Notas_de_aula_da_Unidade_I
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\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b
\uf02d\uf03d\uf0de (1.54)
logo:
t
L
R
t
L
R
e)0(ie1
R
1)t(i
\uf02d\uf02d
\uf02b\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf03d (1.55)
onde i(t) é um subconjunto de todas as variáveis possíveis do circuito e pode ser determinada
se v(t) e i(0) forem conhecidos.
Neste caso, i(t) é uma variável de estado e (1.52) é uma equação de estado.
As outras variáveis são:
)t(Ri)t(vR \uf03d (1.56)
)t(Ri)t(v)t(vL \uf02d\uf03d (1.57)
e
)]t(Ri)t(v[
L
1
dt
di \uf02d\uf03d (1.58)
A Equação (1.52) combinada com (1.56 e 1.58) formam uma representação no espaço de
estados.
A Equação (1.52) não é única. Poderia ter sido escrita em termos de qualquer outra
variável do circuito.
Por exemplo: fazendo
R
vi R\uf03d em (1.52) resulta:
)t(vv
dt
dv
R
L
R
R \uf03d\uf02b (1.59)
que pode ser resolvida conhecendo-se a condição inicial:
)0(Ri)0(vR \uf03d e )t(v
Circuito RLC
Fig. 1.29 - Circuito RLC série
UNIDADE I 23
A equação do circuito é:
\uf0f2\uf03d\uf02b\uf02b )t(vidtC
1
Ri
dt
di
L (1.60)
Expressando em função da carga e usando
dt
dq
)t(i \uf03d tem-se:
)t(vq
C
1
dt
dq
R
dt
qd
L 2
2
\uf03d\uf02b\uf02b (1.61)
A Equação (1.61) pode ser representada por duas equações diferenciais de primeira
ordem, simultâneas, em termos de i(t) e q(t), escolhidas como variáveis de estado, que são as
seguintes:
)t(i
dt
)t(dq \uf03d (1.62)
)t(v
L
1
)t(i
L
R
)t(q
LC
1
dt
)t(di \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d (1.63)
As Equações (1.62 e 1.63) são as equações de estado e podem ser resolvidas para obter
q(t) e i(t) se q(0), i(0) e v(t) são conhecidas.
Com base em (1.62 e 1.63) pode-se calcular todas as outras variáveis do circuito:
)t(v)t(Ri)t(q
C
1
)t(vL \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d (1.64)
)t(Ri)t(vR \uf03d (1.65)
)t(q
C
1)t(vC \uf03d (1.66)
As Equações (1.62 e 1.63), combinadas e a equação de saída (1.64), constituem uma
representação no espaço de estados.
Uma outra escolha de variáveis de estado pode ser feita, por exemplo, com vR(t) e
vc(t).
Atenção! Nenhuma das variáveis de estado pode ser escrita como combinação linear
das outras variáveis de estado.
As variáveis de estado devem ser linearmente independentes.
Se o sistema for linear, as equações de estado (1.62) e 1.63) podem ser escritas na
forma matricial:
)t(Bu)t(Ax)t(x \uf02b\uf03d\uf026 (1.67)
onde
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
dt
di
dt
dq
)t(x\uf026 ; \uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
LC
R-
LC
1-
10
A ;
UNIDADE I 24
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf03d
i
q
)t(x ; \uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
L
1
0
B e )t(v)t(u \uf03d
A Equação de saída (1.64), pode ser escrita da seguinte forma:
)t(DuCxy \uf02b\uf03d (1.68)
onde: ;R-
C
1
C \uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf02d\uf03d 1D\uf03d e )t(v)t(u \uf03d
O circuito analisado representa um sistema com uma única entrada e uma única saída,
nos quais y, D e u são grandezas escalares.
Análise de um sistema com múltiplas entradas, múltiplas saídas e n integradores:
)t(u),.......t(u),t(u r21 variáveis de entrada (1.69)
)t(y),........t(y),t(y m21 variáveis de saída (1.70)
Definindo as n variáveis do sistema dos integradores como variáveis de estado com
valores: x1(t),x2(t),....,xn(t).
O sistema pode ser descrito por:
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f)t(x r21n2111 \uf03d\uf026
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f)t(x r21n2122 \uf03d\uf026
: (1.71)
:
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f)t(x r21n21nn \uf03d\uf026
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g)t(y r21n2111 \uf03d
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g)t(y r21n2122 \uf03d
: (1.72)
:
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g)t(y r21n21mm \uf03d
Definindo-se:
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
)t(x
:
)t(x
)t(x
)t(x
n
2
1
,
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
t;u,...,u,u;x,...,x,x(f
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f
)t,u,x(f
r21n21n
r21n212
r21n211
(1.73)
UNIDADE I 25
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
)t(y
:
)t(y
)t(y
)t(y
n
2
1
,
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
t;u,...,u,u;x,...,x,x(g
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g
)t,u,x(g
r21n21n
r21n212
r21n211
(1.74)
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
)t(u
:
)t(u
)t(u
)t(u
n
2
1
(1.75)
)t,u,x(f)t(x \uf03d\uf026 e )t,u,x(g)t(y \uf03d
)t(u)t(B)t(x)t(A)t(x \uf02b\uf03d\uf026 (1.76)
e
)t(u)t(D)t(x)t(C)t(y \uf02b\uf03d (1.77)
onde )t(A é a matriz de estado, )t(B é a matriz de entrada, )t(C é a matriz de saída e )t(D é
a matriz de transição direta.
Se as matrizes A,B,C,D independem do tempo (constantes), o sistema é dito invariante
no tempo.
)t(Bu)t(Ax)t(x \uf02b\uf03d\uf026 (1.78)
)t(Du)t(Cx)t(y \uf02b\uf03d (1.79)
Na Figura (1.30) tem-se a representação das Equações (1.76 e 1.77), sob a forma de
diagrama de blocos.
Fig. 1.30 - Diagrama de blocos na forma de espaço de estado
Exemplo: Admita-se que o sistema da Figura (1.31) seja linear e que a força u(t) seja
a entrada do sistema. O deslocamento y(t) é medido a partir da posição de equilíbrio, na
ausência da força externa.
UNIDADE I 26
Fig. 1.31 - Sistema mecânico
A equação do movimento é:
ukyybym \uf03d\uf02b\uf02b \uf026\uf026\uf026
Como o sistema é de Segunda ordem, o mesmo envolve dois integradores. Definindo-
se as variáveis de estado como x1(t) e x2(t), tem-se:
)t(y)t(x1 \uf03d
e
)t(y)t(x2 \uf026\uf03d
logo: 21 xx \uf03d\uf026
e
\uf028 \uf029 u
m
1x
m
bx
m
ku
m
1ybky
m
1x 212 \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d\uf02d\uf03d \uf026\uf026
Sob a forma matricial tem-se:
u
m
1
0
x
x
m
b-
m
k-
10
x
x
2
1
2
1
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf026
\uf026
e
\uf05b \uf05d \uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf03d
2
1
x
x
01y
A Figura (1.32) mostra o diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura (1.31).
Fig. 1.32 - Diagrama de blocos
UNIDADE I 27
Correlação entre função de transferência e equações no espaço de estados
Considere-se o sistema cuja função de transferência é dada por:
)s(G
)s(U
)s(Y \uf03d (1.80)
que pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações:
)t(Bu)t(Ax)t(x \uf02b\uf03d\uf026 (1.81)
)t(Du)t(Cx)t(y \uf02b\uf03d (1.82)
onde x(t) é o vetor de estado, u(t) é a entrada e y(t) é a saída.
A transformada de Laplace das Equações (1.81 e 1.82) é:
)s(BU)s(AX)0(x)s(sX \uf02b\uf03d\uf02d (1.83)
e
)s(DU)s(CX)s(Y \uf02b\uf03d (1.84)
Admitindo que X(0)=0, tem-se:
)s(BU)s(AX)s(sX \uf03d\uf02d (1.85)
)s(BU)s(X)AsI( \uf03d\uf02d\uf0de (1.86)
Multiplicando a esquerda de ambos os membros por 1)AsI( \uf02d\uf02d :
)s(BU)AsI()s(X 1\uf02d\uf02d\uf03d (1.87)
Substituindo (1.87) em (1.84) resulta:
\uf05b \uf05d )s(UDB)ASI(C)s(Y 1 \uf02b\uf02d\uf03d \uf02d (1.88)
onde DB)ASI(C)s(G 1 \uf02b\uf02d\uf03d \uf02d
AsI
)s(Q
)s(G \uf02d\uf03d\uf0de (1.89)
onde )s(Q é um polinômio em S e AsI\uf02d é o polinômio característico de G(s).
Exemplo: Considere o sistema da Figura (1.31):
DB)ASI(C)s(G 1 \uf02b\uf02d\uf03d \uf02d
UNIDADE I 28
\uf05b \uf05d 0
m
1
0
m
b-
m
k
10
s0
0s
01
1
\uf02b\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0ef\uf0fe
\uf0ef\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ee
\uf0ef\uf0ed
\uf0ec
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9\uf03d
\uf02d
\uf05b \uf05d \uf0fa\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0ef\uf0fe
\uf0ef\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ee
\uf0ef\uf0ed
\uf0ec
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b
\uf03d
\uf02d
m
1
0
m
b
s
m
k
1-s
01
1
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9\uf02b
\uf02b\uf02b
\uf03d\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b
\uf02d
s
m
k
-
1
m
bs
m
k
s
m
b
s
1
m
b
s
m
k
1-s
2
1
\uf05b \uf05d \uf0fa\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9\uf02b
\uf02b\uf02b
\uf03d
m
1
0
s
m
k-
1
m
bs
m
ks
m
bs
1
01)s(G
2
kbsms
1
2 \uf02b\uf02b
\uf03d
Representação de sistemas dinâmicos no espaço de estados sem derivadas de
excitação
uyaya...yay n1n
1n
1
n
\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b \uf02d
\uf02d
\uf026 (190)
)1n(
n21 yx........;;yx;yx
\uf02d
\uf03d\uf03d\uf03d \uf026
n1-n3221 xx;..........;xx;xx \uf03d\uf03d\uf03d \uf026\uf026\uf026
uxa.......xaxax n121n1nn \uf02b\uf02d\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d \uf02d\uf026
onde:
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
n
2
1
x
:
x
x
x ;
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
12-n1-nn a-...a-a-a-
0000
::::
0...100
0...010
A ;
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
1
0
:
0
0
B
UNIDADE