.
7.1.1 Rotac¸a\u2dco
Suponha que o novo sistema de coordenadas {\ud442,\ud4481, \ud4482} seja obtido do sistema original
{\ud442,\ud4381 = (1, 0), \ud4382 = (0, 1)} por uma rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \ud703. Observando a Figura 7.4, obte-
mos
\ud4481 = (cos \ud703, sen \ud703)
\ud4482 = (\u2212 sen \ud703, cos \ud703)
seja \ud443 = (\ud465, \ud466) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de \ud443 em relac¸a\u2dco
ao novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar \ud465\u2032 e \ud466\u2032 tais que
\ud465\u2032\ud4481 + \ud466\u2032\ud4482 =
\u2212\u2192
\ud442\ud443 .
A equac¸a\u2dco acima e´ equivalente ao sistema linear{
(cos \ud703)\ud465\u2032 \u2212 (sen \ud703)\ud466\u2032 = \ud465
(sen \ud703)\ud465\u2032 + (cos \ud703)\ud466\u2032 = \ud466
(7.1)
ou
\ud445\ud703\ud44b = \ud443,
em que \ud445\ud703 =
[
cos \ud703 \u2212 sen \ud703
sen \ud703 cos \ud703
]
e \ud443 =
[
\ud465
\ud466
]
. A soluc¸a\u2dco e´ dada por
[
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
= \ud445\u22121\ud703 \ud443 = \ud445
\ud461
\ud703\ud443 =
[
cos \ud703 sen \ud703
\u2212 sen \ud703 cos \ud703
] [
\ud465
\ud466
]
.
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
7.0 Rotac¸a\u2dco e Translac¸a\u2dco 489
x\u2018
y\u2018
x
y
\ud4381
\ud4382
\ud4481
\ud4482
\ud703
\ud703 cos \ud703
se
n
\ud703co
s
\ud703
\u2212sen \ud703
Figura 7.4: Rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \ud703
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
490 Mudanc¸a de coordenadas
O sistema de coordenadas que aparece nos dois primeiros exemplos desta sec¸a\u2dco podem ser
obtidos por uma rotac¸a\u2dco de um a\u2c6ngulo \ud703 = \ud70b/6 em relac¸a\u2dco ao sistema original.
A matriz \ud445\ud703 e´ chamada matriz de rotac¸a\u2dco.
7.1.2 Translac¸a\u2dco
Vamos considerar, agora, o caso em que \ud442\u2032 \u2215= \ud442, ou seja, em que ocorre uma translac¸a\u2dco dos
eixos coordenados.
Observando a Figura 7.5, obtemos
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443=
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud442\u2032 . (7.2)
Assim, se
\u2212\u2192
\ud442\ud442\u2032= (\u210e, \ud458), enta\u2dco
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443= (\ud465\u2032, \ud466\u2032) = (\ud465, \ud466)\u2212 (\u210e, \ud458) = (\ud465\u2212 \u210e, \ud466 \u2212 \ud458)
Logo, as coordenadas de \ud443 em relac¸a\u2dco ao novo sistema sa\u2dco dadas por
[\ud443 ]{\ud442\u2032,\ud4381,\ud4382} =
[
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
=
[
\ud465\u2212 \u210e
\ud466 \u2212 \ud458
]
. (7.3)
O eixo x\u2032 tem equac¸a\u2dco \ud466\u2032 = 0, ou seja, \ud466 = \ud458 e o eixo y\u2032, \ud465\u2032 = 0, ou seja, \ud465 = \u210e.
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7.0 Rotac¸a\u2dco e Translac¸a\u2dco 491
x\u2018
y\u2018
x
y
\ud465
\ud443
\ud442
\ud442\u2032
\ud465\u2032
\ud466\u2032
\ud466
Figura 7.5: Coordenadas de um ponto \ud443 em dois sistemas (translac¸a\u2dco)
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
492 Mudanc¸a de coordenadas
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 646)
7.1.1. Encontre as coordenadas do ponto \ud443 com relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas \ud4ae, nos seguintes
casos:
(a) \ud4ae = {\ud442, (1/\u221a2,\u22121/\u221a2), (1/\u221a2, 1/\u221a2)} e \ud443 = (1, 3);
(b) \ud4ae = {\ud442, (1/\u221a2,\u22121/\u221a2, 0), (0, 0, 1), (1/\u221a2, 1/\u221a2, 0)} e \ud443 = (2,\u22121, 2);
7.1.2. Encontre o ponto \ud443 , se as coordenadas de \ud443 em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas \ud4ae, [\ud443 ]\ud4ae,
sa\u2dco:
(a) [\ud443 ]\ud4ae =
[
2
1
]
, em que \ud4ae = {\ud442, (\u22121/\u221a2, 1/\u221a2), (1/\u221a2, 1/\u221a2)}.
(b) [\ud443 ]\ud4ae =
\u23a1
\u23a3 \u221211
2
\u23a4
\u23a6, em que \ud4ae = {\ud442, (0, 1/\u221a2,\u22121/\u221a2), (1, 0, 0), (0, 1/\u221a2, 1/\u221a2)};
7.1.3. Sejam [\ud443 ]\u211b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 as coordenadas de um ponto \ud443 em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas
\u211b = {\ud442, \ud456\u20d7, \ud457\u20d7, \ud458\u20d7} e [\ud443 ]\ud4ae =
\u23a1
\u23a3 \ud465\u2032\ud466\u2032
\ud467\u2032
\u23a4
\u23a6, em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas \ud4ae = {\ud442,\ud4481, \ud4482, \ud4483}.
Suponha que temos a seguinte relac¸a\u2dco:
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7.0 Rotac¸a\u2dco e Translac¸a\u2dco 493
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 1 0 00 1/2 \u2212\u221a3/2
0
\u221a
3/2 1/2
\u23a4
\u23a6
\u23a1
\u23a3 \ud465\u2032\ud466\u2032
\ud467\u2032
\u23a4
\u23a6 .
Quais sa\u2dco os vetores \ud4481, \ud4482 e \ud4483?
7.1.4. Determine qual a rotac¸a\u2dco do plano em que as coordenadas do ponto \ud443 = (
\u221a
3, 1) sa\u2dco
[ \u221a
3
\u22121
]
.
Exerc\u131´cios Teo´ricos
7.1.5. Mostre que \ud445\ud7031\ud445\ud7032 = \ud445\ud7031+\ud7032 .
7.1.6. Definimos coordenadas de pontos no espac¸o em relac¸a\u2dco a um sistema de coordenadas por
um ponto \ud442\u2032 e tre\u2c6s vetores na\u2dco coplanares \ud4491, \ud4492 e \ud4493 da mesma forma como fizemos quando
os vetores sa\u2dco unita´rios e mutuamente ortogonais. As coordenadas de um ponto \ud443 no sis-
tema de coordenadas {\ud442\u2032, \ud4491, \ud4492, \ud4493} e´ definido como sendo os escalares que aparecem ao
escrevermos
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443 como combinac¸a\u2dco linear dos vetores \ud4491, \ud4492 e \ud4493, ou seja, se
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443= \ud465\u2032\ud4491 + \ud466\u2032\ud4492 + \ud467\u2032\ud4493,
enta\u2dco as coordenadas de \ud443 no sistema {\ud442\u2032, \ud4491, \ud4492, \ud4493} sa\u2dco dadas por
[\ud443 ]{\ud442\u2032,\ud4491,\ud4492,\ud4493} =
\u23a1
\u23a3 \ud465\u2032\ud466\u2032
\ud467\u2032
\u23a4
\u23a6 .
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
494 Mudanc¸a de coordenadas
Assim, se
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443= (\ud465, \ud466, \ud467), enta\u2dco \ud465\u2032\ud4491 + \ud466\u2032\ud4492 + \ud467\u2032\ud4493 =
\u2212\u2192
\ud442\u2032\ud443 pode ser escrito como
[ \ud4491 \ud4492 \ud4493 ]
\u23a1
\u23a3 \ud465\u2032\ud466\u2032
\ud467\u2032
\u23a4
\u23a6 =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6
(a) Mostre que a matriz \ud444 = [\ud4491 \ud4492 \ud4493 ] e´ invert\u131´vel.
(b) Mostre que as coordenadas de um ponto \ud443 no espac¸o em relac¸a\u2dco ao sistema
{\ud442\u2032, \ud4491, \ud4492, \ud4493} esta\u2dco bem definidas, ou seja, \ud465\u2032, \ud466\u2032 e \ud467\u2032 esta\u2dco unicamente determinados
e sa\u2dco dados por
[\ud443 ]{\ud442\u2032,\ud4491,\ud4492,\ud4493} =
\u23a1
\u23a3 \ud465\u2032\ud466\u2032
\ud467\u2032
\u23a4
\u23a6 = \ud444\u22121
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 = \ud444\u22121[\ud443 ]{\ud442\u2032 ,\u20d7\ud456,\u20d7\ud457,\u20d7\ud458}.
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7.2 Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas 495
7.2 Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas
Vamos determinar um a\u2c6ngulo \ud703 tal que uma rotac¸a\u2dco de \ud703 elimina o termo \ud465\ud466 na equac¸a\u2dco
\ud44e\ud4652 + \ud44f\ud465\ud466 + \ud450\ud4662 + \ud451\ud465+ \ud452\ud466 + \ud453 = 0 (7.4)
transformando-a em
\ud44e\u2032\ud465\u20322 + \ud450\u2032\ud466\u20322 + \ud451\u2032\ud465\u2032 + \ud452\u2032\ud466\u2032 + \ud453 \u2032 = 0. (7.5)
Ou seja, fazendo a mudanc¸a de coordenadas em (7.4) dada por[
\ud465
\ud466
]
=
[
cos \ud703 \u2212 sen \ud703
sen \ud703 cos \ud703
] [
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
(7.6)
para um a\u2c6ngulo \ud703 adequado, obtemos a equac¸a\u2dco (7.5).
A equac¸a\u2dco (7.4) pode ser escrita na forma
\ud44b \ud461\ud434\ud44b +\ud43e\ud44b + \ud453 = 0, (7.7)
em que \ud434 =
[
\ud44e \ud44f/2
\ud44f/2 \ud450
]
, \ud43e =
[
\ud451 \ud452
]
e \ud44b =
[
\ud465
\ud466
]
. Fazendo a mudanc¸a de coordenadas dada
por (7.6) (ou seja, \ud44b = \ud445\ud703\ud44b \u2032, em que \ud44b \u2032 =
[
\ud465\u2032
\ud466\u2032
]
) em (7.7) obtemos a equac¸a\u2dco
\ud44b \u2032\ud461\ud435\ud44b \u2032 +\ud43e \u2032\ud44b \u2032 + \ud453 = 0,
em que \ud435 =
[
\ud44e\u2032 \ud44f\u2032/2
\ud44f\u2032/2 \ud450\u2032
]
= \ud445\ud461\ud703\ud434\ud445\ud703 e \ud43e
\u2032 =
[
\ud451\u2032 \ud452\u2032
]