Exercícios de Estrutura Algébrica

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UNINTER - Centro Universita´rio Internacional
Escola Superior de Educac¸a˜o
Curso de Licenciatura em Matema´tica
Professor Marcos Teixeira Alves
Gabarito da Lista 1 de Exerc´ıcios - Estruturas Alge´bricas
Exerc´ıcio 1. Neste primeiro exerc´ıcio, relembre a definic¸a˜o de anel. Para isso, considere
um conjunto A 6= ∅ com duas operac¸o˜es: adic¸a˜o, denotada pelo s´ımbolo +, e multiplicac¸a˜o,
denotada por ·. Quais axiomas os elementos do conjunto A devem satisfazer para que (A,+, ·)
seja um anel?
Soluc¸a˜o: Dizemos que (A,+, ·) e´ um anel quando os seis axiomas abaixo sa˜o satisfeitos para
todos os elementos a, b, c ∈ A:
Axioma 1: (Comutatividade da adic¸a˜o) a + b = b + a;
Axioma 2: (Associatividade da adic¸a˜o) (a + b) + c = a + (b + c);
Axioma 3: (Elemento neutro da adic¸a˜o) Existe 0A ∈ A tal que a + 0A = 0A + a = a;
Axioma 4: (Elemento oposto ou sime´trico) Existe −a ∈ A tal que (−a)+a = a+(−a) = 0A;
Axioma 5: (Associatividade da multiplicac¸a˜o) a · (b · c) = (a · b) · c;
Axioma 6: (Distributividade da multiplicac¸a˜o com relac¸a˜o a` adic¸a˜o)
a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c.
Exerc´ıcio 2. Seja N o conjunto dos nu´meros naturais, isto e´, N = {0, 1, 2, 3, . . . }. Neste
conjunto, considere as operac¸o˜es de adic¸a˜o + e multiplicac¸a˜o · usuais. O conjunto (N,+, ·) e´
um anel? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: Vamos verificar se (N,+, ·) satisfaz os seis axiomas de anel descritos no Exerc´ıcio 1.
Dados a, b, c ∈ N, sabemos que a + b = b + a e a + (b + c) = (a + b) + c. Logo, os Axiomas 1
e 2 sa˜o satisfeitos. Ale´m disso, o nu´mero natural 0 (zero) e´ o elemento neutro da adic¸a˜o, pois
a + 0 = 0 + a = a para todo a ∈ N. Com isso, o Axioma 3 tambe´m e´ satisfeito. Passamos
agora para o Axioma 4 : todo nu´mero natural a possui elemento sime´trico em N? Ou, em
outras palavras, existe um elemento x ∈ N tal que a + x = 0? A resposta e´ na˜o! Vamos dar
um exemplo: considere o nu´mero natural 1. Se x e´ o sime´trico de 1, enta˜o x satisfaz x+ 1 = 0.
Agora, observe que esta equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o no conjunto do nu´meros naturais. Isso mostra
que 1 na˜o tem sime´trico em N e, assim, o Axioma 4 na˜o e´ satisfeito.
Portanto, (N,+, ·) na˜o e´ anel.
Exerc´ıcio 3. Os conjuntos (Z,+, ·), (Q,+, ·) e (R,+, ·), em que + e · representam as operac¸o˜es
usuais destes conjuntos, possuem a estrutura de anel? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: Vamos justificar que (Z,+, ·) e´ um anel. Considere a, b, c ∈ Z. Pela adic¸a˜o ser usual,
sabemos que a + b = b + a e a + (b + c) = (a + b) + c. Desse modo, os Axiomas 1 e 2 sa˜o
satisfeitos. O nu´mero 0 (zero) e´ o elemento neutro da adic¸a˜o, pois a + 0 = 0 + a = 0. Com
isso, o Axioma 3 tambe´m e´ satisfeito. O elemento sime´trico do nu´mero inteiro a e´ −a ∈ Z, ja´
que a + (−a) = 0. O Axioma 4 e´ enta˜o va´lido. Agora, pelo fato da multiplicac¸a˜o ser tambe´m
a usual, garantimos que
(a · b) · c = (a · b) · c, a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c.
Logo, os Axiomas 5 e 6 sa˜o satisfeitos. Portanto, (Z,+, ·) e´ um anel.
1
A verificac¸a˜o que (Q,+, ·) e (R,+, ·) sa˜o ane´is segue o mesmo racioc´ınio aplicado para o
conjunto dos nu´meros inteiros Z.
Exerc´ıcio 4. No conjunto dos nu´meros inteiros Z, defina as operac¸o˜es:
a ∗ b = a− b e a4b = ab para todos a, b ∈ Z.
Verifique se (Z, ∗,4) e´ um anel.
Soluc¸a˜o: Acompanhe a resoluc¸a˜o pelo link abaixo (clique em Exerc´ıcio 4 - Lista 1):
Exerc´ıcio 4 - Lista 1 - Canal Youtube de Estruturas Alge´bricas
Exerc´ıcio 5. No conjunto dos nu´meros inteiros Z, defina as operac¸o˜es:
a ∗ b = a + b e a4b = 0 para todos a, b ∈ Z.
Verifique se (Z, ∗,4) e´ um anel.
Soluc¸a˜o: Devemos verificar se os seis axiomas de anel sa˜o satisfeitos para o conjunto (Z, ∗,4),
onde ∗ e´ a operac¸a˜o de adic¸a˜o e 4 e´ a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o. Para isso, vamos considerar
treˆs nu´meros inteiros quaisquer representados pelas letras a, b e c. Pela definic¸a˜o de ∗, temos
a ∗ b = a + b e b ∗ a = b + a. Sabemos que a soma + e´ comutativa no conjunto Z. Assim,
a+ b = b+ a, o que mostra que a ∗ b = b ∗ a. Logo, a operac¸a˜o ∗ e´ comutativa e o Axioma 1 e´
satisfeito.
Passamos para o Axioma 2. Observamos que
a ∗ (b ∗ c) = a + (b ∗ c) = a + (b + c) e (a ∗ b) ∗ c = (a + b) ∗ c = (a + b) + c.
Sabemos que a+ (b+ c) = (a+ b) + c. Assim, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c e a operac¸a˜o de adic¸a˜o ∗ e´
associativa. O Axioma 2 e´ satisfeito.
Vamos determinar o elemento neutro da operac¸a˜o ∗. Seja x este elemento. Enta˜o, devemos
ter a ∗ x = a, isto e´, a + x = a. Resolvendo esta equac¸a˜o, encontramos x = 0. Logo, 0 e´ o
elemento neutro, pois a ∗ 0 = a + 0 = a. Isso mostra a validade do Axioma 3.
Procuramos agora o elemento sime´trico do nu´mero inteiro a. Vamos chamar de a¯ este
elemento. Enta˜o,
a ∗ a¯ = 0 =⇒ a + a¯ = 0 =⇒ a¯ = −a.
Logo, −a ∈ Z e´ o elemento sime´trico de a, pois (−a) ∗ a = (−a) + a = 0. O Axioma 4 e´
satisfeito.
Agora, vamos verificar se operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o 4 e´ associativa. Para isso, usando
a definic¸a˜o da operac¸a˜o 4, notamos que a4(b4c) = a40 = 0. Por outro lado, vemos que
(a4b)4c = 04c = 0. Logo, a4(b4c) = (a4b)4c e o Axioma 5 e´ va´lido.
Finalmente, vamos verificar o Axioma 6. Observamos que a4(b ∗ c) = a4(b + c) = 0. Por
outro lado, a4b∗a4c = 0∗0 = 0 + 0 = 0. Logo, a4(b∗ c) = a4b∗a4c. Usando um racioc´ınio
semelhante, verifica-se que (a ∗ b)4c = a4c ∗ b4c. Disto, garantimos a validade do Axioma 6.
Portanto, (Z, ∗,4) e´ um anel.
Exerc´ıcio 6. Seja A = {e, a} um conjunto com dois elementos com as operac¸o˜es + e · definidas
pelas tabelas abaixo:
+ e a
e e a
a a e
· e a
e e e
a e a
2
Por exemplo, para calcularmos a + e, procuramos na tabela da adic¸a˜o +, o elemento que
encontra-se na linha de a e na coluna de e, nesta ordem. Assim, a + e = a.
a) Calcule a + a, e + a e e + e.
b) E´ verdade que a + (e + a) = (a + e) + a?
c) Calcule a · e, a · a, e · a e e · e.
d) Determine o resultado de e · (a + e).
e) Qual o elemento neutro da adic¸a˜o do conjunto A?
f) Qual o sime´trico do elemento a? E do elemento e?
g) A operac¸a˜o + e´ comutativa?
h) O conjunto (A,+, ·) e´ um anel?
Soluc¸a˜o: Acompanhe a resoluc¸a˜o pelos links abaixo (clique em Exerc´ıcio 6 - Parte I - Lista
1 e em Exerc´ıcio 6 - Parte II - Lista 1):
Exerc´ıcio 6 - Parte I - Lista 1 - Canal Youtube de Estruturas Alge´bricas
e
Exerc´ıcio 6 - Parte II - Lista 1 - Canal Youtube de Estruturas Alge´bricas
Exerc´ıcio 7. Quando um anel e´ chamado comutativo? Os ane´is nume´ricos (Z,+, ·), (Q,+, ·)
e (R,+, ·) sa˜o comutativos? Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Um anel (A,+, ·) e´ chamado comutativo quando satisfaz o
Axioma 7: (Comutatividade da multiplicac¸a˜o) a · b = b · a para todos a, b ∈ A.
Considere o anel (Z,+, ·). Sendo a operac¸a˜o · de multiplicac¸a˜o usual em Z, garantimos
que a · b = b · a para todos nu´meros inteiros a e b. Assim, o Axioma 7 e´ satisfeito e (Z,+, ·)
e´ um anel comutativo. Com o mesmo racioc´ınio, verifica-se que (Q,+, ·) e (R,+, ·) sa˜o ane´is
comutativos.
Exerc´ıcio 8. Seja M2(Z) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras,
isto e´,
M2(Z) =
{
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
; a11, a12, a21, a22 ∈ Z
}
.
Por exemplos, a matriz B =
[
0 −1
3 7
]
pertence a M2(Z), enquanto que C =
[
2 −4
1/2 0
]
na˜o
pertence a M2(Z), pois 1/2 /∈ Z.
Considere em M2(Z) as operac¸o˜es de adic¸a˜o + e multiplicac¸a˜o · de matrizes usuais. Prove
que (M2(Z),+, ·) e´ um anel. E´ correto afirmar que (M2(Z),+, ·) e´ comutativo.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, verificaremos que (M2(Z),+, ·) e´ um anel. Vamos considerar as matrizes
A,B,C ∈M2(Z). Denotamos por
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, B =
[
b11 b12
b21 b22
]
e C =
[
c11 c12
c21 c22
]
,
3
onde todas as entradas sa˜o nu´meros inteiros. Pela definic¸a˜o da soma de matrizes,temos
A + B =
[
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
]
=
[
b11 + a11 b12 + a12
b21 + a21 b22 + a22
]
= B + A,
ja´ que aij + bij = bij + aij para todos 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2. Como A + B = B + A, o Axioma
1 e´ satisfeito.
Para verificar o Axioma 2, percebemos que (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) para todos
1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2 (pois a adic¸a˜o usual e´ associativa em Z). Da´ı, (A+B)+C = A+(B+C),
o que mostra que Axioma 2 e´ va´lido.
O elemento neutro e´ matriz nula O =
[
0 0
0 0
]
, uma vez que A + O = A. Logo, o Axioma
3 e´ satisfeito.
Dada a matriz A = [aij]2×2, o elemento sime´trico de A e´ matriz oposta−A =
[ −a11 −a12
−a21 −a22
]
,
pois A + (−A) = O. Isso mostra que o Axioma 4 e´ satisfeito.
Vamos verificar agora o Axioma 5. Pela definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o de matrizes, temos
A·(B·C) =
[
a11 a12
a21 a22
]
·
([
b11 b12
b21 b22
]
·
[
c11 c12
c21 c22
])
=
[
a11 a12
a21 a22
]
·
[
b11c11 + b12c21 b11c12 + b12c22
b21c11 + b22c21 b21c12 + b22c22
]
=
[
a11(b11c11 + b12c21) + a12(b21c11 + b22c21) a11(b11c12 + b12c22) + a12(b21c12 + b22c22)
a21(b11c11 + b12c21) + a22(b21c11 + b22c21) a21(b11c12 + b12c22) + a22(b21c12 + b22c22)
]
.
Por outro lado, observamos que
(A·B)·C =
([
a11 a12
a21 a22
]
·
[
b11 b12
b21 b22
])
·
[
c11 c12
c21 c22
]
=
[
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
]
·
[
c11 c12
c21 c22
]
=
[
(a11b11 + a12b21)c11 + (a11b12 + a12b22)c21 (a11b11 + a12b21)c12 + (a11b12 + a12b22)c22
(a21b11 + a22b21)c11 + (a21b12 + a22b22)c21 (a21b11 + a22b21)c12 + (a21b12 + a22b22)c22
]
.
Como A · (B · C) = (A ·B) · C, o Axioma 5 e´ va´lido.
Passamos agora para o Axioma 6. Notamos que
A · (B + C) =
[
a11 a12
a21 a22
]
·
[
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 b22 + c22
]
=
[
a11(b11 + c11) + a12(b21 + c21) a11(b12 + c12) + a12(b22 + c22)
a21(b11 + c11) + a22(b21 + c21) a21(b12 + c12) + a22(b22 + c22)
]
=
[
a11 a12
a21 a22
]
·
[
b11 b12
b21 b22
]
+
[
a11 a12
a21 a22
]
·
[
c11 c12
c21 c22
]
= A ·B + A · C.
A verificac¸a˜o para (A+B) ·C = A ·C +B ·C e´ ana´loga ao que fizemos acima. Logo, o Axioma
6 e´ satisfeito.
Portanto, (M2(Z),+, ·) e´ um anel. Entretanto, (M2(Z),+, ·) na˜o e´ comutativo. Por exemplo,
considere as matrizes A =
[
1 −1
0 0
]
e B =
[
1 0
1 0
]
pertencentes ao conjunto M2(Z). Elas
satisfazem
A ·B =
[
0 0
0 0
]
e B · A =
[
1 −1
1 −1
]
,
donde A ·B 6= B · A.
4
Exerc´ıcio 9. Seja X um subconjunto na˜o vazio de R. Considere F(X;R) o conjunto das
func¸o˜es f que tem domı´nio X e contradomı´nio R, ou seja,
F(X;R) = {f : X → R; f e´ func¸a˜o}.
Neste conjunto, defina a soma + e a multiplicac¸a˜o · de func¸o˜es por
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f · g)(x) = f(x) · g(x) para todos x ∈ X.
Prove que (F(X;R),+, ·) e´ um anel comutativo.
Soluc¸a˜o: Acompanhe a resoluc¸a˜o pelo link abaixo (clique em Exerc´ıcio 9 - Lista 1):
Exerc´ıcio 9 - Lista 1 - Canal Youtube de Estruturas Alge´bricas
Exerc´ıcio 10. Quando um anel e´ dito unita´rio? Os ane´is nume´ricos (Z,+, ·), (Q,+, ·) e
(R,+, ·) sa˜o unita´rios? Justifique sua resposta apresentando a unidade destes ane´is.
Soluc¸a˜o: Um anel (A,+, ·) e´ dito unita´rio quando satisfaz o
Axioma 8: (Unidade) Existe um elemento 1A tal que 1A · a = a · 1A = a para todo a ∈ A.
O anel dos inteiros (Z,+, ·) e´ unita´rio e possui unidade igual a 1. De fato, para todo nu´mero
inteiro a, temos a · 1 = 1 · a = a. Os ane´is (Q,+, ·) e (R,+, ·) sa˜o tambe´m unita´rios e com
unidade dada pelo nu´mero 1.
Exerc´ıcio 11. Qual a unidade do conjunto M2(R)? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: A unidade do anel (M2(R),+, ·) e´ dada pela matriz identidade I =
[
1 0
0 1
]
, pois se
A ∈M2(R), temos I · A = A · I = A.
Exerc´ıcio 12. O anel (F(X,R),+, ·) e´ unita´rio? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: O anel (F(X,R),+, ·) e´ unita´rio e sua unidade e´ a func¸a˜o h : X → R, h(x) = 1
(trata-se da func¸a˜o constante igual a 1). De fato, se f ∈ F(X,R), enta˜o
(f · h)(x) = f(x)h(x) = f(x) · 1 = f(x) e (h · f)(x) = h(x)f(x) = 1 · f(x) = f(x).
Assim, f · h = h · f = f , o que mostra que a func¸a˜o h e´ a unidade em (F(X,R),+, ·).
Exerc´ıcio 13. Seja (A,+, ·) um anel. Usando os axiomas de anel, verifique que a · 0A = 0A
para todo a ∈ A, em que 0A denota o elemento neutro de A.
Soluc¸a˜o: Acompanhe a resoluc¸a˜o pelo link abaixo (clique em Exerc´ıcio 13 - Lista 1):
Exerc´ıcio 13 - Lista 1 - Canal Youtube de Estruturas Alge´bricas
Exerc´ıcio 14. Verifique se (A, ∗,4) e´ anel quando
a) A = Z, a ∗ b = ab e a4b = a + b.
b) A = Q, a ∗ b = a + b− 1 e a4b = a + b− ab.
c) A = R, a ∗ b = a + b + 3 e a4b = a + b− ab
3
.
5
Soluc¸a˜o:
a) Consideramos treˆs nu´meros inteiros a, b e c quaisquer. Comec¸amos pela verificac¸a˜o do
Axioma 1. Pela definic¸a˜o da operac¸a˜o ∗, temos a ∗ b = ab. Por outro lado, b ∗ a = ba.
Como a multiplicac¸a˜o usual e´ comutativa em Z, temos ab = ba. Disto, a ∗ b = b ∗ a, o que
mostra que o Axioma 1 e´ va´lido.
Observamos agora que a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (bc) = a(bc) e (a ∗ b) ∗ c = (ab) ∗ c = (ab)c. Ja´ que
a(bc) = (ab)c, garantimos que a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c e o Axioma 2 e´ satisfeito.
Observamos tambe´m que
0A ∗ a = a =⇒ 0A · a = a =⇒ 0A = 1.
Disto segue que o elemento neutro da operac¸a˜o ∗ e´ 1, pois a ∗ 1 = a · 1 = a. Assim, o
Axioma 3 e´ satisfeito.
Passamos agora para o Axioma 4. Vamos chamar de a¯ o elemento sime´trico de a. Enta˜o
devemos ter
a ∗ a¯ = 1 =⇒ a · a¯ = 1.
Observe que a equac¸a˜o a · a¯ = 1 so´ tem soluc¸a˜o em Z para a = −1 ou a = 1. Logo, nem
todo nu´mero inteiro tem elemento sime´trico, donde o Axioma 4 na˜o e´ satisfeito.
Portanto, (Z,+, ·) na˜o e´ um anel.
b) Sejam a, b, c ∈ Q quaisquer.
Axioma 1: Pela definic¸a˜o da operac¸a˜o de adic¸a˜o ∗, temos a ∗ b = a + b − 1. Por outro
lado, b ∗ a = b + a − 1. Como a + b − 1 = b + a − 1, garantimos que a ∗ b = b ∗ a e o
Axioma 1 e´ satisfeito.
Axioma 2: Observamos que (a ∗ b) ∗ c = (a+ b− 1) ∗ c = a+ b− 1 + c− 1 = a+ b+ c− 2.
Por outro lado, a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c − 1) = a + b + c − 1 − 1 = a + b + c − 2. Logo,
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). O Axioma 2 e´ satisfeito.
Axioma 3: Verificamos aqui se existe um elemento 0A tal que 0A ∗ a = a. Notamos que
0A ∗ a = a =⇒ 0A + a− 1 = a =⇒ 0A = 1.
Disto segue que o elemento neutro e´ 1, pois a ∗ 1 = a+ 1− 1 = a. Com isso, o Axioma 3
e´ va´lido.
Axioma 4: Procuramos aqui o elemento sime´trico de a ∈ Q. Vamos denotar por a¯ este
elemento. Assim, devemos ter
a ∗ a¯ = 0A =⇒ a ∗ a¯ = 1 =⇒ a + a¯− 1 = 1 =⇒ a¯ = 2− a.
Isso mostra que o elemento sime´trico de a e´ a− 2, ja´ que a ∗ (a− 2) = a+ (2− a)− 1 = 1
(perceba que o elemento sime´trico de 21 e´ 19, pois 21 ∗ 19 = 21− 19− 1 = 1 = 0A).
Axioma 5: Verificaremos aqui que se a operac¸a˜o 4 e´ associativa. Pela definic¸a˜o desta
operac¸a˜o, temos
(a4b)4c = (a+ b− ab)4c = a+ b− ab+ c− (a+ b− ab)c = a+ b+ c− ab− ac− bc+abc.
Ale´m disso, observamos que
a4(b4c) = a4(b+ c− bc) = a+ b+ c− bc− a(b+ c− bc) = a+ b+ c− bc− ab− ac+abc.
6
Assim, verificamos que (a4b)4c = a4(b4c) e o Axioma 5 e´ satisfeito.
Axioma 6: Vamos calcular a4(b ∗ c):
a4(b ∗ c) = a4(b + c− 1) = a + b + c− 1− a(b + c− 1) = 2a + b + c− ab− ac− 1.
Calculamos agora a4b ∗ a4c:
a4b∗a4c = (a+b−ab)∗(a+c−ac) = a+b−ab+a+c−ac−1 = 2a+b+c−ab−ac−1.
Assim, a4(b ∗ c) = a4b ∗ a4c. Usando racioc´ınio semelhante ao que adotamos acima,
garantimos tambe´m que (a ∗ b)4c = a4c ∗ b4c. Com isso, o Axioma 6 e´ satisfeito.
Portanto, (Q, ∗,∆) e´ um anel.
c) Consideramos a, b, c ∈ R quaisquer. A verificac¸a˜o dos Axiomas 1 e 2 e´ ana´loga ao item
b) (ou ao Exerc´ıcio 15 logo abaixo) e sera´ omitida aqui.
Axioma 3: Suponha 0A o elemento neutro. Enta˜o,
a ∗ 0A = a =⇒ a + 0A + 3 = a =⇒ 0A = −3.
Logo, o elemento neutroe´ -3, pois a ∗ (−3) = a + (−3) + 3 = a. Com isso, Axioma 3 e´
satisfeito.
Axioma 4. Seja a¯ o elemento sime´trico de a. Enta˜o,
a ∗ a¯ = 0A =⇒ a ∗ a¯ = −3 =⇒ a + a¯ + 3 = −3 =⇒ a¯ = −6− a.
Logo, o elemento sime´trico de a e´ −6−a, pois a∗ (−6−a) = a+(−6−a)+3 = −3 = 0A.
Isso mostra que o Axioma 4 e´ satisfeito.
Axioma 5: A verificac¸a˜o deste axioma e´ ana´loga ao que foi feita no Exerc´ıcio 15.
Axioma 6: Verificaremos se (a ∗ b)4c = a4c ∗ b4c. Notamos que
(a ∗ b)4c = (a + b + 3)4c = a + b + 3 + c− (a + b + 3)c
3
= a + b + 3− ac
3
− bc
3
.
Por outro lado, obtemos
a4c ∗ b4c = (a + c− ac/3) ∗ (b + c− bc/3) + 3 = a + b+2c + 3− ac
3
− bc
3
.
Logo, (a ∗ b)4c 6= a4c ∗ b4c. Logo, o Axioma 6 na˜o e´ satisfeito e (R, ∗,4) na˜o e´ um
anel.
Exerc´ıcio 15. Prove que o conjunto (Q, ∗,4) e´ um anel comutativo e com unidade, onde as
operac¸o˜es ∗ e 4 sa˜o definidas por
a ∗ b = a + b− 3 e a4b = a + b− ab
3
.
Soluc¸a˜o: Acompanhe a resoluc¸a˜o pelo link abaixo (clique em Exerc´ıcio 15 - Lista 1):
Exerc´ıcio 15 - Lista 1 - Canal Youtube de Estruturas Alge´bricas
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