Parte 4 - Sistemas de Numeração (PUC)

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Prof. Edson J. R. Justino
Prof. Claudio Carvilhe
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Pontifícia Universidade Católica do Paraná - PUCPR
Sistema de Numeração
� O sistema de numeração foi criado para 
controlar as quantidades dos seus 
diversos objetos
� Sistema de numeração é o conjunto de 
símbolos, palavras e regras que nos 
permite escreve e dar nomes a todos os 
números
Tipos de Sistemas de 
Numeração
� Sistemas não Posicionais
� São sistemas cujos símbolos possuem um 
valor associado, que independe da sua 
posição dentro do número
○ Ex. Sistema romano (I, V, X)
� III, VI, IV, IX, X
Tipos de Sistemas de 
Numeração
� Sistemas Posicionais
� São sistemas que possuem dois valores 
associados ao símbolo:
○ Valor Intrínseco – é o valor associado ao símbolo, 
independente de sua posição no número
○ Valor de Posição – é um valor associado a um símbolo, 
que varia de acordo com sua posição no número
� Ex. O símbolo 5 possui valor intrínseco 5, mas no número 
555, vamos ter:
555
5
50
500
Base de um Sistema de Numeração
� Base de um sistema de numeração é a 
quantidade de símbolos utilizados para 
representar as quantidades desse 
sistema
� Exemplos:
� O sistema decimal usa dez símbolos para 
representar seu sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9. Por isso dizemos que o sistema 
decimal possui base 10
� O sistema octal utiliza os símbolos 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6 e 7. Por isso sua base é 8
Base de um Sistema de Numeração
� A base de um sistema de numeração é
indicada por um valor entre parênteses 
logo após o número e logo abaixo
Ex. 1024 2047
(10) (8)
Base de um Sistema de Numeração
� O valor da posição é atribuído ao algarismo da 
seguinte maneira:
� As posições são numeradas da direta para a esquerda 
iniciando pelo zero
○ Ex. 3 2 1 0 <- número da posição
1 2 3 8
� O valor de posição é dado pela multiplicação do valor 
intrínseco do símbolo, pela base elevada ao número da 
posição
○ Ex. 3 2 1 0 <- número da posição
1 2 3 8
8 x 100 = 8 x 1 = 8
valor intrínseco base valor de posição
Valor Numérico de um Sistema de 
Numeração
� O valor numérico de um sistema de numeração é
a somatória dos valores de posição dos 
algarismos que compõem um número 
� Ex. 3 2 1 0
6 2 8 4
(10)
4 x 100 = 4 x 1 = 4
8 x 101 = 8 x 10 = 80
2 x 102 = 2 x 100 = 200
6 x 103 = 6 x 1000 = 6000
6284 
(10)
Sistema de Numeração de 
Interesse em Computação
� Sistema Decimal (Base 10)
� Possui os seguintes símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
� O valor numérico de um número no sistema decimal é o 
seguinte
3 2 1 0
7 1 2 8
(10)
8 x 100 = 8 x 1 = 8
2 x 101 = 2 x 10 = 20
1 x 102 = 1 x 100 = 100
7 x 103 = 7 x 1000 = 7000
7128
(10)
Sistema de Numeração de 
Interesse em Computação
� Sistema Octal (Base 8)
� Possui os seguintes símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
� O valor numérico de um número no sistema octal é
o seguinte
3 2 1 0
3 1 2 7
(8)
7 x 80 = 7 x 1 = 7
2 x 81 = 2 x 8 = 16
1 x 82 = 1 x 64 = 64
3 x 83 = 3 x 512 = 1536
Sistema de Numeração de 
Interesse em Computação
� Sistema Binário (Base 2)
� Possui os seguintes símbolos 0 e 1
� O valor numérico de um número no sistema binário é o seguinte
6 5 4 3 2 1 0
1 0 1 1 0 0 1
(2)
1 x 20 = 1 x 1 = 1
0 x 21 = 0 x 2 = 0
0 x 22 = 0 x 4 = 0
1 x 23 = 1 x 8 = 8
1 x 24 = 1 x 16 = 16 
0 x 25 = 0 x 32 = 0
1 x 26 = 1 x 64 = 64
89
(10)
Sistema de Numeração de 
Interesse em Computação
� Sistema Hexadecimal (Base 16)
� Possui os seguintes símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E e F ( sendo A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, 
F=15) 
� O valor numérico de um número no sistema hexadecimal é o 
seguinte
2 1 0
7 E F
(16)
15 x 160 = 15 x 1 = 15
14 x 161 = 14 x 16 = 224
7 x 162 = 7 x 256 = 1792
2031
(10)
Conversão de Sistemas
(Mudança de Base)
� Conversão de qualquer sistema para o 
sistema decimal
� Afim de converter para o sistema decimal 
números de qualquer outro sistema, basta 
calcular a somatória dos valores de posição 
dos algoritmos que compõem esse número
Exercícios
� Converter para base decimal os 
seguintes números:
A) 100010(2)
B) CAFE(16)
C) 3126(8)
D) 1010011(8)
E) 3128(16)
F) 6144(8)
G) 1001101(2)
Conversão do Sistema Decimal 
para Qualquer Base
� Para converter um número no sistema 
decimal, parra qualquer outra sistema, 
utilizamos o método de divisões 
sucessivas pela base. Nesse método 
são marcados os restos de cada divisão 
e o número desejado é composto pelos 
restos de cada divisão, só que lido no 
sentido inverso da ordem em que 
ocorreram essas divisões
Conversão do Sistema Decimal 
para o Sistema Binário
� Ex.
� 43(10) 101011(2)
43|2
1 21|2
1 10|2
0 5|2
1 2|2
0 1|2
1 0
Exercícios
Converter os decimais em 
binário
a) 512
b) 387
c) 63
Conversão do Sistema Decimal 
para o Sistema Octal
� Ex.
� 136(10) 210(8)
136|8
0 17|8
1 2|8
2 0
Exercícios
Converter os decimais em 
octal
a) 1236
b) 184
c) 128
Conversão do Sistema Decimal 
para o Sistema Hexadecimal
� Ex.
� 1001(10) 3E9(16)
1001|16
9 62|16
14 3|16
3 0
Exercícios
Converter os decimais em 
hexadecimal
a) 2356
b) 5614
c) 512
E = 
Conversão do Sistema Binário 
para o Sistema Hexadecimal
� Para converter um número binário em 
hexadecimal, tomamos o número binário, 
separamos da direita para a esquerda em grupos 
de quatro dígitos, calculamos o valor em decimal 
para esses grupos e os substituímos pelo seu 
correspondente valor em hexadecimal
� Ex.
101110011100(10) B9C(16)
1011|1001|1100
11 9 12
B 9 C
Exercícios
Converter os binários em 
hexadecimal
a) 10011111000001
b) 110000110101
c) 101000
Conversão do Sistema 
Hexadecimal para o Sistema 
Binário
� Para converter um número hexadecimal em binário, 
devemos substituir cada símbolo hexadecimal por quatro 
(sempre quatro) símbolos correspondentes em binário
� Ex.
B1A6(16) 1011000110100110(2)
B 1 A 6
1011 0001 1010 0110
Exercícios
Converter os hexadecimal
em binários 
a) C0CA
b) B1FE
c) 102
Conversão do Sistema Binário 
para o Sistema Octal
� Para converter um número binário em octal, tomamos o 
valor em binário, separamos da direita para a esquerda 
em grupos de três dígitos e calculamos o valor em 
decimal desses grupos, que é o mesmo valor 
correspondente em octal
� Ex.
101110010(2) 562(8)
101|110|010
5 6 2
Exercícios
Converter os binários em 
octal
a) 1001011111
b) 110000110101
c) 101000
Conversão do Sistema Octal
para o Sistema Binário
� Para converter um número octal em binário, substituímos 
cada algarismo do número octal por grupos de três 
(sempre três) algarismos correspondentes em binário
� Ex.
562(8) 101110010(2)
5 6 2 
101|110|010
Exercícios
Converter os octal em 
binários
a) 302
b) 4163
c) 3502
Tabela de Equivalência entre 
Sistemas
DecimalDecimal BinBinááriorio OctalOctal HexadecimalHexadecimal
00 00000000 00 00
11 00010001 11 11
22 00100010 22 22
33 00110011 33 33
44 01000100 44 44
55 01010101 55 55
66 01100110 66 66
77 01110111 77 77
88 10001000 1010 88
99 10011001 1111 99
1010 10101010 1212 AA
1111 10111011 1313 BB
1212 11001100 1414 CC
1313 11011101 1515 DD
1414 11101110 1616 EE
1515 11111111 1717 FF