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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Lista 3 – Continuidade e Limites Especiais 1. Enunciado: Com base no gra´fico da func¸a˜o f dado ao lado, determine se f e´ cont´ınua nos pontos x = −2 e x = 3. Justifique suas respostas. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 y x bc bcb b 2. Enunciado: Com base no gra´fico da func¸a˜o f dado ao lado, determine se f e´ cont´ınua nos pontos x = −2 e x = 2. Justifique suas respostas. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y x bc 3. Considere a func¸a˜o f(x) = x2 − 2x− 3 x2 − 9 . Caso existam, determine as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f . Justifique suas respostas e obtenha a equac¸a˜o de cada ass´ıntota existente. 4. Considere a func¸a˜o f com domı´nio (−∞, pi 2 ] dada por f(x) = 2 + arctan x, x ≤ 0, 4x sen (x) , x ∈ (0, pi 2 ]. Determine se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 0, justificando sua resposta. 5. Seja f(x) = { x 2 cos(x)−1 , x 6= 0 k, x = 0 a) Se lim x→0 f(x) existir, determine o seu valor. b) E´ poss´ıvel definir k de tal forma que a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua em x = 0? Justifique. 6. A func¸a˜o f definida abaixo e´ cont´ınua em x = 0? Justifique a resposta. f(x) = √ 5x4 + 2 , x > 0 cos ( x+ pi 4 ) , x < 0 7. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = x3 + 2x2 + 3x+ 6 x+ 2 x < −2 k x = −2 14 2− √ 2+x x > −2 Existe um valor para a constante k que torne a func¸a˜o f cont´ınua em −2? Justifique. 8. Seja f(x) = ex arctanx . Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais e verticais. Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada uma delas. 9. Determine se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando as respostas. a) ( ) Se existe o limite lim x→a f(x) enta˜o a func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = a. b) ( ) A func¸a˜o f(x) = sen x |x| na˜o tem limite em x = 0. c) ( ) A func¸a˜o f(x) = 1 1− 2 sen x e´ descont´ınua em x = pi 6 . d) ( ) lim x→−∞ √ x2 + 1 7x− 19 = 1 7 . 10. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = √ 1 + 3 x2 x > 0 √ (x4 − 3x) − x2 x ≤ 0 O gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais? Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada ass´ıntota horizontal encontrada. Justifique suas respostas. 11. Seja f(x) = arctan |x| x− 1. O gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais? Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada ass´ıntota horizontal encontrada. Fac¸a o mesmo para as verticais. 12. Decida se cada uma das equac¸o˜es abaixo possui soluc¸a˜o real, justificando a sua resposta. a) sen (x) + cos(x) = 2 b) sen (x) + cos(x) = 4/3 c) (desafio) log2(x 2 + 3) = √ x Respostas 1. Na˜o e´ cont´ınua em x = −2, pois o limite lim x→−2− f(x) = 2 6= lim x→−2+ f(x) = 0. E´ cont´ınua em x = 3 pois lim x→3 f(x) = 1 = f(3). 2. Na˜o e´ cont´ınua em x = −2, pois −2 6∈ Dom(f). E´ cont´ınua em x = 2 pois lim x→2 f(x) = f(2). 3. Existe uma ass´ıntota vertical em x = −3, porque o denominador tende a zero mas o numerador na˜o. Nos demais pontos na˜o ha´ ass´ıntota pois a func¸a˜o tem limite finito em cada ponto (e uma discontinuidade remov´ıvel em x = 3). 4. Na˜o pois, lim x→0− f(x) = 2 6= 4 = lim x→0+ f(x). 5. Como lim x→0 f(x) = 2 basta escolher k = 2 para ter continuidade. Dica: no ca´lculo do limite use 2 sen 2(x 2 ) = 1− cos(x). 6. Na˜o, pois lim x→0− f(x) = √ 2 2 6= √ 2 = lim x→0+ f(x). 7. lim x→−2 f(x) = 7 logo f sera´ cont´ınua em x = −2 se k = 7. 8. Como ex e arctan(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em toda a reta temos f cont´ınua em toda a reta como produto de func¸o˜es cont´ınuas. Pela continuidade na˜o existem ass´ıntotas verticais, e fazendo o limite no infinito temos: lim x→−∞ f(x) = 0 e lim x→+∞ f(x) = +∞ portanto y = 0 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal. 9. a)F, o ponto a poderia na˜o pertencer ao domı´nio; b)V, o limite a` direita e´ +1 e a` esquerda e´ −1, logo na˜o ha´ limite bilateral; c)V, sen (pi/6) = 1/2 que anula o denominador, logo na˜o esta´ no domı´nio de f ; d)F, o limite vale −1/7. 10. Sim, lim x→−∞ f(x) = 0 e lim x→+∞ f(x) = 1 portanto y = 0 e y = 1 sa˜o as u´nicas ass´ıntotas horizontais. 11. Sim, lim x→−∞ arctan ( |x| x− 1 ) = −pi 4 e lim x→+∞ arctan ( |x| x− 1 ) = pi 4 portanto y = −pi 4 e y = pi 4 sa˜o as u´nicas ass´ıntotas horizontais.Na˜o existem ass´ıntotats verticais pois no u´nico ponto onde f poderia na˜o ser cont´ınua os limites laterais na˜o sa˜o infinitos: lim x→−1 arctan ( |x| x− 1 ) = −pi 2 e lim x→+1 arctan ( |x| x− 1 ) = pi 2 . 12. a) Na˜o ha´ soluc¸a˜o real pois as duas func¸o˜es sa˜o menores ou iguais a 1 e para oter 2 ambam teriam que valer 1 ao mesmo tempo; b) Ha´ soluc¸a˜o, usando o teorema do valor intermedia´rio, entre x = 0 e x = pi 4 ; c) Ha´ soluc¸a˜o, usando o teorema do valor intermedia´rio, entre x = 1 e x = 210.
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