Notas_de_aula_da_Unidade_I
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sistema é:
2
2
dt
xd
mcvkxfma \uf03d\uf02d\uf02d\uf03d (1.20)
kx
dt
dxc
dt
xdmf
2
2
\uf02b\uf02b\uf03d\uf0de (1.21)
Na ausência de amortecimento a massa "m" oscilará com uma frequência natural
m
k
n \uf03d\uf077 .
E a razão de amortecimento\uf07aé:
mk2
c\uf03d\uf07a (1.22)
logo: k/fx
dt
dx2
dt
xd1
n
2
2
2
n
\uf03d\uf02b\uf077
\uf07a\uf02b
\uf077
k/)s(F)s(X)s(sX2)s(Xs1
n
2
2
n
\uf03d\uf02b
\uf077
\uf07a\uf02b
\uf077
2
nn
2
2
n
n
2
n
2 s2s
k/)s(F
1s2s
k/)s(F)s(X
\uf077\uf02b\uf07a\uf077\uf02b
\uf077\uf03d
\uf02b\uf077
\uf07a\uf02b
\uf077
\uf03d\uf0de (1.23)
Se f for respectivamente, um impulso e um degrau unitários tem-se:
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf07a\uf02d\uf077
\uf07a\uf02d
\uf077\uf03d\uf0de \uf07a\uf077\uf02d )1tsen(e
1k
1)t(x 2n
t
2
n n (1.24)
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf066\uf02b\uf07a\uf02d\uf077
\uf07a\uf02d
\uf077\uf02d\uf03d\uf0de \uf07a\uf077\uf02d )1tsen(e
1
1
k
1)t(x 2n
t
2
n n (1,24a)
UNIDADE I 13
3.2 Modelagem matemática de um motor de corrente contínua com o campo
constante
Fig.1.15 - Diagrama esquemático de um motor de CC
aa
a
aba iRdt
di
L)t(v)t(e \uf02b\uf03d\uf02d (1.25)
onde:
dt
)t(dk)t(v mbb
\uf071\uf03d (1.26)
ou )s(IR)s(sIL)s(V)s(E aaaaba \uf02b\uf03d\uf02d (1.27)
onde: )s(sk)s(V mbb \uf071\uf03d (1.28)
Substituindo (1.28) em (1.27), tem-se:
)s(IR)s(sIL)s(sk)s(E aaaamba \uf02b\uf02b\uf071\uf03d (1.29)
O torque no eixo do motor é dado por:
)t(ik)t(T atm \uf03d ou )s(Ik)s(T atm \uf03d (1.30)
onde k t é a constante de torque
A Figura (1.16) mostra um carregamento típico de um motor, onde Jm e Dm são a
inércia e o amortecimento viscoso equivalentes referidos ao eixo do motor.
Fig. 1.16 - Carregamento mecânico típico de um motor
logo: \uf028 \uf029 )s(sDsJ)s(T mm2mm \uf071\uf02b\uf03d (1.31)
UNIDADE I 14
Substituindo (1.30 e 1.31) em (1.29) resulta:
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
t
mm
2
maa
mba k
)s(sDsJsLR
)s(sk)s(E
\uf071\uf02b\uf02b\uf02b\uf071\uf03d (1.32)
Admitindo que a indutância de armadura é muito menor que a resistência tem-se:
\uf028 \uf029
t
mmma
a k
)s(sDsJR)s(E \uf071\uf02b\uf03d (1.33)
A função de transferência desejada é:
\uf028 \uf029
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0f7\uf0f7\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf02b\uf02b
\uf03d\uf071
a
bt
m
m
mat
a
m
R
kkD
J
1ss
JRk
)s(E
)s(
(1.34)
ou
\uf028 \uf029ass
k
)s(E
)s(
a
m
\uf02b
\uf03d\uf071 (1.35)
A Figura (1.17) mostra um motor de inércia Ja e de amortecimento Da acionando uma
carga de inércia JL e de amortecimento DL.
Fig. 1.17 - Motor mais carga
A inércia e o amortecimento referidos à armadura são:
2
2
1
Lam N
NJJJ \uf0f7\uf0f7\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7\uf0e8
\uf0e6\uf02b\uf03d e
2
2
1
Lam N
NDDD \uf0f7\uf0f7\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7\uf0e8
\uf0e6\uf02b\uf03d (1.36)
Substituindo (1.30) em (1.29) e fazendo La= 0 tem-se:
)s(sk)s(T
k
R
)s(E mbm
t
a
a \uf071\uf02b\uf03d (1.37)
Aplicando a transformada de Laplace inversa resulta:
)t(k)t(T
k
R)t(e mbm
t
a
a \uf077\uf02b\uf03d (1.38)
UNIDADE I 15
Para o motor operando em estado estacionário o torque Tm é dado por:
a
a
t
m
a
tb
m eR
k
R
kk
T \uf02b\uf077\uf02d\uf03d (1.39)
Estudo de caso
Fig. 1.18 - Sistema de controle de posicionamento de uma antena
Fig. 1.18 - Diagrama esquemático do sistema de controle
Fig. 1.19 - Diagrama de blocos do sistema de controle
UNIDADE I 16
Tab. 1.3 - Parâmetros do sistema
Potenciômetro de entrada
Desprezando a dinâmica do potenciômetro, a relação entre a tensão de saída e o
deslocamento angular de entrada é:
\uf070\uf03d\uf070\uf03d\uf071
1
10
10
)s(
)s(V
i
i
Pré-amplificador
Supondo que não há saturação, e que a dinâmica é desprezada, a relação entre a tensão
de entrada e de saída é:
K
)s(V
)s(V
i
p \uf03d
Amplificador de potência
Considerando a dinâmica do amplificador de potência, devido este ser muito mais
lento do que o pré-amplificador tem-se:
100s
100
)s(V
)s(E
p
a
\uf02b\uf03d
Motor mais carga
A inércia total com relação ao eixo do motor é:
03.0
100
1102.0
250
25JJJ
2
Lam \uf03d\uf02b\uf03d\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf02b\uf03d
O coeficiente de amortecimento Dm, equivalente ao eixo de armadura é:
02.0
100
1
101.0
250
25
DDD
2
Lam \uf03d\uf02b\uf03d\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6\uf02b\uf03d
onde DL é o coeficiente de amortecimento viscoso referido a 0\uf071.
UNIDADE I 17
A função de transferência, que relaciona o deslocamento angular do eixo da armadura e a
tensão de armadura é dada por:
\uf028 \uf02971,1ss
083,2
R
KK
D
J
1
ss
)JR(K
E
a
bt
m
m
mat
a
m
\uf02b\uf03d
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0f7\uf0f7\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf02b\uf02b
\uf03d\uf071
onde Kt é a constante de torque; Ra a resistência de armadura e Kb a constante de velocidade.
Fig. 1.20 - Resposta do sistema para dois ganhos distintos do controlador
4.0 DIAGRAMA DE BLOCOS
Para mostrar as funções desempenhadas por cada componente de um sistema de
controle, costuma-se usar um diagrama chamado "Diagrama de blocos".
Elemento de um diagrama de blocos
Ponto de soma
UNIDADE I 18
Ponto de distribuição
Diagrama de blocos a malha aberta
Fig. 1.21 - a) blocos separados; b) bloco equivalente
Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada
Fig. 1.22 - Sistema em malha fechada
Função de transferência de ação direta.
)s(G)s(G
)s(E
)s(C
32\uf03d FTAD (1.40)
Função de transferência a malha aberta
)s(H)s(H)s(G)s(G
)s(E
)s(B
2132\uf03d FTMA (1.41)
Função de transferência a malha fechada
)s(E)s(G)s(EG)s(G)s(C 32 \uf03d\uf03d (1.42)
)s(H)s(H)s(H 21\uf03d (1.43)
UNIDADE I 19
Fig. 1.23 - Diagrama de blocos equivalente
)s(C)s(H)s(R)s(B)s(R)s(E \uf02d\uf03d\uf02d\uf03d (1.44)
Eliminando E(s) tem-se:
)]s(C)s(H)s(R)[s(G)s(C \uf02d\uf03d (1.45)
)s(H)s(G1
)s(G
)s(R
)s(C
\uf02b\uf03d\uf0de FTMF (1.46)
Fig. 1.24 - Diagrama de blocos equivalente
Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação
Fig. 1.25 - Diagrama de blocos com perturbação
Neste caso, aplica-se o princípio de superposição.
Fazendo R(s) =0, tem-se:
)]s(C)s(H)s(G)s(D)[s(G)s(C D12D \uf02d\uf03d (1.47)
)s(C)s(H)s(G)s(G)s(D)s(G D122 \uf02d\uf03d
)s(D)s(G)]s(H)s(G)s(G1)[s(C 212D \uf03d\uf02b\uf0de
)s(H)s(G)s(G1
)s(G
)s(D
)s(C
12
2D
\uf02b\uf03d\uf0de (1.48)
UNIDADE I 20
Fazendo D(s) = 0, tem-se:
)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(G
)s(R
)s(C
21
21R
\uf02b\uf03d (1.49)
logo:
)s(C)s(C)s(C RD \uf02b\uf03d
)]s(D)s(R)s(G[
)s(H)s(G)s(G1
)s(G
1
21
2 \uf02b
\uf02b
\uf03d (1.50)
se 1)s(H)s(G1 \uf03e\uf03e e 1)s(H)s(G)s(G 21 \uf03e\uf03e
a FTMF
)s(D
)s(CD é quase zero e os efeitos do distúrbio podem ser suprimidos.
Esta é uma vantagem dos sistemas a malha fechada
Neste caso,
)s(H
1
)s(R
)s(CR \uf040 (1.51)
se )s(R)s(C1)s(H \uf03d\uf0de\uf03d
Exemplo: Simplificar o seguinte diagrama de blocos
Fig. 1.26 - Diagrama de blocos de um sistema
11121121 CGRGXGHGCHX \uf02d\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
1121211 RGCGCH)HGG1(X \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d\uf02d
121
112
1 HGG1
RG)GH(C
X \uf02d
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d\uf0de
121
112
32132 HGG1
RG)GH(CGGXGGC
\uf02d
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d\uf03d
RGGG)]HG(GGHGG1[C 3212132121 \uf03d\uf02b\uf02b\uf02d\uf0de
UNIDADE I 21
232321121
321
HGGGGGHGG1
GGG
R
C
\uf02b\uf02b\uf02d
\uf03d
Fig. 1.27 - Diagrama de blocos equivalente
Note-se que o numerador da FTMF é o produto das FT do percurso de ação direta e o
denominador é igual a:
\uf0e5\uf02d malha)cadadelongoaoFTdasproduto(1
5.0 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADO
Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de variáveis,
chamadas variáveis de estado.
Variáveis de estado: são as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do
sistema (descrevem completamente o comportamento dinâmico do mesmo).
Vetor de estado: são as variáveis de estado representadas por um vetor.
Espaço de estado: o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos
x1,x2,...xn é chamado espaço de estados (qualquer estado pode ser representado por um ponto
no espaço de estados).
A análise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis: variáveis de entrada, de
saída e de estado, conhecidas para t=to e t\uf0b3tº
O número de variáveis de estado necessárias na definição completa da dinâmica de um
sistema é igual ao número de integradores envolvidos.
Circuito RL
Fig. 1.28 - Circuito elétrico com uma indutância e uma resistência em série
Escrevendo a equação do circuito tem-se:
)t(vRi
dt
di
L \uf03d\uf02b (1.52)
A transformada de Laplace é:
)s(V)s(RI)]0(i)s(sI[L \uf03d\uf02b\uf02d (1.53)
Admitindo que a entrada v(t) é um degrau unitário tem-se:
UNIDADE I 22
L
Rs
)0(i
L
Rs
1
s
1
R
1)s(I
\uf02b
\uf02b
\uf0f7\uf0f7
\uf0f7
\uf0f7