Lista 6 Aplicações de Derivada

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 6 – Aplicac¸o˜es de Derivadas
1. Seja f(x) = (x2−6x+9) ex . Determine os intervalos nos quais f e´ crescente, aqueles nos quais
e´ decrescente e, se existirem, os extremos relativos de f .
2. Dada a func¸a˜o
f(x) =
ex
(x− 4)2
determine os intervalos onde o gra´fico de f e´ crescente e aqueles nos quais o gra´fico de f e´
decrescente.
3. Esboce o gra´fico de f(x) =
x2
x2 − 4, indicando seus principais elementos, ra´ızes, crescimento,
concavidade, inflexa˜o, extremos, ass´ıntotas, etc.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
4. Seja f(x) = ln(4x2 + 1).
a) Calcule f ′(x).
b) Determine o(s) ponto(s) cr´ıtico(s) de f(x).
c) Determine o(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ crescente e tambe´m o(s) intervalo(s) onde
o gra´fico de f e´ decrescente.
d) Encontre os pontos de ma´ximo e/ou mı´nimo relativos (locais), caso existam.
e) Calcule f ′′(x), determine o(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima, o(s)
intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo e, caso exista(m), o(s) ponto(s) de
inflexa˜o.
f) Na grade abaixo, esboce o gra´fico de f usando os resultados dados e os resultados obtidos
nesta questa˜o. (assuma ln(2) = 0.7)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
5. Ao lado, temos o gra´fico da DERIVADA f ′ de uma func¸a˜o f, definida e cont´ınua no intervalo
[−1, 10].
Justificando sempre suas respos-
tas, determine se cada afirmac¸a˜o
e´ verdadeira (V) ou falsa (F):
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
Gra´fico de f ′
b
b
a) ( ) f e´ crescente no intervalo (3, 5) .
b) ( ) x = 2 e´ ponto de mı´nimo relativo de f.
c) ( ) A reta T , tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f(0)), tem coeficiente angular mT > 1.
d) ( ) Q = (4, f(4)) e´ ponto de inflexa˜o de f.
e) ( ) O gra´fico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo [−1, 2].
6. Considere a func¸a˜o g(x) = ln (x2 − 2x+ 3) .
a) Determine os intervalos nos quais g e´ crescente e aqueles nos quais e´ decrescente.
b) Com base no item a), determine os ma´ximos e os mı´nimos relativos de g, caso existam.
c) Com base nos itens anteriores, identifique, entre as opc¸o˜es abaixo, os gra´ficos de g e g′.
O gra´fico de g e´ o da figura .... abaixo e o gra´fico de g′ e´ o da figura .... abaixo.
1 2−1−2
y
x
Figura A
1 2−1−2
y
x
Figura B
1 2−1−2
y
x
Figura C
7. Seja f(x) =
x3
4x− 8 .
a) Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais e verticais. Em caso afirmativo,
determine a equac¸a˜o de cada uma delas.
b) Determine os intervalos nos quais f e´ crescente, aqueles nos quais e´ decrescente e, se
existirem, os extremos relativos de f .
c) Usando a tabela ao lado, determine os in-
tervalos nos quais a concavidade do gra´fico de f
e´ voltada para cima, aqueles nos quais a conca-
vidade e´ para baixo e, se existirem, os pontos de
inflexa˜o do gra´fico de f.
intervalo sinal f ′′
x < 0 +
0 < x < 2 −
2 < x +
d) Usando as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
8. Na grade abaixo, esboce o gra´fico de UMA func¸a˜o f que satisfac¸a a TODAS as condic¸o˜es a
seguir
a) f ′(x)< 0 para todo x ∈ (0,+∞);
b) f ′(x)> 0 para todo x ∈ (−∞,−2) e x ∈ (−2, 0);
c) f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (−2, 3);
d) f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (−∞,−2) e x ∈ (3,+∞);
e) lim
x→±∞
f(x) = −1;
f) f(0) = 5 e −2 6∈ Dom(f).
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
9. Uma armac¸a˜o de arame, que consiste em dois quadrados ideˆnticos cujos ve´rtices sa˜o ligados
por quatro fios retos de mesmo comprimento (veja figura), delimita um volume de 1000cm3.
Determine as dimenso˜es da armac¸a˜o que utiliza a menor quantidade de arame na sua construc¸a˜o.
10. Considere a func¸a˜o f(x) =
−x
x2 + 1
definida nos reais. Determine o valor de x onde a inclinac¸a˜o
da reta tangente a f(x) e´ mı´nima.
11. Considere a func¸a˜o polinomial definida por f(x) = x3 + x2 + kx− 1.
a) Determine o valor de k para que f tenha um u´nico ponto cr´ıtico.
b) Com o valor de k determinado em a), verifique se esse u´nico ponto cr´ıtico e´ de ma´ximo local,
de mı´nimo local ou de inflexa˜o.
c) Determine os valores ma´ximo e mı´nimo globais (absolutos) de f no intervalo [−2, 1].
12. Quais os extremos absolutos da func¸a˜o g(x) = x− 2 sen x, no intervalo 0 ≤ x ≤ pi?
13. Um retaˆngulo R e´ inscrito em um triaˆngulo retaˆngulo de lados 6 cm e 8 cm.
Qual deve ser a medida dos lados do retaˆngulo para que a sua
a´rea seja a maior poss´ıvel? Qual o valor da a´rea ma´xima? OBS:
Especifique o domı´nio da func¸a˜o obtida.
6
8
R
14. Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo absolutos da func¸a˜o
f(x) = arctan(x2 − 2x), no intervalo I = [0, 2].
15. Para uma festa de aniversa´rio, os confeitos de chocolate devem ser colocados em uma caixa
retangular de vidro, sem tampa, de base quadrada, com a capacidade de 500 cm3. Encontre as
dimenso˜es da caixa que pode ser constru´ıda usando a menor quantidade de vidro.
16. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma
cerca reforc¸ada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto que o lado restantes recebem uma cerca
padra˜o de R$ 2,00 o metro. Quais sa˜o as dimenso˜es do terreno de maior a´rea que pode ser
cercado com R$ 6.000,00 ?
17. Um pedac¸o de arame medindo 100 cm e´ dividido em duas pec¸as e cada uma e´ dobrada para
formar um quadrado. Determine o comprimento de cada lado de cada quadrado de forma que
a soma das suas a´reas seja mı´nima.
Respostas
1. A derivada e´ f ′(x) = (x2 − 4x+ 3)ex. E´ crescente no (−∞, 1]∪ [3,+∞) e decrescente no [1, 3].
O ponto x = 1 e´ de ma´ximo e vale 4e. O ponto x = 3 e´ de mı´nimo e vale 0.
2. A derivada e´ f ′(x) = (x−6)e
x
(x−4)3
. E´ crescente no (−∞, 4) ∪ [6,+∞) e decrescente no (4, 6].
3. As derivadas sa˜o f ′(x) = −8x
(x2−4)2
e f ′′(x) = 8(3x
2+4)
(x2−4)3
. Os dados do gra´fico sa˜o:
ra´ız: x = 0
crescente:(−∞,−2) ∪ (−2, 0]
decrescente:[0, 2) ∪ (2,+∞]
ponto de ma´ximo relativo: x = 0
assint. vert.: x = ±2
assint. horiz. y = 1
concav. p. baixo:(−2, 2)
concav. p. cima: (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
4. A derivada e´ f ′(x) = 8x
(4x2+1)
. Os dados do gra´fico sa˜o:
ponto cr´ıtico: x = 0
crescente:[0,+∞)
decrescente:(−∞, 0]
ponto de mı´nimo relativo: x = 0
derivada segunda: f ′′(x) = 8−32x
2
(4x2+1)2
concav. p. cima:(−1/2, 1/2)
concav. p. baixo: (−∞,−1/2) ∪ (1/2,+∞)
ponto de inflexa˜o:(−1/2, ln(2)) e (1/2, ln(2))
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
5.
a) V, pois f ′ e´ positiva neste intervalo;
b) F, pois f ′ e´ negativo, pra ser mı´nimo deveria ter derivada zero;
c) V, pois mtg = f
′(0) = 2;
d) V, pois f ′ e´ crescente antes de x = 4 (CPC) e decrescente depois (CPB), ale´m disso x = 4
esta´ no domı´nio;
e) F, pois a derivada e´ decrescente, o que implica CPB neste intervalo.
6.
a) g′(x) = 2x−2
(x2−2x+3)
, crescente:[1,+∞) e decrescente:(−∞, 1]
b) x = 1 e´ um mı´nimo absoluto e o valor e´ ln 2
c) Figura B) e´ (g) e Figura C e´ (g′).
7.
a) Assint. Horizontais: na˜o possui. Assint. Verticais:x = 2;
b) decrescente:(−∞, 0] ∪ [0, 2)∪ (2, 3], crescente:[3,+∞), x = 3 e´ um mı´nimo relativo e o valor
e´ f(3) = 24/7;
c) concav. p. baixo:(0, 2), concav. p. cima: (−∞, 0) ∪ (2,+∞) logo (0, 0) e´ o u´nico ponto de
inflexa˜o do gra´fico (x = 2 na˜o esta´ no domı´nio);
d)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-10
-9
-8
-7-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x
8.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 y
x
9. Q =quantidade de arame=8x + 4y. Vol=yx2 = 1000 logo y = 1000
x2
. Assim, Q(x) = 8x + 4000
x2
com domı´nio x > 0. Mı´nimo: x = 10 e y = 10. Valor: Q = 120.
10. A derivada vale f ′(x) = x
2
−1
(x2+1)2
. O mı´nimo em x = 0 vale -1.
11.
a) k = 1/3;
b) x = −1/3 e´ apenas inflexa˜o em (−1/3,−28/27);
c) x = −2 e´ mı´nimo, valor mı´nimo −17/3 e x = 1 e´ ma´ximo, valor ma´ximo 4/3.
12.
a) x = pi/3 e´ mı´nimo, valor mı´nimo pi/3−
√
3;
b) x = pi e´ ma´ximo, valor ma´ximo pi.
13. Por semelhanc¸a de triaˆngulos y
8
= 6−x
6
, logo y = 4
3
(6− x), onde x e´ a base do retaˆngulo e y e´ a
altura. A func¸a˜o a´rea fica A(x) = xy = 4
3
x(6 − x). O ma´ximo ocorre para x = 3 e y = 4. O
valor da a´rea ma´xima e´ A = 12.
14.
a) x = 1 e´ mı´nimo, valor mı´nimo −pi/4;
b) x = 0, 2 sa˜o ma´ximos, valor ma´ximo 0.
15. Sejam x e y as dimenso˜es da base e a altura. xy2 = 500, A = x2 + 4xy logo A(x) = x2 + 2000
x
,
com domı´nio x > 0. O mı´nimo e´ x = 10cm e a a´rea mı´nima e´ A = 300cm2.
16. Sejam x e y as dimenso˜es que custam 3 e 2 reais, respectivamente. 3(2x) + 2(2y) = 6000, logo
A(x) = xy = 3x(100−x)
2
, com domı´nio x ∈ [0, 1000]. O ma´ximo ocorre em x = 500m e y = 750m.
17. Sejam x e y as dimenso˜es dos lados dos quadrados, respectivamente. 4x + 4y = 100, logo a
soma das a´reas e´ S(x) = x2 + y2 = x2 + (25 − x)2, com domı´nio x ∈ [0, 25]. O mı´nimo ocorre
em x = 25/2cm e y = 25/2cm. A a´rea mı´nima e´ 625
2
cm2.